CC2 2022 2023 V1
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Page 1 : PréIng2 — CY Tech25 mai 2023Physique moderneDevoir no 2duree : 1h30 2h en cas de tiers-tempsAucune sortie avant 1h d’epreuveInstructions à lire avant de commencerSont interdits :— les documents ;— tous les objets électroniques téléphone, tablette, ordinateur, montres connectées,etc. de même que les calculatrices collège et lycée;— les déplacements et les échanges.Consignes :1. vérifiez que votre énoncé compte 4 pages et 4 exercices;2. indiquez le nombre total de feuilles utilisées sur la première page de la copie;3. numérotez l’ensemble des feuilles de votre copie;4. en cas d’erreur dans l’énoncé, vous l’indiquerez sur votre copie et continuerez ledevoir.Calculs, applications numériques et rédaction1. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte lors de la correction.2. Pour les exercices 2 à 4, une expression littérale et une application numé-rique sont demandées.3. Les applications numériques se feront par ordre de grandeur et avecun seul chiffre significatif. Par exemple : 3,14 × 1025 1 × 1025 ;5 × 102 1 × 101.4. Les notations doivent être définies.5. Une attention particulière sera donnée à la qualité de la rédaction.Le barème est donné à titre indicatifPage 1/5
Page 2 : Données• constante de Planck réduite : ¯h =h2π = 1,05 × 1034 J · s;• masse de l’électron : me = 9,1 × 1031 kg;• masse d’un nucléon m = 1,7 × 1027 kg;• 1 eV = 1,6 × 1019 J.Exercice 1 — Questions ± de cours 8 points1. Rappeler l’équation de Schrödinger dépendante du temps pour une particulede masse m se déplaçant selon l’axe Ox dans un potentiel quelconque V.2. Rappeler l’interprétation de ψ2 module carré de la fonction d’onde ψ. À quiest due cette interprétation?3. Dans un espace à d dimensions, quelle est la dimension physique de la fonctiond’onde?4. Inégalités d’Heisenberg4.a Rappeler la relation d’indétermination d’Heisenberg pour la position x etla quantité de mouvement p selon le même axe. Que représentent x etp dans cette relation?4.b Pourquoi n’est-il pas correct de parler de relation d’« incertitude »?5. Un électron rencontre une barrière de potentiel de hauteur supérieure à l’énergiede la particule. Quel phénomène peut être observé qui ne serait pas possiblepour une particule classique? Donner une application technique ou théoriquede ce phénomène.Solution 11. /1i¯hψt x, t = ¯h22m2ψx2 x, t + Vx, tψx, t1où le potentiel V est fonction de x et de t.2. /2 Toujours à une dimension d’espaceψ2x, t dxreprésente la probabilité de trouver la particule le long d’un segment de lon-gueur dx. Cette interprétation est due à Max Born 1926.Remarque : dans le cas à trois dimensions d’espace, c’estψ2»r , t d3rqui s’interprète comme la probabilité de présence de la particule dans unélément de volume d3r entourant le point »r .3. /1 À partir de l’interprétation probabiliste, une analyse dimensionnelle montrequ’à d dimension d’espace, la fonction d’onde a pour dimension physiqueLd/2.Page 2/5
Page 3 : 4. 4.a /1 En notant respectivement x et p les indéterminations ou disper-sions sur la position et la quantité de mouvement, l’inégalité d’Heisenbergportant sur ces variables s’écrit version historique :xp ¯h,ou de manière précisexp ¯h/2.4.b /1 Dans le cadre d’expériences, le terme "incertitude" est utilisé pour dési-gner les erreurs commises lors de la mesure d’une grandeur physique. Ceserreurs étant le plus généralement dues à l’expérimentateur et à l’appareilde mesure. L’inégalité d’Heisenberg n’est quant à elle liée à aucune mesurede position ou de quantité de mouvement du système étudié, mais indiqueune limite imposée par les lois de la mécanique quantique.Remarque : cette inégalité n’a plus le statut de principe, puisqu’elle peutêtre démontrée.5. /2 Dans cette situation, on peut observer l’effet tunnel : contrairement aucas d’une particule classique, une particule "quantique" a une probabilité nonnulle de franchir la barrière. Si la particule provient de la gauche, l’effet tunnelprévoit donc que la particule peut se propager à droite de la barrière. Deuxapplications possibles sont : le microscope à effet tunnel et l’interprétation de laradioactivité α à l’aide du modèle de Gamow.Exercice 2 — Applications directes 5 points1. Pour que sa longueur d’onde de de Broglie soit λ = 0,1 nm, quelle doit êtrel’énergie cinétique Ec d’un électron? d’un neutron?2. Pour une énergie cinétique Ec = 1 MeV, quelles sont la fréquence f et lalongueur d’onde de de Broglie λ d’un électron? d’un neutron?Solution 21. 3 points La relation de de Broglie s’écrit »p = ¯h»k soit en terme de normep = ¯hk. L’énergie cinétique de la particule est Ec = 12mv2 soit Ec =p22m et lalongueur d’onde de de Broglie est liée au nombre d’onde par λ = 2π/k. Cesdifférentes relations donnentEc =h22mλ2.Pour l’électron on trouve Ec 1016 J et pour le neutron Ec 1019 J.2. 2 points Pour la longueur d’onde, il suffit d’utiliser la relation utilisée précé-demment pour montrerλ =h2mEc.Après conversion de l’énergie en joule, on trouve pour l’électronλ 1 × 1012 m = 1 pmPage 3/5
Page 4 : etλ 1 × 1013 m = 0,1 pmpour le neutron.En utilisant la relation de Planck–Einstein liant l’énergie de la particule à lafréquence f, on obtientf = Ech .Soit f 1 × 1020 Hz= 0,1 ZHz pour l’électron comme pour le neutron ZHz :zettahertz..Exercice 3 — Diffraction d’électrons retiréPour déterminer les caractéristiques du noyau, une mince feuille d’or 19779 Au peutêtre bombardée d’électrons afin d’étudier la figure de diffraction formée par lesélectrons après avoir traversé la feuille. Pour observer une telle figure, l’énergie desélectrons doit être d’une centaine de MeV. Pour le rayon du noyau d’un atome d’or,on prendra R = 7 fm. Dans la suite, nous supposerons que les termes « diffraction » et« interférence » sont synonymes.1. Montrer que c’est bien dans cette gamme d’énergie que les électrons peuventeffectivement être diffractés.2. Si l’on souhaitait effectuer la même expérience avec de la lumière, dans quellepartie du spectre de la lumière se situerait la source?3. Que confirme, sur la nature de l’électron, le fait que ces derniers puissent êtrediffractés? Quel scientifique a émis cette hypothèse pour la première fois?Exercice 4 — Puits de potentiel infini 7 pointsÉtudiante en PréIng 2, Sophie cherche les états stationnaires d’une particule de masse mconfinée dans un puits infini de potentiel V défini mathématiquement par :Vx =0 si x a/2; a/2 ;+sinon,où a représente la largeur du puits. Ses conclusions sont les suivantes :• l’énergie de la particule est quantifiée et les énergies accessibles s’écriventEn = n π2¯h22ma2 avec n N• la fonction d’onde associée à l’énergie E1 s’écrit :ψx, t = 2a sinπxaeiE1t/¯h1. Quelle condition doit vérifier la fonction d’onde aux bords du puits?Page 4/5
Page 5 : 2. La fonction d’onde proposée par Sophie est-elle compatible avec les conditionsaux bords? Corriger si nécessaire.3. La fonction d’onde proposée est-elle normalisée? Corriger si nécessaire.4. Comment appelle-t-on l’état d’énergie E1 ?5. Vérifier et, si nécessaire, corriger l’expression de l’énergie En proposée parSophie.Solution 41. /1 Le potentiel étant infini en dehors de l’intervalle ±a/2, la fonction d’ondedoit s’annuler sur les bords la particule ne peut pas être en dehors de cetintervalle :ψa/2, t = ψa/2, t = 022. /2 La fonction d’onde proposée par Sophie ne vérifie pas cette conditionpuisque sinπ/2 ̸= 0.La solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans le puitssans tenir compte des conditions aux bords s’écrit :ϕx = C coskx + S sinkx, aveck =2mE/¯hetC, S R.Les conditions aux bords imposent S = 0 etk kn = nπ/a; n NLa partie spatiale de la fonction d’onde associée à n = 1 doit donc s’écrire :ϕ1x = C cosπx/a.3. /2 La fonction d’onde proposée n’est pas normalisée puisqueˆ a/2a/2sin2πx/a dx = a2.La normalisation de la fonction d’onde proposée par Sophie ou la fonctiond’onde ϕ qui vérifie bien les conditions aux bords donne comme facteur denormalisation a/2.4. /1 L’état d’énergie En=1 est celui ayant l’énergie la plus basse et s’appellel’état fondamental.5. /1 La quantification des k impose également celle de l’énergie, soitEn = n2 π2¯h22ma2.Page 5/5
