CC1 2023 2024
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Page 1 : OndesPI2-MI — CC1 — 2023/2024Durée : 1h30’ 2h en cas de tiers-tempsSont interdits :— les documents ;— tous les objets électroniques calculatrice, téléphone, tablette, ordinateur... de mêmeque les montres connectées ;— les déplacements et les échanges.Le cas échéant, vos réponses doivent être justifiées.Une attention particulière sera portée à la qualité et au soin de la rédaction.Le barème est donné à titre indicatif et est susceptible d’être modifié.Exercice 1 – Considérations générales 7 pointsLe cas échéant, on se place dans un référentiel galiléen pour les questions qui suivent.Soit un oscillateur mécanique harmonique donc pas de frottement, dont l’écart à la positiond’équilibre est repéré par la coordonnée Xt.1. Comment se comporte l’énergie mécanique Em de l’oscillateur en fonction de t ?2. Comment se comporte l’énergie potentielle Ep de l’oscillateur en fonction de X ?On prend comme exemple d’oscillateur harmonique un système masse-ressort horizontal demasse m et raideur k.On pose la solution sous la forme Xt = A cosω0 t.3. Démontrer l’expression de ω0 en fonction des paramètres du problème.Quelle est sa dimension physique ?On ajoute au système précédent une force de frottement fluide.4. Par un argument physique sans calcul, quelle est la limite de Xt lorsque t →+?En plus du frottement visqueux, on ajoute une force extérieure périodique, de pulsation ωext,dans la direction du mouvement.5. Expliquer succintement sans calcul le concept de résonance d’amplitude.1 / 2
Page 2 : Exercice 2 – Oscillateur libre amorti 13 pointsDans le référentiel terrestre RT, approximé galiléen, on considère la situation suivante :un ressort de raideur k et longueur à vide ℓ0 est attaché verticalement en un point H immobile.À l’autre extrémité est attaché un objet de masse m et volume V . À tout instant, l’objet esttotalement immergé dans un fluide de masse volumique ρ et de coefficient de frottement fluideµ 0, au repos dans RT. L’ensemble est plongé dans le champ de pesanteur terrestre »g , denorme g fig. 1.Rappel : force de frottement fluide : »f = µ»v où »v est la vitesse de l’objet par rapport aufluide.On cherche à déterminer le mouvement de l’objet, assimilé à celui de son centre d’inertie M.Sa position au cours du temps est repérée par la coordonnée zt, croissante vers le bas. Laposition de M pour le ressort à vide est notée z0.Mz⃗gHFigure 11. Faire le bilan des forces sur M et les exprimer en fonction des paramètres du problèmeet du vecteur unitaire »u z.2. En déduire que l’équation du mouvement de M peut se mettre sous la forme :¨zt + Γ ˙zt + ω20 zt z0 m′ g = 01en exprimant Γ, ω0 et m′ en fonction des paramètres du problème.3. Déterminer la position d’équilibre zeq de l’oscillateur non-amorti.4. En déduire que 1 peut se mettre sous la forme :¨Zt + Γ ˙Zt + ω20 Zt = 0oùZt = zt zeq25. On cherche les solutions de 2 avec l’Ansatz complexe ˜Zt = A ert où A et r C.a Établir l’équation caractéristique dont r est solution.b En déduire qu’il existe 3 régimes possibles.6. Dans le cas du régime pseudo-périodique :a Exprimer la solution Zt = Reh˜Ztioù Re désigne la partie réelle.b Dessiner qualitativement l’allure de Zt.c Exprimer la pseudo-pulsation et la pseudo-période du mouvement.d Si Zt = 0 = 0 et ˙Zt = 0 = v0, déterminer Zt.2 / 2
