CM Espace Prehilbertien Preuves 3.14 a 3.3
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Page 1 : K. El Amine 10 Preuve: Soit June partie finie de J. Si L O:fz;j = 0, alors pour tout k E J: JK / jEJ O = Lo:jXj,xk = Lo:jXj,xk = akxk,xk = a:kllxkll2• = Ctk = 0, car llxkll =I- O jEJ jEJ ri,.- Remarque : En conséquence i toute famille orthonormale x.;E/ de vecteurs de E est libre. Théorème 3.15 Formule de PYTHAGORE Soit E, ., . un espace préhilbertien réel. Vx, y E E : x.Ly = llx + Yll2 = llxll2 + IIYll2 Preuve : x.Ly = x, y = 0 : llxll2 + IIYll 2 + 2;, y = llxll 2 + IIYll2 : llx + Yll2 ' llxll2 + IIYll2 Proposition 3.16 Soit E, .,.un espace préhilbertien réel et xiiip une famille finie d'éléments de E: xiiip est orthogonale i=l i=l J La réciproque est fausse pour p 3. Preuve : Par récurrence ou bien directement en écrivant : p p p p .P pp 11Lxill2 = Lxi,Lxi = Lxi,Lxi = LLxi,xj i=l i=l i=l i=l j=l i=l j=l p = Lxi ,xi car xi ,xj = 0 si i =J j i=l p = Lllxill2 i=l • Montrons par un contre exemple que la réciproque est fausse si p 3. Considérons l'espace euclidien usuel R.2 , .,..Soit X1 = 1,0, x2 = 0, 1 et X3 = 1, -1. On a· llx1 + x2 + x311 2 = 111, 0 + 0, 1 + 1, -111 2 = 112, 0112 = 4 llx1ll2 + llx2ll2 + llx3112 = 111,0112 + 110, 1112 + 111, -1112 = 1 + 1 + 2 = 4 Les deux quantités sont égales, mais les vecteurs ne sont pas deux à deux orthogonaux. Par exemple x1 , X3 = 1 =/ 0 3.3 Procédé d'orthogonalisation de GRAM-SCHMIDT Dans tout JR-ev. E de dimension finie et pour toute f. b.s. cp sur E, il existe une base cp-orthogonale. Le théorème ref: voir chapitre Forme bilinéaire établit l'existence d'une telle base mais ne fournit pas le moyen de la construire. La méthode d'orthogonalisation de Gram-Schmidt, permet, à l'aide du produit scalaire, de construire des bases orthogonales à partir d'une base quelconque de E. Théorème 3.17 Orthogonalisation de GRAM-SCHMIDT J.... Soit E/ ., . un espace préhilbertien réel et v1, v2, ... , vp une famille libre de E. La fa mille Q1, Q2, ... , qp définie par récurrence par : Vérifie :
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