CC2 2023 2024
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Page 1 : 1 CC2-Ondes 25 04 24 Calculatrices interdites, documents interdits -1h30 Document de deux pages. PROBLEME I Une chaine est constituée de N atomes identiques, de même masse m, espacés de la même distance 𝑎0 à l’équilibre et alignés suivant la droite Ox. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Une petite perturbation, modifie l’équilibre initial, elle se déplace de proche en proche le long de la chaine d’atomes et provoque un petit déplacement de chaque atome. La force d’interaction de chaque atome peut être limitée à ses deux voisins immédiats n+1 et n-1 pour l’atome n. On modélise cette interaction par une force de rappel élastique de type masse-ressort de constante de raideur 𝑘. Soit 𝑥𝑛 la position de l’atome n par rapport à sa position d’équilibre 1 𝑛𝑁. 1 Par application de la deuxième loi de Newton à l’atome n, montrer que l’équation du mouvement de ce dernier est : 𝑥𝑛̈ + 𝜔22𝑥𝑛𝑥𝑛1 𝑥𝑛+1 = 0. Avec 𝜔2 =𝑘𝑚 2 On s’intéresse à la limite N grand et a petit, soit 𝐹𝑥, 𝑡 telle que 𝐹𝑛𝑎0, 𝑡 = 𝑥𝑛𝑡 = 𝐹𝑥, 𝑡. Déduire l’équation d’onde vérifiée par 𝐹𝑥, 𝑡 à démontrer. 3 Identifier une expression homogène à une vitesse. De quelle vitesse s’agit-il ? PROBLEME II Deux masses 𝑚1𝑒𝑡 𝑚2 peuvent se déplacer sans frottements sur un axe horizontal Ox. Elles sont reliées entre elles par un ressort horizontal sans masse de constante de raideur 𝑘. La masse de gauche 𝑚1 est reliée au mur par un ressort horizontal sans masse de constante de raideur 𝑘. La longueur au repos de chacun des deux ressorts est 𝐿0. On note 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥1les abscisses des deux masses repérées par rapport à leurs positions au repos. On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Page 2 : 2 1. Ecrire l’expression des forces agissant sur les deux masses : 𝐹⃗1 𝑒𝑡 𝐹⃗2 . 2. En déduire les équations de mouvement écrites sous forme matricielle : 𝑋⃗̈ + 𝑊𝑋⃗ = 0⃗⃗ où 𝑋⃗= 𝑥1𝑥2 et W est une matrice à déterminer. On pose 𝜔𝑖2 =𝑘𝑚𝑖. 3. On suppose que 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚, déterminer les pulsations propres 𝜔± en fonction de 𝜔 avec 𝜔= 𝑘𝑚 . 4. Démontrer que les vecteurs propres associés aux valeurs propres sont donnés par : 𝑉⃗⃗± = 𝜔±2𝜔2 𝜔±2 5. On admet les expressions des vecteurs propres 𝑉±⃗⃗⃗⃗⃗ proposés à la question 4, déduire les modes propres associés de ce système. 6. A l’instant initial t=0, les masses sont à leurs positions d’équilibre, la masse de gauche est immobile alors que celle de droite se déplace avec une vitesse 𝑣0vers la gauche. Donner la solution des équations du mouvement correspondante. Fin
