CM Annotee
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Page 1 : Analyse dans R"CA2022-2022
Page 2 : Analyse dans Rn①Limite et continuitéDefinition: fimite d'ene fonctionen un pointf:= -Eife. r.n t , 11. Ilef, 11. 1e Act, f:A- f, xA, leFon dit que+ limitedef lorsque y- xSi Mie des propositions stivantes est verifice1 FE0, 7870, FyCA Ily-xIcS=lify-ell, E2 E70, 5870, FyeBx ; J = fy - BCe,E3 FV= Ee, 5V-E FE x fel que41 F Ve EVcel, I Ve G Ulc tel quefV& AlcUs
Page 3 : on ecrithim fy=1, fly-c2yxxy-xproposition: Eife. v. nActf: A -f, at ASif admetene finiteen a, elleest uniqueRemarque:E , f= IRPour etudier Dimflech,firm flicx- cetfirmfxx- a-Silia-fs= hi fx= 2=Tim fx= 2x - atx -ClimiteLe long d'un chemin
Page 4 : Prosition:Soit f: M-the fonction definieau voisinagepode xoGIR" Sauf peut êtreenco,1 Sif admetme limiteave pointo siLarestriction dofà toutecourbepassantparadmetune limiteencoet cette limiteest &2Par contreposéesi lesrestrictionsde fàdeux courbesdifferentes passant par soont des fimitesdifferentes au point so ,alors f n'admet pasde limiteen 10Exemple:Soit fx,y=yfirm fx, yx , y-0 ,0-y+0, x= t, ft, 0==0-x=0, y= t, ft , 0= t-x= y=zfx, x= 2= E-x=-y= fx,- x= E=- E=In'admet pasde limiteen 0 ; 0
Page 5 : Proposition:operationsur la finitef, g: A-f,on Act,aAls , 12ftel quehim fx= 21 ,timgx=enx -CeFXEIR, fim f + xgx=11+ Nx-a2 11 fx- 1-0ssifx-tax -ax-ai1fx- el1 - 0caret asont des11x- cell-0darat de tSifcIR, fim f. g x=21, lex - aSila +o, lim Ix =x - aProposition: 2= R ,f=IR"f:E- Fx= x ,;...; xn-fx= fx, fzx ... .., fux
Page 6 : Cette oplicationadmet= 2 ,. ..., encommefirmite gland - a Et, Si Fit &1 , nDfi: RV-Radmet:commelimite quandx-aExemple: fx , y= 1x+ yxfax , y=, fux , y= x+ y2 xfirm fx ,yx , y-1 , 0finfr, y= 1=0x , y-1 , 0firm fzx , y= 1+ 0x1= Ex , y-1 , 0=finn fx, y=0 . 1- Rx, y-1, 0coordonnées polaire:Soit MER2Co,Irepère canonique&yy.......-,I0 !Ix
Page 7 : 0 r+ y, 00 , 24x=rcos Ol, y= usin &Cr,Olles coordonnées polaires deRx ,y- 77r= x+ y=r =x2 +yztanO= 1= 0: Arctan 2 0 , y, 0proposition: Si f: R-Rme fonction definieauVoisinagede 0 : 01 Er saufpeut êtreen 0 ; 0Si firm &rcoscol, rsin 01= &EIRr - 0existeindependammentde O,alorsfirm fx, y= lxiy - 0 , 0Exemple:8:lit enfirmfx , yx , y-0 , 0frcos8, rsin 0=rcos Ol r sinOl-ol+r"sina
Page 8 : -Et sincal=cosical sin" lafirm frcosOl, rsin 01=F -0=7Sim fx , y=0x ,y-0 , 0Exemple:f: R- Rx , y-c eDir fx ,yx , y-0 , 0frcoscol, rsin coll=coscal= 1Sin 20firm frcoscO, rsin 0= 1 sin 201r -0lalimitedependde O= f n'admet pas definnie et
Page 9 : Exemple: 1: R -Rfx, y= Cg ifim fx , y!"x, y-1, 1CC- 1= rcos8, y-1= rsin 0frcos0+1, rsin 0+ 1 /=Ircoscollrsincal1=rcoscalsin'0rcos0 +r sin Ol=rcosOlsinOl-0FOr-0=fx , y-0x , y-1 , 1Caracterisation sequentiellede la limiteSoit f: Act- F, Act ,Eife . U. n,a= AI admetme firmite- fquandse - asipour toute site Cn/nea EAconvergevers a,ta stefan//neinconverge verse
Page 10 : Contraposée: I deux suitesen, ynA telles queen-a, y+sn- 3 + 1mais fl la, fit-ta, laet=fr'admetpas une finiteen aExemple: fx ,y=1 +Syntofirm fxiyxiy-0 : 0Coordonnées polairefirm frcos0, rsin 0=fim 1+ ma=firm 1+ cos"cal= 1Caracterisation sequentielleen= nis10 , 01Un= 10, 1=d 0 , 01
Page 11 : fun=1+2=1+ 1 -n-fn=1 +12= 1On ne pent pas dire quefirm fx ,yx , y-0 , 0CaractérisationCartesienneChemin 1:Chemin 2: x , 01fx, 0=1+ 1=1+x-2 1x -0On ne pent pas direqueta firmitede f est 1en 10:0Definition3Ifx; y -11=y:
Page 12 : Continuite-di:si gadmet une cimite quand x-aet cette limiteestSa. 530, 7810 , FRA, Isalle 8 =lig-f11sinon s est discontinueend. I continue a Assi I continueen chaquepointa =A .ensemblede fonctioncontinuede domaineA âvaluedans F,2 A, F.---- propulI: A-if continueena si lunedesconditionsniwanteretisifia :⑦20, 7830, faA,a Bla , S=-fx + Bfa, alfBa, s Bfa , 2.y gBa , 8=7xtBa , 8fx=y= 1fxt fBa , f=fx- Bga , 2=y- Bfa , E-fBa , fcBfa , 2& + Vr VIgCaL -UEEWCaL FatAx=VE--fx= VE③f Vr = Wfa1 - V=- VcalgV= nAl c VE
Page 13 : ④I continueenasiim 92= fana- popiété:I continueen at Essi it:18 DFi:-Restcontinueen aI : E-- far-gax= 1 , a, f2x, --pul & continuean AcEssig :continue su A.- popuiti operationssun les jonctions continuessointE ,eleet ACE.1 Si I , g: A-if continuessun A.=AxGIR , I+29 continue sur A.21La compositions d'applicationscontinuesest continusiFcR.3 S19:A- -F continueunA alos J.gcontinue an A.④sig Fomu A, gigcontcontinuesA=Icontinueun A.- partic caiberisation séquentiellede la continuite I: F-F, AcE, a t A.I continueen assi= anAconvergente wesa ty 812nIntioMEIN
Page 14 : convergenteroo &cal.- dy , /prolongement pon continuitilJ:E CR"--IR,, 20E, xo4E↳jadmetserr limite I quand se -20On peutétendrele domainede dlfde I âexemple:1: 12410, 073- IR2, y=2+cy27y2ein Ix,y=Ce,y--0 , a-at eimesint cos't= 2l -10fx=fx: x+ R2 : 90, 021E2: 2 , y=10 , 02 theorine : Image ,réciproques d'amate,de femes - l'imagerécipoque d'un ouvertpar une app.continue estun amert.- image
Page 15 : Demonstration :I : E-F,uneapplicationcontinue ,Mavetdans F, onventmonter que I-usoita cf-1u, fu Ellaert= ex0 ,B fx: es: M.Icontinue, I810, FyGE , Ily-x1173=119y-gn ex=fBx, 81cBfx , rx c l.=Bx, 5 cg-1l=830, f28eg- u- j-1uest auert.comparité s-dy:E ,11 : 11evn, ACE. On ditqueA estcompactdan Esaitoutesuitede Aadmetunecons-siteconvergentedansAeR ,Un= n'admet parune sous-mite convergentesur 1.CC②Tout formeest compact". FaucecarIR same maispascompact.③a , b,1. 1.Compact.- popuit ,E an .⑧ensemblevide not compacte.①Tout compactde est fert it bant .③Toute partie fermie d'un compactde Eest compact.
Page 16 : Démonstrations /②on doitmqA gene , Acc, x= F, I nn -A tq2n-12commeA compact , IUpcnilconverge versy A-mais 4pnest une sals-sitede n convergente verz= -49n- y2kni -2.Pou l'enicite de la limite=1x = y tA.=-A c A=Aferie.A bone ,Pou controport, on doitmy Aborni. On suppose que An'est pas borne,nt/N. F anA,Ilkn1 , -Poutoutesaws-suite ndnide anion a:5 0 Ilskan11 2, 0n 2 , h.= Ikecnil-t odoneholm diverge.n + +0-A n'est pas compact.-popriete ,-Toutespace compactd'unespace rectoilnaméest complet.-Toutrectoi nomede dimension fimiestcomplet ,SIR,11. 11 7 , CV ,11 . Il- C,b , IR et completpar rapport a la name 11911g= p ///t R, 1-11 , 4 ,I. K sont desespacesdeBanach .-2= ctiy+&, 121 :ity.-popit , I produitcantifiende compactsA E, F2 evn, AcE, compact.BcFcompact.-AxBest compact deExF.A I, E -F application continue .
Page 17 : SiA compact det, ICALest compact deF- Touteunion finiede compact estcompact Touteintersection quelconquede compact est compact.-theorie: de Bolano-weiestrassToutemitebanie d'un espacerectoire nomede dim El finepossédeune sous-mite convergente. I=a, b↓na tI, URAIN, aUn b, 7k4cnix-ate de nnCr.noca -x=-= xnba= x= b= x + I.-Ilst compact- papiité:elle, dim E=n , ACE-A compactsiA ferméet borie,Continuité emforme :-"dy , SoitE , Fem, ACE. 9: A-f:on ditque f estcontinueeajornementsenAssi :-=20, 7830 , f aA,rtA .11x-all S=,1fx-fac2, Span touth , atA.sin-n'estpas continue unifamement sur IR.21 Sn = Yestcontinueuniformementnun IRI -
Page 18 : -popriete:-y : applicationcipschiziennelsoitE, Fern , I : E-if. Ondit que Iest lipschiziennesi:Ik30, Xx, ytE , Kg-fy/Ir KlIn-yle-Kestindépendantden , y.On appelle8: E-lipschizieaneRemarquesToute applicationO-lipschitienneest constante .fu , y E , 0 = fx-fy= 0 .=Cfx-fy= 0= cfu = fy
