CM BIS Chapitre3 Maxwell
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Page 1 : Physique - 2023-2024ÉlectromagnétismeChapitre 4 – Équations de MaxwellPrésentation rédigée par Lucie Desplat Pau
Page 2 : Chapitre 1 – Champ magnétique - Force de LorentzChapitre 2 – Loi de Biot et Savart - Théorème d’AmpèreChapitre 3 – ÉlectrocinétiqueChapitre 4 – Équations de MaxwellChapitre 5 – Induction électromagnétiqueProgramme de Magnétostatique
Page 3 : Dans ce chapitre, on se propose d’étudier l’électromagnétisme : les grandeurs physiques étudiéespourront dépendre de la position spatiale et du temps.Pour ce faire, on va présenter les 4 équations de Maxwell qui sont des lois fondamentales de laphysique. Elles permettent de décrire mathématiquement l’onde électromagnétique constituée dedeux parties indissociables : magnétique et électrique. Les voici:2.4.1 Introduction2.4Équations de Maxwell
Page 4 : • μ0 = 4 × 107𝐼est la perméabilité magnétique• 𝜀0 =136𝜋× 109𝐼est la permittivité du vide.• B : champ magnétique en Tesla• E : champ électrique en V/mQuestion :Que deviennent ces relations,exprimées dans le vide ? Voir dans le poly de cours2.4.1 Introduction2.4Équations de Maxwell
Page 5 : Le champ électromagnétique exerce sur une particule chargée de charge q placée en M etanimée d’une vitesse v une force appelée force de Lorentz :Force de Lorentz 2.4.1 Introduction2.4Équations de Maxwell
Page 6 : • Un champ uniforme est un champ indépendant du vecteur position• Un champ stationnaire ou permanent est un champ indépendant du temps.• Un champ constant est un champ indépendant du temps et de la position.Rappels2.4.1 Introduction2.4Équations de Maxwell
Page 7 : ρSoit la densité volumique de charges dans un milieu. Et 𝑗 = ρ v . L’équation deconservation de la charge s’écrit :Pour la démonstration, voir poly de cours.2.4.2 Conservation de la charge2.4Équations de Maxwell
Page 8 : Les équations de Maxwell sont des équations locales. Par intégration, on obtient des lois etthéorèmes connus, par exemple : le théorème de Gauss, celui d’Ampère, etc.Équation de Maxwell Gauss et théorème de GaussOn intègre l’équation de Maxwell Gauss dans un volumeV quelconque, délimité par la surface S, il vient :On retrouve ici le théorèmede Gauss.Cette équationexprime le fait que lescharges électriques sont à l’origine de E.En effet, E est divergent ou convergentselon le signe de ρ.la foisenpermanentet en Le théorème de Gauss est donc valable àrégimerégime variable.2.4.3 Contenu physique des équations de Maxwell 2.4Équations de Maxwell
Page 9 : Le théorème d’Ampère généralisé On calcule la circulation à un instant donné du champ magnétique le long d’un contour fermé C sur lequel s’appuie une surface S à travers l’application du théorème de Stokes :2.4.3 Contenu physique des équations de Maxwell 2.4Équations de Maxwell
Page 10 : Équation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif En intégrant dans un volume V l’équation de Maxwell Flux, on a :Ensuite en appliquant le théorème d’Ostrogradsky, il vient :Le flux de Best nul. Autrement dit,Best à flux conservatif. Plusieurs interprétations :1. Il n’existe pas de "charge magnétique" à l’origine de B .2. Pas de divergence ni convergence des lignes de champ magnétique.2.4.3 Contenu physique des équations de Maxwell 2.4Équations de Maxwell
Page 11 : Équation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday On évalue la circulation, que l’on note e du champ électrique le long d’un contour C fermé sur lequels’appuie une surface S :En utilisant le théorème de Stokes puis l’équation de Maxwell Faraday, il vient:Ce qui donne :e est appelée force électromotrice f.é.m en Volt.Cette équation,appelée loi de Faraday,traduit le phénomène d’induction que l’on étudiera dans le chapitre suivant.Φ flux de champ magnétique à travers S2.4.3 Contenu physique des équations de Maxwell 2.4Équations de Maxwell
Page 12 : Principe de superposition Les équations de Maxwell sont des équations linéairesCohérence des équations Chacune des équations de Maxwell étudiée séparément permet de rendre compte dephénomènes physiques voir section 3.En considérant l’ensemble de ces 4 équations comme une unité permettant de décrire lecomportement de l’onde EM, on observe que d’autres informations sont contenues.Ainsi,on va démontrer qu’on retrouve l’équation de conservation de la charge dans leséquations de Maxwell :voir poly de cours pour la démo2.4.4 Propriétés et conséquences des équations de Maxwell2.4Équations de Maxwell
Page 13 : Existence d’ondes électromagnétiquesEn électrostatique, le champ électrique est dû à la présence de charges électriques.En magnétostatique, le champ magnétique est dû à la présence de courants électriques.En régime variable temporellement, on peut écrire Maxwell Faraday :Si le champ magnétique dépend du temps on peut avoir un champ électrique avec unedensité de charges électriques ρ nulle. Il suffit qu’il y ait un courant électrique :𝑗dépend de t ainsi E dépend de t, ainsi Bdépend de t.2.4.4 Propriétés et conséquences des équations de Maxwell2.4Équations de Maxwell
Page 14 : L’équation de Maxwell flux magnétique permet de définir un champ vectoriel A appelépotentiel vecteur, tel que :Concernant E, il vient en utilisant l’équation de Maxwell Faraday :2.4.5 Existence des potentiels V et A2.4Équations de Maxwell
Page 15 : Équation de conservation de la charge En régime permanent :d’une branche , c’est le cas du régime continu.La loi des nœuds découle également de cette même équation ie :soit la somme des intensités algébriques dans un nœud est égale à zéro.2.4.6 Cas particulier des régimes permanentsAinsi, j est à flux conservatif. Par conséquent l’intensité de courant est la même en tout point2.4Équations de Maxwell
Page 16 : Équations de Maxwell en régime permanent voir poly de cours pour plus de détailsPotentiel scalaire V et potentiel vecteur A Dans le cas du régime permanent, on a 2.4.6 Cas particulier des régimes permanents2.4Équations de Maxwell
Page 17 : Équations de Poisson En régime permanent, le potentiel électrique obéit à l’équation de Poisson : En régime permanent, le potentiel vecteur A obéit à l’équation de Poisson : Voir TD pour établissement de ces équations à partir des équations de Maxwell. 2.4.6 Cas particulier des régimes permanents2.4Équations de Maxwell
Page 18 : Le champ électrique Soient deux milieux notés 1 et 2 séparés parune surface chargée σ.•Seule la composante de Enormale à lasurface de séparation des deux milieux estdiscontinue.• La composante tangentielle de Eest continue.Le champ magnétique Soient deux milieux notés 1 et 2 séparés parune surface parcourue par des courantssurfaciques caractérisés par 𝑗𝑠.• Continuité de la composante normale de B.• Discontinuité de la composante tangentiellede B.2.4.7 Relations de passage du champ électromagnétique2.4Équations de Maxwell
Page 19 : Bibliographie 1 Polycopié de cours, Abdelaziz Boumiz Polycopiés d’électromagnétisme II, EISTI2 CUPGE - CY : Introduction à l’électromagnétisme3 Cours LP 203 - Champs électrique et magnétique de Nicolas MENGUY4 Cours de Luc Tremblay, collège Mérici - «Électricité et magnétisme».5 David Sénéchal - «Histoire des sciences» PHQ399 Université de Sherbrooke, QC6 pour la suite: Khan Academy , Unisciel etc.7 Polycopié de Lucie Desplat – Pau8 Jean-Marie BREBEC, Électromagnétisme 1ère année MPSI PCSI PTSI , Hachette
