CM BIS Chapitre4
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Page 1 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 1 Chapitre 5 Équations locales de l’électromagnétisme I-Introduction: L’électromagnétisme est fondée sur les quatre équations de Maxwell et l’expression de la force de Lorentz. Le champ électromagnétique est solution des quatre équations locales ci-dessous dont la justification, l’interprétation et le contenu physique feront l’objet de ce chapitre. Les quatre équations de Maxwell : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 ,𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡,𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0⃗ Sur le plan historique, chacune de ces quatre équations a été étudiée séparément et a permis de rendre compte d’un phénomène physique donné. Maxwell a eu l’idée de les considérer comme un ensemble indissociable. Les quatre équations de Maxwell : II-Conservation de la charge 1 Equation de conservation de la charge Soit ρ la densité volumique de charges dans un milieu. La charge totale Qt est donnée par : Qt = ρ dτ L’équation de conservation de la charge s’écrit : 𝑑𝜌𝑑𝑡= 𝑑𝑖𝑣𝑗 avec 𝑗 = 𝜌𝑣 Expression dans laquelle 𝑗 est le vecteur densité de courant, 𝜌 est la densité volumique de charge et 𝑣 est la vitesse de la charge élémentaire, supposée constante.
Page 2 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 2 l’équation de conservation de la charge peut être obtenue à partir du bilan de charge dans un volume élémentaire, elle peut être aussi obtenue à partir des équations de Maxwell. 2 Démonstration à partir du bilan de charge : Considérons un tube de courant cylindrique, de volume V, de longueur dl et de surface de base S sens du courant I La charge totale contenue dans le tube est donnée par l’expression : 𝑄= 𝜌𝑑𝜏 L’intensité de courant électrique sortante de ce tube est égale à la charge sortante de ce tube par unité de temps, soit 𝑑𝑄𝑑𝑡. 𝑑𝑑𝑡𝜌𝑑𝜏 = 𝑗 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ Par application du théorème d’Ostrogradsky : 𝑗 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝑗 𝑑𝜏 d’où 𝑑𝑑𝑡𝜌𝑑𝜏 = 𝑑𝑖𝑣𝑗 𝑑𝜏 ou encore 𝑑𝜌𝑑𝑡= 𝑑𝑖𝑣𝑗 équation de conservation de la charge 3 cas particulier du régime permanent En régime permanent toutes les grandeurs sont indépendantes du temps, donc 𝑑𝜌𝑑𝑡= 0 d’où 𝑑𝑖𝑣𝑗 = 0 Cette dernière équation implique que le vecteur densité de courant 𝑗 est à flux conservatif. Par conséquent l’intensité de courant est la même en tout point d’une branche , c’est le cas du régime continu. La loi des nœuds découle également de cette même équations puisque 𝑗 ⃗⃗ 𝑑𝑆 =0 entraine : 𝑖𝑘𝑘= 0
Page 3 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 3 soit la somme des intensités algébriques dans un nœud est égale à zéro. III-Les équations de Maxwell et la force de Lorentz 1 Les équations de Maxwell. Le champ électromagnétique est solution des 4 équations locales suivantes: 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0⃗ : L’équation de Maxwell flux magnétique 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 : L’équation de Maxwell Gauss 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 : L’équation de Maxwell Ampère 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 : L’équation de Maxwell Faraday 2 Force de Lorentz. Le champ électromagnétique 𝐸⃗ 𝑀, 𝑡; 𝐵⃗ 𝑀, 𝑡 en tout point M à l’instant t est créé par les sources : La densité volumique de charge au point M’ à l’instant t : 𝜌𝑀′, 𝑡 Le vecteur densité de courant au point M’ à l’instant : 𝑗 𝑀′, 𝑡 Une charge ponctuelle q animée d’une vitesse 𝑣 dans une région où existent un champ électrique 𝐸⃗ et un champ magnétique 𝐵⃗ subit la force de Lorentz 𝑓 = 𝑞𝐸⃗ 𝑀, 𝑡 + 𝑣 𝑀, 𝑡𝐵⃗ 𝑀, 𝑡 3 Propriétés et conséquences des équations de Maxwell 3.1 Le théorème de superposition Les équations de maxwell sont des équations linéaires en 𝐸⃗ , 𝐵⃗ , 𝑗 𝑒𝑡 𝜌, ainsi : Si aux sources 𝑗1⃗⃗⃗⃗ ,𝜌1 correspond le champ électromagnétique 𝐸1⃗⃗⃗⃗ , 𝐵1⃗⃗⃗⃗ et si aux sources 𝑗2⃗⃗⃗⃗ ,𝜌2 correspond le champ électromagnétique 𝐸2⃗⃗⃗⃗ , 𝐵2⃗⃗⃗⃗ alors aux sources 𝑗1⃗⃗⃗⃗ + 𝑗2⃗⃗⃗⃗ , 𝜌1 + 𝜌2 correspond le champ électromagnétique 𝐸1⃗⃗⃗⃗ + 𝐸2⃗⃗⃗⃗ , 𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵2⃗⃗⃗⃗ 3.2 validité des équations Les équations de maxwell sont valables dans tous les milieux, en pratique, on les utilise dans le vide, les plasmas et dans les métaux. 3.3 Le champ électromagnétique est une entité indissociable.
Page 4 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 4 Le champ électrique et magnétique sont les composantes d’une entité unique : le champ électromagnétique. Dans le cas particuliers des régimes permanents, on peut étudier séparément champ électrique en électrostatique et le champ magnétique en magnétostatique. Chaque équation de Maxwell caractérise un phénomène physique donnée : La création d’un champ électrique par les charges électriques : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 L’absence de charge magnétique : 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 La création d’un champ magnétique par un courant électrique :𝑟𝑜 𝑡𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 +𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 Le phénomène d’induction électromagnétique 3.4 Cohérence des équations de Maxwell : L’étude des équations de maxwell regroupées, plutôt qu’individuelle, permet de caractériser d’avantage de phénomènes physiques. Citons à titre d’exemple la conservation de la charge : 𝑑𝜌𝑑𝑡= 𝑑𝑖𝑣𝑗 , cette équation peut être démontrée à partir des équations de maxwell. En effet, par application de l’opérateur divergence à Maxwell Ampère M.A., on obtient : 𝑟𝑜 𝑡𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 M.A. 𝑑𝑖𝑣𝑟𝑜 𝑡𝐵⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 Or la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, donc 𝑑𝑖𝑣𝑟𝑜 𝑡𝐵⃗ = 0 Le terme 𝑑𝑖𝑣𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 est égal à 𝜀0𝜇0𝜕𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ 𝜕𝑡 car les opérateurs divergence et 𝜕𝜕𝑡 commutent. D’après l’équation de Maxwell Gauss M.G. : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 Finalement on a : 𝑑𝑖𝑣𝑗 + 𝑑𝜌𝑑𝑡= 0 ce qui prouve que la conservation de la charge est contenue dans les équations de Maxwell. 3.5 Constantes et unités est la perméabilité magnétique, ellecaractérise la faculté d'un matériau à modifier un champ magnétique. est la permittivité du vide
Page 5 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 5 est la vitesse de la lumière dans le vide IV- Cas particulier des régimres permanents. En régime permanent 𝜕𝜕𝑡= 0, 𝐵⃗ = 0⃗ et 𝑗 = 0⃗ les équations de Maxwell s’écrivent : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 0⃗ 𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 𝑀. 𝐺. 1 Conséquences en électrostatique 1.1 1ère conséquence : le théorème de Gauss Par application du théorème d’Ostrogradsky : 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 𝑆= 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ . 𝑑𝜏 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 On remplace 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ 𝑝𝑎𝑟 𝜌𝜀0 d’après M.G. on obtient 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 𝑆= 𝜌𝜀0 𝑑𝜏=𝑄𝑖𝜀0𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 C’est le théorème de Gauss sous sa forme intégrale. 1.2 2ème conséquence : 𝐸⃗ est à circulation conservative. En effet, d’après l’équation 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 0⃗ et compte tenue du théorème de Stockes : 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = 0𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑢𝑟 Γ d’où le champ électrostatique 𝐸⃗ est à circulation conservative. 1.3 3ème conséquence : Le potentiel électrostatique et l’équation de Poisson. Par définition le potentiel électrostatique est égal à l’opposé de la circulation du champ électrostatique : 𝑑𝑉= 𝑑𝐶, avec 𝑑𝐶= 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 où dC est la circulation élémentaire du vecteur champ électrostatique 𝐸⃗ , le long du parcours élémentaire 𝑑𝑙 . Sous sa forme intégrale 𝐶= 𝑉𝑃 𝑉𝑄 = 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 𝑄𝑃 Par ailleurs 𝐸⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 et par application de l’opérateur divergence à cette dernière équation, on a : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 avec 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 et 𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉= Δ𝑉 𝑜ù Δ𝑉 est le Laplacien de V finalement on obtient l’équation de Poisson : Δ𝑉+𝜌𝜀0 = 0 Equation de Poisson, dont la solution générale est donnée par : 𝑉𝑀 =14𝜋𝜀0 𝜌𝑃𝑑𝜏‖𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝜏 Le gradient de cette dernière expression c’est-à-dire le champ électrostatique 𝐸⃗ peut être déduit à son tour, on obtient : 𝐸⃗ 𝑀 =14𝜋𝜀0 𝜌𝑃𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝜏‖𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖3𝜏 Ces deux expressions de 𝐸⃗ et V représentent le fondement de toute l’électrostatique chapitre 6.
Page 6 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 6 Remarque Dans une région de l’espace sans charges 𝜌= 0, l’équation de Poisson porte le nom de l’équation de Laplace : Δ𝑉= 0 2 Conséquences en magnétostatique 𝜕𝜕𝑡= 0 et 𝐸⃗ = 0⃗ d’où les conséquences en magnétostatique : 𝑑𝜌𝑑𝑡= 𝑑𝑖𝑣𝑗 conservation de la charge → 𝑑𝑖𝑣𝑗 = 0 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 𝑀. 𝐺. → 𝜌= 0 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 M.A. →𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗⃗⃗ = 𝜇0𝑗 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 →𝐵⃗ est à flux conservatif. En effet, 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 → 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ . 𝑑𝜏=𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒0 et par le théorème d’Ostrogradsky : 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ . 𝑑𝜏𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒= 𝐵⃗ . 𝑑𝑆 𝑆 au final 𝐵⃗ . 𝑑𝑆 = 0𝑆 → 𝐵⃗ est à flux conservatif. 2.1 Le théorème d’Ampère 𝐵⃗ . 𝑑𝑙 = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ 𝑑𝑆 𝚪 théorème de Stockes or 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 d’où : 𝐵⃗ . 𝑑𝑙 = 𝜇0𝑗 𝑑𝑆 𝚪 expression du théorème d’Ampère sous sa forme intégrale. 2.2 Le potentiel vecteur 𝑨⃗⃗ L’équation de conservation du flux : 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 implique qu’il existe un champ de vecteur 𝐴 tel que 𝐵⃗ = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 . Or quelque soit 𝐴′⃗⃗⃗ tel que 𝐴′⃗⃗⃗ = 𝐴 + 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 , 𝐴′⃗⃗⃗ est aussi solution car 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ′ = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 puisque 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 = 0 quelque soit la fonction scalaire f. Pour avoir une solution unique du potentiel vecteur 𝐴 , ce dernier doit satisfaire la condition de jauge. La jauge utilisée en magnétostatique est la jauge de Coulomb, cette dernière est donnée par l’expression : 𝑑𝑖𝑣𝐴 =0. On dit que 𝐴 est le potentiel vecteur dont dérive 𝐵⃗ : 𝐵⃗ = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 . Expression du potentiel vecteur𝑨⃗⃗ M en tout point de l’espace M : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = 𝐵⃗ L’application de l’opérateur rotationnel à cette dernière équation donne : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗
Page 7 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 7 or 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣𝐴 Δ𝐴 avec 𝑑𝑖𝑣𝐴 = 0 et comme 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 d’où Δ𝐴 +𝜇0𝑗 = 0 La solution de cette équation sans démonstration est donnée par : 𝐴 𝑀 =𝜇04𝜋𝑗 𝑃𝑑𝜏‖𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝜏 son rotationnel permet de déduire l’expression de 𝐵⃗ 𝑀: 𝐵⃗ 𝑀 =𝜇04𝜋𝑗 𝑃Λ𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝜏‖𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖3𝜏 cette expression est tout à fait la même que celle donnée par la définition de Bio et Savart au début du cours de magnétostatique chapitre 6. On remarque que les équations de Maxwell contiennent la loi de Bio et Savart, sachant que celle-ci est une loi d’origine expérimentale. V-Contenus physiques des équations de Maxwell 1 le théorème de Gauss La conservation de la charge : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜌𝜀0 et l’utilisation du théorème d’Ostrogradsky : Φ = 𝐸⃗ . 𝑑𝑆 =𝑆𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ . 𝑑𝜏𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒= 𝜌𝜀0 𝑑𝜏=𝑄𝑖𝑛𝑡𝜀0𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Le théorème de Gauss apparaît ainsi encore valable en EM, même si les charges électriques peuvent être en mouvement. 2 le théorème d’Ampère généralisé On calcule la circulation à un instant donné du champ magnétique le long d’un contour C sur lequel s’appuie une surface S et on utilise l’équation de MA : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 d’où : 𝐵⃗ . 𝑑𝑙 = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ 𝑑𝑆 𝚪= 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗⃗ 𝜕𝑡𝑑𝑆 or l’intensité de courant 𝑖= 𝑗 𝑑𝑆 𝐵⃗ . 𝑑𝑙 𝚪= 𝜇0𝑖+ 𝜀0𝜕𝐸⃗⃗ 𝜕𝑡𝑑𝑆 𝑖𝐷= 𝜀0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡𝑑𝑆⃗ S’interprète comme le courant de déplacement à travers la surface S.
Page 8 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 8 En régime permanent, on retrouve bien évidemment le théorème d’Ampère classique : 𝐵⃗ . 𝑑𝑙 𝚪= 𝜇0𝑖 3 Equation du flux magnétique et champ magnétique à flux conservatif A partir de l’équation locale : 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗⃗ = 0 et par application du le théorème d’Ostrogradsky on a: 𝐵⃗ . 𝑑𝑆 =𝑆𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ . 𝑑𝜏= 0𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 →𝐵⃗ . 𝑑𝑆 =𝑆0 Le champ magnétique est à flux conservatif. Par conséquent : •Le flux magnétique se conserve à chaque instant à travers toute section d’un tube de champ magnétique: Φ1 =Φ2 •Il est possible de définir le flux magnétique Φ qui traverse un contour 𝚪 sans avoir à préciser la surface S qui s’appuie sur celui ci. th. de Stockes 4 Equation de Maxwell-Faraday et loi de Faraday : On évalue la circulation e du champ électrique le long d’un contour 𝚪 fermé sur lequel s’appuie une surface S et on utilise l’équation de Maxwell-Faraday 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 = 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ 𝑑𝑆 𝚪= 𝜕𝐵⃗⃗ 𝜕𝑡 𝑑𝑆 = 𝑑𝑑𝑡𝐵⃗⃗ 𝑑𝑆 or 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 𝚪= 𝑒 la f.e.m et 𝐵⃗⃗ 𝑑𝑆 = Φ le flux de 𝐵⃗ 𝑒= 𝑑Φ𝑑𝑡 En régime permanent : 𝒆= 𝐸⃗ . 𝑑𝑙 𝚪= 0 et 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 0⃗ Le champ électrique permanent est à circulation conservative. On peut définir un potentiel scalaire tel que : 𝐸⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 En régime non permanent : la circulation du champ s’identifie
Page 9 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 9 à la fém qui est induite sur 𝚪. On démontre ainsi la loi de Faraday : 𝑒= 𝑑Φ𝑑𝑡 dégagée expérimentalement par Faraday en 1831. VI- Existence des potentiels 𝐴 et V, jauge de Lorentz, cas de l’ARQS : 1 Rappels mathématiques : Un champ égal à un gradient a un rotationnel nul et un champ égal à un rotationnel a une divergence nulle : 𝑎 = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 → 𝑟𝑜𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 = 0⃗ 𝑐 = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑 →𝑑𝑖𝑣𝑐 = 0⃗ Réciproquement, on peut montrer que : - Si un champ vectoriel a un rotationnel nul, il existe au moins Un champ scalaire dont il est le gradient. - Si un champ vectoriel a une divergence nulle, il existe au moins un champ vectoriel dont il est le rotationnel. 2 Définition des potentiels 𝑨⃗⃗ et V. L’équation 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0⃗ et la propriété précédente permettent de définir un champ vectoriel A appelé potentiel vecteur tel que : 𝐵⃗⃗ = 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗ L’équation de Maxwell-Faraday devient: 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡= 𝜕 𝜕𝑡𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗ Soit 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ + 𝜕𝐴 𝜕𝑡 = 0⃗ Il existe donc au moins un champ scalaire que l’on
Page 10 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 10 Notera – V V est appelé potentiel scalaire tel que: 𝐸⃗ +𝜕𝐴 𝜕𝑡= 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 soit 𝐸⃗ = 𝜕𝐴 𝜕𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 dans le cas du régime permanent 𝜕𝐴 𝜕𝑡= 0 on retrouve l’expression classique 𝐸⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 VII- Equations de Maxwell dans un conducteur et relations de passage du champ électromagnétique. 1 Equations de Maxwell dans un conducteur Dans le cadre de l’ARQS le champ électromagnétique vérifie les équations de Maxwell simplifiées : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0⃗ 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 Ainsi, dans un conducteur, l’ARQS ne diffère des régimes stationnaires que par la prise en compte des phénomènes d’induction équation de Maxwell-Faraday. 2 Relations de passage du champ électromagnétique 2.1 Le champ électrique 𝐸⃗ = 𝐸⃗ 2 𝐸⃗ 1 =𝜎𝜀0 𝑛⃗ 1→2 La discontinuité du champ électrique lors de la traversée d’une surface chargée est égale à la densité surfacique de charge 𝜎 divisée par 𝜀0. 𝑛⃗ 1→2 étant le vecteur unitaire normal à la surface chargée et orienté du milieu 1 vers le milieu 2. Seule la composante du champ électrique normale à la surface de séparation des deux milieux est discontinue. La composante tangentielle du champ électrique est continue. 2.2 Le champ magnétique 𝐵⃗ = 𝐵⃗ 2 𝐵⃗ 1 = 𝜇0𝑗𝑠⃗⃗ 𝑛⃗ 1→2 d’où la continuité de la composante normale et la discontinuité de la composante tangentielle. VIII. Densité volumique d’énergie électromagnétique, vecteur de Poynting, équation locale de conservation de l’énergie.
Page 11 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 11 1. Puissance volumique cédée par le champ EM à la matière : Un champ EM E, B va interagir avec des particules chargées et leur fournir de l’ énergie. En effet, une charge q est soumise de la part de ce champ EM à la force de Lorentz, dont la puissance s’écrit : 𝑃𝐿= 𝑞𝐸⃗ + 𝑣 𝐵⃗ . 𝑣 = 𝑞𝐸⃗ . 𝑣 2 Equation locale de conservation de l’énergie : Par analogie avec les équations de conservation charge, masse, diffusion, chaleur, on souhaite obtenir une équation du type : 𝜕𝑒𝑒𝑚𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣𝜋⃗ = 𝑗 . 𝐸⃗ 𝒆𝒆𝒎 est l’énergie électromagnétique volumique contenue dans le champ EM et 𝜋⃗ un vecteur appelé vecteur de Poynting sensé donner le sens des échanges d’énergie EM notamment par le calcul de son flux à travers une surface. L’énergie E.M. totale 𝑬𝒎𝒕 comprise dans le volume V à l’instant t vaut : 𝑬𝒎𝒕 = 𝑒𝑒𝑚𝑽𝒅𝝉 𝑒𝑒𝑚 étant la densité volumique d’énergie électromagnétique, 𝒅𝝉 est l’élément de volume. Démonstration : L’équation de conservation de la charge s’écrit: 𝑑𝑖𝑣𝑗 +𝑑𝜌𝑑𝑡= 0 on exprime le produit 𝑗 . 𝐸⃗ à partir de l’équation de Maxwell-Ampère : 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝜇0𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 𝑗 . 𝐸⃗ = 𝐸⃗ 𝜇0 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ 𝜀0𝜇0𝜕𝐸⃗ 𝜕𝑡 or : 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝐵⃗ . 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ 𝐸⃗ . 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝐵⃗ . 𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡 𝐸⃗ . 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ d’où : 𝐸⃗ . 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 12𝜕𝐵2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝑡 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ 𝐵⃗
Page 12 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 12 𝑗 . 𝐸⃗ = 12𝜇0𝜕𝐵2⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝑡𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ 𝐵⃗ 𝜀02𝜕𝐸2⃗⃗⃗⃗ 𝜕𝑡 finalement : 𝜕𝜕𝑡 𝜀02 𝐸2 + 12𝜇0 𝐵2 = 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ 𝐵⃗ 𝜇0𝑗 . 𝐸⃗⃗ Posons : 𝑒𝑒𝑚=𝜀02 𝐸2 + 12𝜇0 𝐵2 la densité volumique d’énergie électromagnétique 𝜋⃗ =𝐸⃗ 𝐵⃗ 𝜇0 : vecteur de Poynting L’équation précédente s’écrit : 𝜕𝑒𝑒𝑚𝜕𝑡= 𝑑𝑖𝑣𝜋⃗ 𝑗 . 𝐸⃗ : équation du bilan d’énergie électromagnétique. La forme intégrale de ce bilan d’énergie dans un volume V s’écrit : 𝜕𝜕𝑡𝑒𝑒𝑚𝑑𝜏𝑉 = 𝜋⃗ . 𝑑𝑆 𝑗 . 𝐸⃗ 𝑑𝜏 𝑉 Remarque : Vitesse de propagation de l’énergie. Par analogie avec l’équation de conservation de la charge, on peut définir la vitesse de propagation de l’énergie notée 𝑢⃗ par la relation : 𝑢⃗ =𝜋⃗⃗ 𝑒𝑒𝑚 IX-Les équations de propagation du champ EM : Soit une distribution de charges localisées autour d’un point O, dont les densités sont fonction du temps exemple : une antenne métallique. Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution est la source de champs 𝐸⃗ et 𝐵⃗ dans tout le voisinage de O. 1 obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
Page 13 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 13 BtERotBRottERotRotEEdivgradERotRot0EdivtEjBRot0000000tEjtEgradOrAvecetD’où Soit, finalement : Δ𝐸⃗ 𝜀0𝜇0𝜕2𝐸⃗ 𝜕𝑡2 =1𝜀0 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜌+ 𝜇0𝜕𝑗 𝜕𝑡 C’est l’équation de propagation du champ électrique. Pour la propagation du champ magnétique on a: or 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ Δ𝐵⃗ = 𝜇0 𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗 + 𝜀0𝜇0𝜕 𝜕𝑡𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ d’où l’équation de propagation du champ magnétique : Δ𝐵⃗ 𝜀0𝜇0𝜕2𝐵⃗ 𝜕𝑡2 = 𝜇0𝑅𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑗 2 cas particulier de la propagation des ondes E.M. dans le vide sans charges ni courants : 𝜌= 0 𝑒𝑡 𝑗 = 0⃗ d’où : Δ𝐸⃗ 𝜀0𝜇0𝜕2𝐸⃗ 𝜕𝑡2 = 0 et Δ𝐵⃗ 𝜀0𝜇0𝜕2𝐵⃗ 𝜕𝑡2 = 0 C’est l’équation de D’Alembert X- Effet de peau dans un conducteur ohmique. Longueur de pénétration dans un métal : Un champ EM pénètre dans un métal bon conducteur de conductivité σ. Par action du champ électrique, les électrons du métal sont accélérés et fournissent une partie de leur énergie cinétique par chocs avec les ions positifs du réseau métallique. L’énergie de l’onde est dissipée par effet Joule ce qui cause l’amortissement de l’onde.
Page 14 : Chapitre 5 : Les équations locales de l’électromagnétisme Boumiz Abdelaziz Page 14 On cherche à calculer la distance caractéristique d’amortissement ou profondeur de pénétration. Pour cela, on considère un métal de conductivité σ pour lequel on cherche une solution des équations de Maxwell correspondant à des champs sinusoïdaux de pulsation ω. 𝐸⃗ = 𝐸0𝑓𝑥𝑒𝑥𝑝𝑖𝑘𝑥ωt𝑢⃗ 𝑧 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝜕 𝜕𝑡𝐵⃗ soit ⃗⃗ 𝐸⃗ = 𝑖𝜔𝐵⃗ d’où l’expression de 𝐵⃗ : 𝐵⃗ =1𝜔𝐸0𝑘𝑓𝑥 + 𝑖𝑓′𝑥𝑒𝑥𝑝𝑖𝑘𝑥ωt𝑢⃗ 𝑧 Les résultats obtenus restent valables pour une géométrie cylindrique ; ainsi, un câble cylindrique homogène de section droite circulaire ne peut être parcouru par des courants que dans un zone cylindrique superficielle d’épaisseur quelques δ. Il ne sert à rien pour transporter un courant électriquesinusoïdal d’utiliser un câble en cuivre de rayon nettement supérieur à δ.
