CC3 2021 2022
Télécharger le CC3 2021 2022 en pdf
Page 1 : Ondes - Contrˆole IIIAucune documentation ni calculatrice permise, duree: 1h30.Questions courtesQuestion 1: Donner la solution generale de l’equation:1c22Fx, tt22Fx, tx2= 0.Question 2: On suppose que les ondes Fx, t dans un certains milieu obeissent a l’equationsuivante:1c22Fx, tt22Fx, tx2+ m2c2Fx, t = 0.Donner la relation de dispersion pour ces ondes, leur vitesse de phase, ainsi que leur vitesse degroupe.Question 3: On suppose que les vibrations d’une mince plaque metallique sont decrites parl’equation:1α22Fx, y, tt22Fx, y, tx22Fx, y, ty2= 0.1En utilisant la methode de la separation des variables, montrer que l’equation 1 se reduit ausysteme d’equations aux derivees ordinaires:A′′x = k2xAx,B′′y = k2yBy,2C′′t = ω2Ct,ou Fx, y, t = AxByCt. Donner la relation entre les constantes ω, kx et ky.Question longueSoit une corde tendue selon l’axe des x, dont les extremites sont fixees aux points x = 0 et x = L.On suppose que le deplacement vertical de la corde en un point x, au temps t, est decrite par lafonction Fx, t obeissant a l’equationµT02Fx, tt22Fx, tx2= 0,ou T0 est la tension dans la corde, et µ est sa masse lineique.a Donner la vitesse de phase de ces ondes.b Montrer que la solution generale de cette equation peut s’ecrireFx, t =Xn=1an cos ω0nt + bn sin ω0nt sinnπxL,3avec ω0 une constante a determiner.1
Page 2 : c Exprimer les coefficients an et bn dans l’equation 3 en fonction des conditions initiales,Fx, 0 etFx,ttt=0. On rappel que pour toutes paires d’entiers positifs n, m:Z 0sinnπxsinmπxdx = δn,m2 ,4Z 0cosnπxcosmπxdx = δn,m2 .5d On suppose qu’on a les conditions initialesFx, 0 =x0 x L/2,0L/2 x L,Fx, ttt=0= 0.6Exprimer les coefficients an et bn dans l’equation 3 en termes des donnees du probleme.2
