CC3 2023 2024
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Page 1 : OndesPI2-MI — CC3 — 2023/2024Durée : 1h30’ 2h en cas de tiers-tempsSont interdits :— les documents ;— tous les objets électroniques calculatrice, téléphone, tablette, ordinateur... de mêmeque les montres connectées ;— les déplacements et les échanges.Le cas échéant, vos réponses doivent être justifiées.Une attention particulière sera portée à la qualité et au soin de la rédaction.Le barème est donné à titre indicatif et est susceptible d’être modifié.Exercice 1 – Onde électromagnétique 8 pointsDonnées :• Équations de MAXWELL dans le vide µ0; ϵ0 :MAXWELL-THOMSON :div»B = ? voir question 1.MAXWELL - FARADAY : »rot»E = t»BMAXWELL-GAUSS :div»E = ρϵ0MAXWELL-AMPÈRE : »rot»B = µ0»j + ϵ0 t»Eoù ρ est la densité volumique de charge et »j la densité surfacique de courant.• µ0 106 u.S.I. ; ϵ0 9 × 1012 u.S.I.• Analyse vectorielle : »roth »rot»fi= »gradhdiv»fi»f où est le laplacien.1. Rappeler l’équation de MAXWELL-THOMSON aussi appelée MAXWELL-flux.2. Déterminer la dimension physique et l’unité S.I. de µ0 et ϵ0.3.a Démontrer l’équation d’onde satisfaite par »E en l’absence de charge et de courant.b Faire de même pour »B.c Par analyse dimensionnelle, en déduire une quantité c homogène à une vitesse.Que représente cette vitesse ? En calculer un ordre de grandeur.4. On considère une onde électromagnétique plane monochromatique de la forme :»E = »u y E0 cosωt kx;»B = »u z B0 cosωt kxa Quels sont la direction et le sens de propagation de cette onde ?b Quelles sont les directions de polarisation de »E et de »B ?1 / 2
Page 2 : Exercice 2 – Onde mécanique 12 pointsDans le référentiel d’étude, on considère la situation suivante :une corde tendue selon l’axe Ox est fixée en x = 0 et x = L.On note ψx; t la déformation transversale de la corde à la position x à l’instant t, satisfaisantl’équation d’onde :1c2 2t ψx; t 2xψx; t = 011. On considère l’Ansatz complexe ˜ψx; t = ˜ψ0 eiωtkx où ˜ψ0 C.a Établir la relation de dispersion.b En déduire les vitesses de phase vϕ, de groupe vg et le caractère dispersif ou non dumilieu.c Donner la solution générale ˜ψx; t.2. Compte tenu des conditions aux bords :a Montrer que ψx; t = Reh˜ψx; tipeut se mettre sous la forme :ψx; t = α cosωt + β sinωt sinkx, où α et β sont des constantes arbitraires.Quel adjectif qualifie une telle onde ?b Montrer que k est quantifié en valeurs kn n N, à exprimer.c En déduire que ω est quantifiée en valeurs ωn, à exprimer.d Donner la solution générale ψx; t en fonction de ωn et kn.Si l’on tient compte de l’élasticité de la corde, l’équation d’onde devient :1c2 2t ψx; t 2xψx; t γ 4xψx; t = 0où γ est une constante positive.23. En considérant le même Ansatz que précédemment :a Établir la nouvelle relation de dispersion.b En déduire les vitesses de phase vϕ, de groupe vg et le caractère dispersif ou non dumilieu.c Quelle condition doit satisfaire ω pour que l’onde ne soit pas atténuée dans le temps ?d Montrer que, pour satisfaire cette condition, la longueur d’onde λ doit être supé-rieure à une valeur λc, à exprimer en fonction des paramètres de la situation.2 / 2
