CM Espace Prehilbertien
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Page 1 : Espace Préhilbertien RéelKhalid El Amine I.Department of Mathematics and FinanceNotations et conventions :• K désigne le corps R ou le corps C.• E désigne un espace vectoriel sur R.1Produit scalaire1.1DénitionDénition 1.1 Produit scalaireOn appelle produit scalaire sur E, toute forme bilinéaire symétrique positive dénie sur E.• On abrègera souvent produit scalaire en p.s.Notation. Si ϕ est un p.s. sur E, alors on note souvent ϕx, y par,⟨x, y⟩ou x y ou x.yRemarque. Un p.s. sur E induit naturellement un p.s. sur tout s.e.v. de E.Exemple. x = x1, . . . , xn Rn,y = y1, . . . , yn Rn, on pose⟨x, y⟩=nXk=1xkykMontrer que ⟨. , .⟩est un produit scalaire sur Rn.Solution. x, x′, y Rn et α R1 ⟨x, y⟩=nXk=1xkyk R car somme nie de réels.⟨. , .⟩est donc une forme sur Rn × Rn car bien dénie sur cet e.v. et à valeurs dans R.2 ⟨x, y⟩=nXk=1xkyk =nXk=1ykxk = ⟨y, x⟩. ⟨. , .⟩est donc symétrique.3 ⟨αx + x′, y⟩=nXk=1αxk + x′kyk = αnXk=1xkyk +nXk=1x′kyk = α⟨x, y⟩+ ⟨x′, y⟩.⟨. , .⟩est donc linéaire à gauche. Par symétrie, ⟨. , .⟩est linéaire à droite. ⟨. , .⟩est alors bilinéaire.4 ⟨x, x⟩=nXk=1x2k 0 car somme de réels tous positifs. ⟨. , .⟩est donc positive.1
Page 2 : 2K. El Amine5 ⟨x, x⟩= 0 ⇔nXk=1x2k = 0 ⇔k 1, n, xk = 0 ⇔x = 0, . . . , 0. ⟨. , .⟩est donc dénie.Conclusion. ⟨. , .⟩est bien un produit scalaire sur Rn. Il est appelé produit scalaire canonique sur Rn.Remarque. On peut aussi utiliser la formulation matricielle.La matrice de la f.b. ⟨. , .⟩dans la base canonique de Rn est In, qui est symétrique positive dénie,par conséquent ⟨. , .⟩est un produit scalaire sur Rn.1.2Exemples fondamentaux de produit scalaire Produit scalaire canonique sur Rn : x = x1, . . . , xn Rn,y = y1, . . . , yn Rn⟨x, y⟩=nXk=1xkyk Produit scalaire canonique sur Mn,1R : X = xk Mn,1R,Y = yk Mn,1R⟨X, Y ⟩= XT Y =nXk=1xkyk Produit scalaire canonique sur Mn,pR : A = aij Mn,pR,B = bij Mn,pR⟨A, B⟩= trAT B =pXj=1nXi=1aijbij Produit scalaire canonique sur RnX : P =nPk=0akXk RnX,Q =nPk=0bkXk RnX⟨P, Q⟩=nXk=0akbk Produit scalaire canonique sur Ca, b, R : f, g Ca, b, R⟨f, g⟩=Z baftgt dt1.3Inégalité de SchwarzThéorème 1.2 Inégalité de SchwarzSoit ⟨. , .⟩un produit scalaire sur E. Pour tout x, y E•⟨x, y⟩2 ⟨x, x⟩⟨y, y⟩• ⟨x, y⟩2 = ⟨x, x⟩⟨y, y⟩si et seulement si x et y sont liés.Remarque. Par passage à la racine, l'inégalité de Schwarz s'écrit aussi⟨x, y⟩ p⟨x, x⟩p⟨y, y⟩Preuve.
Page 3 : Espace Préhilbertien Réel3Exemples.• Sur E = Rn muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Schwarz prend la forme : nXk=1xkyk!2 nXk=1x2k! nXk=1y2k!x, y E• Sur E = Mn,pR muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Schwarz prend la forme :trAT B2 trAT AtrBT BA, B E• Sur E = Ca, b, R muni du produit scalaire canonique, l'inégalité de Schwarz prend la forme : Z baftgt dt!2 Z baf 2t dt! Z bag2t dt!f, g EThéorème 1.3 Inégalité de MinkowskiSoit ⟨. , .⟩un produit scalaire sur E. Pour tout x, y E•p⟨x + y, x + y⟩p⟨x, x⟩+p⟨y, y⟩•p⟨x + y, x + y⟩=p⟨x, x⟩+p⟨y, y⟩si et seulement si x et y sont positivement liés.Rappel. x et y sont positivement liés ⇐⇒λ 0 : x = λy ou y = λx ⇐⇒x = 0 ou y = 0 oux ̸= 0 et y ̸= 0 et λ 0 : y = λx.Preuve.1.4Norme associée à un produit scalaireRappelons la dénition d'une norme sur un espace vectoriel.Dénition 1.4 NormeSoit E un K-espace vectoriel. On appelle norme sur E, toute fonction N : E →R qui vérie lespropriétés suivantes :1x E,Nx = 0 ⇔x = 0ESéparation2x E et λ K,Nλx = λNxHomogénéité3x, y E2,Nx + y Nx + NyInégalité triangulaireUn K-espace vectoriel E muni d'une norme N est appelé espace vectoriel normé. Il est noté E, N.Théorème 1.5 Si ⟨. , .⟩est un produit scalaire sur E, alors l'application .: E →R dénie par :x=p⟨x, x⟩,x Eest une norme sur E. .est appelée norme associée au produit scalaire ⟨. , .⟩.Preuve.
Page 4 : 4K. El Amine1.5Exemples de normes associées au produit scalaire Dans Rn, la norme associée au produit scalaire canonique est : x = x1, . . . , xn Rnx= nXk=1x2k!1/2 Dans Mn,pR, la norme associée au produit scalaire canonique est : A = aij Mn,pRA=trAT A1/2 =pXj=1nXi=1a2ij1/2 Dans Ca, b, R, la norme associée au produit scalaire canonique est : f Ca, b, Rf= Z baft2 dt!1/22Espace Préhilbertien Réel2.1DénitionDénition 2.1 Espace préhilbertienOn appelle espace préhilbertien réel, un R-ev E muni d'un produit scalaire. On le note E, ⟨. , .⟩.• On abrègera parfois espace préhilbertien réel en : e.p.r.Dénition 2.2 Espace euclidienOn appelle espace euclidien, un espace préhilbertien réel de dimension nie.2.2Inégalités et IdentitésConvention. La norme associée à un produit scalaire sera appelée norme préhilbertienne ou normeeuclidienne si dimE .En utilisant la dénition de la norme associée à un produit scalaire, i.e.x=p⟨x, x⟩on reformule le théorème de Schwarz et le théorème de Minkowski.Théorème 2.3 Inégalité de SchwarzSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Pour tout x, y E•⟨x, y⟩ xy• ⟨x, y⟩ = xysi et seulement si x et y sont liés.Théorème 2.4 Inégalité de MinkowskiSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Pour tout x, y E•x + yx+ y• x + y= x+ ysi et seulement si x et y sont positivement liés. i.e. λ 0 : x = λy ouy = λx
Page 5 : Espace Préhilbertien Réel5Proposition 2.5 Identités remarquablesSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Pour tout x, y E :x + y2 = x2 + 2⟨x, y⟩+ y2x y2 = x2 2⟨x, y⟩+ y2Preuve. x + y2 = ⟨x + y, x + y⟩= ⟨x, x⟩+ 2⟨x, y⟩+ ⟨y, y⟩= x2 + 2⟨x, y⟩+ y2 x y2 = ⟨x y, x y⟩= ⟨x, x⟩2⟨x, y⟩+ ⟨y, y⟩= x2 2⟨x, y⟩+ y2Proposition 2.6 Identité du parallélogrammeSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Pour tout x, y E :x + y2 + x y2 = 2x2 + y2Preuve. Par addition des identités remarquables ci-dessus.Interprétation. Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à 2 fois lasomme des carrés des cotés. faire un dessinRemarque Importante. Toute norme vériant l'identité du parallélogramme est préhilbertienne.Cette identité permet donc de vérier si une norme est associée à un produit scalaire ou pas.Proposition 2.7 Identités de polarisationSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Pour tout x, y E :⟨x, y⟩=12x + y2 x2 y2=14x + y2 x y2Preuve. A partir des identités remarquables.Remarque. L'identité de polarisation une des 2 permet de reconstituer l'expression d'un produitscalaire connaissant la norme préhilbertienne associée.Note.1 Si E est un e.p.r. alors E est un e.v.n. ; puisqu'à un p.s. on peut toujours associer une norme.2 "Réciproquement", si E est un e.v.n. et si sa norme vérie l'identité du parallélogramme, alorsE est un e.p.r., dont le p.s. est obtenu par l'une des identités de polarisation.3Orthogonalité3.1Dénition-GénéralitésDénition 3.1 Vecteurs orthogonauxSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel.On dit que deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux, et on note x y, si :⟨x, y⟩= 0Remarque. Donc par symétrie :x et y sont orthogonaux équivaut à x est orthogonal à y équivaut à y est orthogonal à x.
Page 6 : 6K. El AmineRemarque. La notion d'orthogonalité est relative au produit scalaire choisi sur E.Deux vecteurs peuvent être orthogonaux pour un produit scalaire mais pas pour un autre.Dénition 3.2 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Un vecteur x E est dit isotrope s'il estorthogonal à lui même. i.e. :⟨x, x⟩= 0Propriétés 3.3 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Le vecteur nul est orthogonal à tous les autres vecteurs de E. Le vecteur nul est le seul vecteur isotrope de E.Preuve.Dénition 3.4 Orthogonal à une partie de ESoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Soit A E et x E. On dit que x est orthogonal à A, et on note x A, si :y A,⟨x, y⟩= 0 Soit A, B E. On dit que A et B sont orthogonales, et on note A B, si :x A et y B ,⟨x, y⟩= 0Proposition 3.5 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Si F est un s.e.v. de E tel queF = V ectv1, . . . , vpalors, x Ex F⇔x vi i 1, pPreuve.Proposition 3.6 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Si F et G deux s.e.v. de E tels queF = V ectu1, . . . , up et G = V ectv1, . . . , vqAlorsF G ⇐⇒i, j 1, p × 1, q ,⟨ui, vj⟩= 0Preuve.Exemple. Dans R4 muni du p.s. usuel, on poseF = V ect1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1 et G = V ect0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1Montrer que F G.Solution.
Page 7 : Espace Préhilbertien Réel7Dénition 3.7 Orthogonal d'une partie de ESoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel et A E.On appelle orthogonal de A, et on note A, l'ensemble des vecteurs x de E orthogonaux à A. i.e.A= x E:y A⟨x, y⟩= 0Proposition 3.8 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. AlorsAest un s.e.v. de E.Remarque. Aest un s.e.v. de E, même si A ne l'est pas.Preuve.Propriétés 3.9 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Alors : 0E= E E= 0EPreuve. x E ⟨x , 0E⟩= 0 ⇒0E= E x E⇔y E, ⟨x , y⟩= 0 ⇒en particulier que ⟨x , x⟩= 0 ⇒x = 0E. Ainsi E= 0E.Proposition 3.10 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel et A E. Alors,A= V ectAoù V ectA est le s.e.v. de E engendré par A.Preuve.Exemple. Dans l'espace euclidien usuel R3, ⟨. , .⟩, déterminer F , oùF = V ect1, 0, 1, 1, 1, 0Solution.Remarque. Attention, dire que deux s.e.v. de E ou deux parties de E sont orthogonaux ne signiepas que l'un est l'orthogonal de l'autre. Penser à l'exemple de deux droites perpendiculaires dansl'espace R3.Exemple. R3 est muni du p.s. usuel. SoitD1 = V ect1, 0, 0 = a, 0, 0 ; a RD2 = V ect0, 1, 0 = 0, b, 0 ; b ROn aD1 D2 car⟨1, 0, 0, 0, 1, 0⟩= 0MaisD1= P = V ect0, 1, 0, 0, 0, 1 = 0, b, c ; b, c RProposition 3.11 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Soit F un s.e.v. de E. Alors F F = 0E FF F F Preuve.
Page 8 : 8K. El Amine3.2Famille orthogonale, famille orthonormaleDénition 3.12 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel et I un ensemble d'indices quelconque. Une famille xiiI d'éléments de E est dite orthogonale si :i, j Ii ̸= j⇒⟨xi, xj⟩= 0 Une famille xiiI d'éléments de E est dite orthonormale si :xiiIest orthogonalei Ixi= 1 Si xiiI est une base de E, alors on parle de base orthogonale ou de base orthonormale.On abrègera parfois base orthonormale en : b.o.n.Note. On appelle delta de Kronecker, la fonction de deux variables i et j notée et dénie parδij =0si i ̸= j1si i = j• Une famille xiiI d'éléments de E est donc orthonormale, sii, j I⟨xi, xj⟩= δijProposition 3.13 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel et I un ensemble d'indices quelconque.Toute famille orthogonale xiiI de vecteurs tous non-nuls de E est libre.Preuve. Soit J une partie nie de I. SiXjJαjxj = 0E avec αj R, alors pour tout k J :0 = ⟨0E, xk⟩= ⟨XjJαjxj, xk⟩=XjJαj⟨xj, xk⟩= αk⟨xk, xk⟩= αkxk2⇒αk = 0,car xk̸= 0Théorème 3.14 Formule de PythagoreSoit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. x, y E :xy⇔x + y2 = x2 + y2Preuve. On sait que x, y E, x + y2 = x2 + y2 + 2⟨x, y⟩. D'oùxy ⇔⟨x, y⟩= 0 ⇔x2 + y2 + 2⟨x, y⟩= x2 + y2 ⇔x + y2 = x2 + y2Proposition 3.15 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace préhilbertien réel. Soit p Net xi1ip une famillede p éléments de E. Alorsxi1ip est orthogonale⇒pXi=1xi2 =pXi=1xi2• La réciproque est fausse pour p 3.Preuve.
Page 9 : Espace Préhilbertien Réel93.3Procédé d'orthogonalisation de Gram-SchmidtThéorème 3.16 Orthogonalisation de Gram-SchmidtSoit E, ⟨., .⟩ un espace préhilbertien réel. Soit p Net v1, v2, . . . , vp une famille libre de E.La famille q1, q2, . . . , qp dénie par récurrence par :q1 = v1etk 2, . . . , p qk = vk k1Xi=1⟨vk, qi⟩qi2 qiVérie : q1, q2, . . . , qp est une famille orthogonale V ectv1, v2, . . . , vp = V ectq1, q2, . . . , qp▶Pour obtenir une famille orthonormale, on normalise les vecteurs qi, i.e., on poseεi =qiqi,i 1, pLa famille obtenue ε1, ε2, . . . , εp est une famille orthonormale.Preuve.Exemple. Soit E = R4, muni de son produit scalaire canonique. Soit F = V ectv1, v2, v3 avec :v1 = 0, 0, 1, 1;v2 = 0, 0, 1, 0;v3 = 1, 1, 1, 0Déterminer une base orthonormale de F.Solution.3.4Base orthonormale et espace euclidienDénition 3.17 Espace euclidienOn appelle espace euclidien, tout espace vectoriel sur R, de dimension nie, muni d'un produit scalaire.Proposition 3.18 Tout espace euclidien E, ⟨. , .⟩ admet une base orthonormale.Preuve. On part d'une base quelconque de E et on utilise le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.Exemples. Dans Rn muni du produit scalaire canonique :1 La base canonique de Rn est une base orthonormale de Rn.2 ε1, ε2 est une base orthonormale de R2, oùε1 cos θsin θ;ε2 sin θcos θavec θ 0, 2π.3 ε1, ε2, ε3 est une base orthonormale de R3, oùε1 cos θ cos ϕsin θ cos ϕsin ϕ;ε2 cos θ sin ϕsin θ sin ϕcos ϕ;ε3 sin θcos θ0avec θ 0, 2π et ϕ π2 , π2 .
Page 10 : 10K. El AmineThéorème 3.19 Toute famille orthonormale d'un espace euclidien E peut être complétée en une baseorthonormale de E.Preuve. On utilise le théorème de la base incomplète et on orthonormalise les vecteurs ajoutés grâceau procédé de Gram-Schmidt.Proposition 3.20 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace euclidien, B une base de E et A = MB⟨. , .⟩. Alors : B est orthogonale si et seulement si A DnR. B est orthonormale si et seulement si A = In.Preuve. Posons B = ei1in. Par dénition : A = ⟨ei, ej⟩1i,jn.Proposition 3.21 Soit E, ⟨. , .⟩ un espace euclidien et B une base orthonormale de E. Pour toutx, y E, en notant X = MBx et Y = MBy :⟨x, y⟩= XT YPreuve. La matrice de ⟨. , .⟩dans une base orthonormale est In.Remarque importante. Dans un espace euclidien muni d'une b.o.n., le produit scalaire de 2 vecteurss'exprime comme le produit scalaire usuel de Rn.Proposition 3.22 Règles de calcul en base orthonormaleSoit E, ⟨. , .⟩ un espace euclidien et B = e1, . . . , en une base orthonormale de E. Pour tout x, y Ex =nXi=1⟨x , ei⟩ei;x2 =nXi=1⟨x , ei⟩2;⟨x , y⟩=nXi=1⟨x , ei⟩⟨y , ei⟩Preuve.
