CC2 2021 2022
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Page 1 : Ondes - Contrˆole IIAucune documentation ni calculatrice permise, duree: 1h30.1Une chaˆıne d’atomesUne chaˆıne d’atomes est constituee de N atomes identiques, de mˆeme masse m.Al’equilibre, ces atomes sont espaces de la mˆeme distance a0 et alignes suivant la droiteOx.12n-1nn+1N-1Nxna0xUne petite perturbation modifie l’equilibre initial et se deplace de proche en proche le longde la chaˆıne d’atomes, provoquant un petit deplacement de chaque atome. On supposeque la force d’interaction de chaque atome peut ˆetre limitee a ses deux voisins immediatsn 1 et n + 1 pour l’atome n et que ces interactions sont de mˆeme type que la tensiond’un systeme masse-ressort de constante de raideur k. On supposera egalement que lesatomes ne peuvent pas bouger verticalement.Soit xn la position de la masse n par rapport a sa position d’equilibre, 1 n N.1. Determiner l’expression de la force de rappel exercee par l’atome n + 1 sur l’atomen, fn+1→n, en fonction de k, xn, et xn+1.2. Determiner l’expression de la force de rappel exercee par l’atome n 1 sur l’atomen, fn1→n, en fonction de k, xn, et xn1.3. Montrer que l’equation du mouvement de l’atome n peut s’ecrire:¨xn + ω202xn xn1 xn+1 = 0,ω20 = km.12Le cas N = 2On considere le cas particulier du systeme precedent ou N = 2.1. Donner le systeme de deux equations differentielles obtenues a partir de l’equation1 dans le cas particulier ou N = 2. On admet que x0 = x3 = 0.2. Montrer que le systeme d’equations differentielles precedent peut s’ecrire sous formevectorielle:d2dt2 ⃗Xt A ⃗Xt = ⃗0,ou ⃗Xt = x1tx2t,2avec A une matrice a determiner.3. Determiner λ1 et λ2, les valeurs propres de la matrice A, en fonction de ω20. Endeduire ω1 et ω2, les pulsations propres du systeme, en fonction de ω0.4. Determiner ⃗V1 et ⃗V2, les vecteurs propres de A associes a λ1 et λ2, respectivement.1
Page 2 : aat = 0aaat = 0bFigure 1: Configurations initiales des masses dans la question 5a et 5b, respectivement.5. La solution generale du systeme peut s’ecrire⃗Xt =αeiω1t + βeiω1t ⃗V1 +γeiω2t + δeiω2t ⃗V2.3a A l’instant intial t = 0, la masse de gauche est ecartee d’une distance a 0 desa position d’equilibre alors que la masse de droite est ecartee d’une distancea 0 voir figure 1a. Les deux masses sont initialement au repos. Exprimerx1t et x2t en fonction des donnees du probleme.b A l’instant initial t = 0, les deux masses sont ecartees de leurs positionsd’equilibre d’une distance a 0 voir figure 1b, et sont initialement au repos.Exprimer x1t et x2t en fonction des donnees du probleme.2
