CC1 2021 2022
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Page 1 : Ondes - Contrˆole IAucune documentation ni calculatrice permise, duree: 1h30.1Questions courtesQuestion I: Supposons qu’un pendule oscille avec une periode de τ secondes, quelleest alors sa pulsation ω?Question II: On suppose que x1t et x2t sont respectivement solutions des equations¨x1t + ω2x1t = cost,¨x2t + ω2x2t = sint.Exprimer la solution de l’equation¨xt + ω2xt = 2 cost + 3i sint,1en termes de x1t et x2t.Question III: En supposant une solution de la forme ft = f0eiωt, reduirel’equation differentielle¨ft + 3 ˙ft 4ft = 0,2a une equation algebrique pour ω, et en donner les solutions.Question IV: Dire si chacune des equations differentielles suivantes est lineaire. Jus-tifier votre reponse.a ¨ft + ω2ft = 0,b ft ¨ft + α ˙ft = 0,c ¨ft + ˙ft + xtft = 0.2Question longuePour obtenir tous vos points, il est important de bien expliquer vos demarches.On considere une masse M placee sur un plan horizontal et reliee a un mur verticalpar un ressort de constante de rappel k et de longueur au repos L0. On suppose quela rugosite du plan horizontal provoque une force de la forme ⃗Ff = µcM⃗v, ou µc estle coefficient de frottement cinetique de la surface et ⃗v est la vitesse de la masse.Mkxt1
Page 2 : a Exprimer les forces agissant sur la masse en termes des donnees du probleme etde xt, la distance entre la masse et le mur.b Montrer que l’equation du mouvement du bloc peut ˆetre mise sous la forme:¨xt + Γ ˙xt + ω20xt = y,3avec Γ, ω0, et y des constantes a exprimer en fonction des donnees du probleme.c Sous quelles conditions cet oscillateur sera-t-il dit critique?d En supposant que l’oscillateur est sous-amorti pseudo-periodique, donner lasolution generale de l’equation 3.e Si a t = 0 la masse est immobile a une distance L0/2 du mur, exprimer la positionde la masse au temps t en fonction des donnees du probleme.2
