CM Forme bilineaire
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Page 1 : Forme bilinéaireKhalid El Amine I.Department of Mathematics and FinanceNotations et conventions :• K désigne le corps R ou le corps C.• E désigne un espace vectoriel sur R.1FormeDénition 1.1 FormeSoit V un K-ev. On appelle forme sur V toute application ϕ de V dans K. i.e. :ϕ : V →KRemarque.• En général, on appelle forme, toute application d'un espace vectoriel dans son corps de base.• En analyse, une application d'un K-espace vectoriel V à valeurs dans R est appelée fonctionnelle.L'espace sous-jacent V est souvent un espace de fonctions.Dénition 1.2 Forme symétrique et antisymétriqueSoit V un K-ev. Soit ϕ : V × V →K une forme. On dit que : ϕ est symétrique six, y Vϕx, y = ϕy, x ϕ est antisymétrique six, y Vϕx, y = ϕy, xExemple. Soit ϕ la forme sur R2 × R2 dénie pour tout x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2 parϕx, y = x1y2 + x2y1Montrer que ϕ est symétrique.Solution. x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2ϕx, y = x1y2 + x2y1 = y1x2 + y2x1 = ϕy, xϕ est bien symétrique.Exemple. Soit ϕ la forme sur R2 × R2 dénie pour tout x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2 parϕx, y = x1y2 x2y1Montrer que ϕ est antisymétrique.Solution. x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2ϕx, y = x1y2 x2y1 = y2x1 y1x2 = y1x2 y2x1 = ϕy, xϕ est bien antisymétrique.1
Page 2 : 2K. El Amine2Forme linéaire2.1DénitionDénition 2.1 Forme linéaireSoit V un K-ev. On appelle forme linéaire sur V toute application linéaire ϕ de V dans K, i.e.ϕ LV, KExemple. Soit a1, a2 R xés. Soit ϕ l'application dénie sur R2 parϕx = a1x1 + a2x2,x = x1, x2 R2Montrer que ϕ est une forme linéaire sur R2.Solution.1 x = x1, x2 R2, a1x1 + a2x2 R, car somme nie de nombres réels.D'où x R2, ϕx R ⇒ϕ est une forme sur R2.2 x = x1, x2 R2 et x′ = x′1, x′2 R2 ; α R et β Rϕαx + βx′ = ϕαx1, x2 + βx′1, x′2= ϕαx1 + βx′1, αx2 + βx′2= a1αx1 + βx′1 + a2αx2 + βx′2= αa1x1 + a2x2 + βa1x′1 + a2x′2= αϕx + βϕx′Ainsi ϕ est linéaire.Par 1 et 2, on conclut que ϕ est une forme linéaire sur R2.Remarque. Avec a1, . . . , an R xés. Toute forme linéaire ϕ sur Rn s'écrit :ϕx = a1x1 + · · · + anxn,x = x1, . . . , xn Rn• a1 . . . an est la matrice de ϕ relativement aux bases canoniques de Rn et R.Exercice. Soit ϕ l'application dénie sur MnR parϕA = trA,A MnRMontrer que ϕ est une forme linéaire sur MnR.Solution.1 MnR est un R-ev.2 A = aij MnR, ϕA =nXi=1aii ⇒ϕA R car il s'agit d'une somme nie de nombresréels. ϕ est donc une forme sur MnR.3 A = aij MnR et B = bij MnR ; α R et β RαA + βB = αaij + βbijAinsiϕαA + βB = trαA + βB =nXi=1αaii + βbii = αnXi=1aii + βnXi=1bii = α trA + β trB= αϕA + βϕBL'application trace est donc une forme linéaire sur MnR.
Page 3 : Forme Bilinéaire32.2HyperplanDénition 2.2 HyperplanSoit V un K-ev. On appelle hyperplan de V , le noyau d'une forme linéaire non nulle sur V .Exemple. Soit ϕ la forme linéaire sur R2 dénie parϕx = x1 + x2x = x1, x2 R2Déterminer H l'hyperplan de R2 associé à la forme linéaire ϕ.Solution. ϕ est non nulle. x = x1, x2 R2x H ⇔x kerϕ ⇔ϕx = 0 ⇔x1 + x2 = 0 ⇔x1 = x2 ⇔x = x2, x2 = x21, 1Ainsi H = V ect1, 1.Remarque. Un hyperplan de V est un s.e.v. de V , car c'est le noyau d'une application linéaire.Théorème 2.3 Soit V un K-ev et H un s.e.v. de V . AlorsH est un hyperplan de V , si et seulement si, il existe une droite vectorielle D de V telle que :V = H DPreuve.Corollaire 2.4 Soit V un K-ev de dimension n, n 1 et H un s.e.v. de V . AlorsH est un hyperplan de V , si et seulement si, H est de dimension n 1Preuve.3Forme bilinéaire3.1Cas d'un espace vectoriel de dimension quelconqueDans cette sous-section : E est un R-ev de dimension quelconque.3.1.1Forme bilinéaireDénition 3.1 Forme bilinéaireOn appelle forme bilinéaire sur E toute application ϕ : E × E →R vériant :1 ϕ est linéaire par rapport à la première place ou au premier argument :x, x′, y E et α, β Rϕαx + βx′, y = αϕx, y + βϕx′, y2 ϕ est linéaire par rapport à la deuxième place ou au deuxième argument :x, y, y′ E et α, β Rϕx, αy + βy′ = αϕx, y + βϕx, y′• On notera L2E × E; R le R-espace vectoriel des formes bilinéaires sur E.• On abrègera souvent forme bilinéaire en : f.b.Remarque. Attention L2E × E; R ̸= LE × E; R.
Page 4 : 4K. El AmineExemple. Donner un contre exemple pour illustrer cette remarque.Solution.Propriété 3.2 Si ϕ est une forme bilinéaire sur E, alors x E :ϕx, 0E = ϕ0E, x = 0Preuve. x E :• ϕx, 0E = ϕx, 0E + 0E = ϕx, 0E + ϕx, 0E, par linéarité à droite. Ainsiϕx, 0E = 2ϕx, 0EComme ϕx, 0E R, car ϕ est une forme, on a nécessairement ϕx, 0E = 0.• ϕ0E, x = 0 se démontre de la même manière, en utilisant la linéarité à gauche de ϕ.Proposition 3.3 Soit ϕ une forme bilinéaire sur E.p, q Nα1, . . . , αp R et β1, . . . , βq R ; x1, . . . , xp E et y1, . . . , yq EϕpXi=1αixi,qXj=1βjyj=pXi=1qXj=1αiβjϕxi, yjPreuve.3.1.2Forme bilinéaire symétrique/antisymétriqueProposition 3.4 Forme bilinéaire symétriquePour qu'une forme ϕ : E × E →R soit une forme bilinéaire symétrique, il faut et il sut que l'onait :1 ϕ est symétrique.2 ϕ est linéaire par rapport à la première place.• On notera L2,sE × E; R le R-espace vectoriel des formes bilinéaires symétrique sur E.• On abrègera souvent forme bilinéaire symétrique en : f.b.s.Preuve. Simple vérication.Exemple. La forme ϕ : R × R →R dénie par : ϕx, y = xy est une f.b.s. sur R.1 Symétrie : x, y Rϕx, y = xy = yx = ϕy, x2 Bilinéarité : x, x′, y R et α, β Rϕαx + βx′, y = αx + βx′y = αxy + βx′y = αϕx, y + βϕx′, yϕ est donc linéaire par rapport au premier argument et, par symétrie, elle est linéaire par rapportau deuxième argument. ϕ est donc bilinéaire.ϕ est bien une f.b.s.
Page 5 : Forme Bilinéaire5Proposition 3.5 Forme bilinéaire antisymétriquePour qu'une forme ϕ : E × E →R soit une forme bilinéaire antisymétrique, il faut et il sut quel'on ait :1 ϕ est antisymétrique.2 ϕ est linéaire par rapport à la première place.• On notera L2,aE × E; R le R-espace vectoriel des formes bilinéaires antisymétrique sur E.• On abrègera souvent forme bilinéaire antisymétrique en : f.b.a.Preuve. Simple vérication.Exercice. Montrer que l'application déterminant sur R2 est une forme bilinéaire antisymétrique.Solution.Proposition 3.6 Les deux s.e.v.L2,sE × E; R et L2,aE × E; R sont supplémentaires dansL2E × E; R, i.e :L2,sE × E; R L2,aE × E; R = L2E × E; RPreuve.3.1.3Forme bilinéaire symétrique positive/dénieDénition 3.7 f.b.s. positiveUne forme bilinéaire symétrique ϕ : E × E →R est dite positive si :x Eϕx, x 0Dénition 3.8 f.b.s. dénieUne forme bilinéaire symétrique ϕ : E × E →R est dite dénie si :x Eϕx, x = 0 ⇒x = 0EDénition 3.9 f.b.s. positive dénieUne forme bilinéaire symétrique ϕ : E × E →R est dite positive dénie si elle est positive et elle estdénie, i.e. :x E\0Eϕx, x 0Exemple. Soit ϕ : R2 × R2 →R dénie par : x = x1, x2 R2 et y = y1, y2 R2ϕx, y = x1y1 x2y2Montrer que ϕ est une f.b.s. sur R2. Est-elle positive ? dénie ?Solution.3.2Cas d'un espace vectoriel de dimension nieDans cette sous-section : n Net E est un R-ev de dimension nie avec dimE = n.
Page 6 : 6K. El Amine3.2.1Matrice d'une forme bilinéaireOn suppose que dimE = n. Soit B = e1, . . . , en une base de E. Pour x E, on noteX = MBx =x1x2...xnle vecteur colonne des composantes de x dans la base B.Dénition 3.10 Soit ϕ une f.b. sur E et B = e1, ..., en une base de E. On appelle matrice de ϕdans la base B, la matrice carrée d'ordre n :MBϕ = ϕei, ej1i,jn =ϕe1, e1. . .ϕe1, en.........ϕen, e1. . .ϕen, enExemple. Soit E = R2 muni de sa base canonique B = e1, e2. Soit a, b, c, d R, etϕ : R2 × R2→Rx1, x2, y1, y27→ax1y1 + bx1y2 + cx2y1 + dx2y2Il est clair que ϕ est une forme bilinéaire sur R2 et on a :MBϕ = ϕe1, e1ϕe1, e2ϕe2, e1ϕe2, e2= abcdProposition 3.11 Soit ϕ une f.b. sur E, B = e1, . . . , en une base de E et A = MBϕ. Alorsx, y Eϕx, y = XT AYoù X = MBx et Y = MBy.Preuve.Remarque. Réciproquement, toute matrice A de MnR dénit une forme bilinéaire sur E via laformule :ϕx, y = XT AYPrécisément, on a la propositionProposition 3.12 Soit B une base de E. L'applicationMB : L2E × E; R→MnRϕ7→MBϕest un isomorphisme d'espaces vectoriels.Preuve.Remarque. Soit ϕ une application dénie sur E × E. Alorsϕ est une f.b. sur E ⇐⇒A MnR telle que x, y E, ϕx, y = XT AY .Donc, en particulier :ϕ est une f.b. sur Rn ⇐⇒aij1i,jn Rn2 tels que x, y Rn ϕx, y =X1i,jnaijxiyj
Page 7 : Forme Bilinéaire7Exemple. Soit A =1325.Dénir la f.b. ϕ ayant pour matrice A dans la base canonique B de R2.Solution. Soit x = x1, x2, y = y1, y2 R2. Notons X = MBx et Y = MBy. On aϕx, y = XT AY = x1 x21325 y1y2= x1 x2y1 + 3y22y1 + 5y2= x1y1 + 3x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2Proposition 3.13 Changement de baseSoit ϕ une f.b. sur E, B et B′ deux bases de E et P = PB,B′ la matrice de passage de B à B′.Si A = MBϕ et A′ = MB′ϕ alors :A′ = P T APPreuve. Pour x E on note X = MBx et X′ = MB′x. On sait que X = PX′.Pour tout x, y E on a :ϕx, y = XT AY = PX′T APY ′ = X′T P T APY ′ce qui signie exactement que A′ = P T AP du fait de l'unicité de la matrice de ϕ dans la base B′.Exemple. Soit A =0011, la matrice d'une f.b. ϕ dans la base canonique B de R2. Soit B′ = v1, v2avec v1 = 1, 1 et v2 = 1, 1. Déterminer la matrice de ϕ dans la base B′.Solution. Notons P la matrice de passage de B à B′. On a P =1111.La matrice A′ de ϕ dans la base B′ est doncA′ = P T AP = 1111 0011 1111=2020Dénition 3.14 Une matrice M de MnR est dite congrue à une matrice M ′ de MnR, s'il existeP MnR inversible telles que :M ′ = P T MPRemarque. Cette dénition indique que deux matrices de MnR sont congrues si elles représententla même forme bilinéaire dans deux bases diérentes.3.2.2Matrice d'une forme bilinéaire symétrique/antisymétriqueProposition 3.15 Soit E un R-ev de dimension nie. Soit ϕ une forme bilinéaire sur E.Dans n'importe quelle base de E : ϕ est symétrique si et seulement si sa matrice est symétrique. ϕ est antisymétrique si et seulement si sa matrice est antisymétrique.Preuve.Exercice.1 Construire une forme bilinéaire symétrique ϕ sur R2.2 Construire une forme bilinéaire antisymétrique ψ sur R2.
Page 8 : 8K. El AmineSolution.1 Une f.b. ϕ est symétrique ssi sa matrice dans une base quelconque est symétrique.Exemple : A =1111est symétrique. Cela nous permet de construire une f.b.s. sur R2.ϕx, y = XT AY = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y22 Une f.b. ψ est antisymétrique ssi sa matrice dans une base quelconque est antisymétrique.Exemple : A = 0110est antisymétrique. Cela nous permet de construire une f.b. anti-symétrique sur R2.ψx, y = XT AY = x1y2 x2y1Notation : On note : SnR le s.e.v. de MnR des matrices symétriques. AnR le s.e.v. de MnR des matrices antisymétriques.Proposition 3.16 Les deux s.e.v. SnR et AnR sont supplémentaires dans MnR, i.e. :SnR AnR = MnRDe plus, les dimensions des R-ev SnR et AnR sont :dimSnR = nn + 12etdimAnR = nn 12Preuve.Corollaire 3.17 Soit E un R-ev de dimension nie n. Alors L2,sE × E; R est isomorphe à SnR L2,aE × E; R est isomorphe à AnRet doncdimL2,sE × E; R = nn + 12etdimL2,sE × E; R = nn 12Preuve.3.3Matrice d'une forme bilinéaire symétrique positive/dénieDénition 3.18 Soit A MnR symétrique. On dit que la matrice symétrique A est positive, siX Mn,1R ,XT AX 0 On dit que la matrice symétrique A est dénie, siX Mn,1R ,XT AX = 0 ⇔X = 0
Page 9 : Forme Bilinéaire9Remarque. Une matrice symétrique A est positive dénie si : X Mn,1R\On,1 , XT AX 0.Dénition 3.19 Soit A MnR. On appelle sous-matrice principale de A d'ordre k, la matriceAk =a11. . .a1k.........ak1. . .akk, 1 k nThéorème 3.20 Soit A MnR symétrique. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :1 A est positive dénie.2 Les déterminants des n sous-matrices principales de A sont strictement positifs.3 Toutes les valeurs propres dans C de A sont réelles et strictement positives.Preuve.Remarque. Si A est une matrice symétrique positive dénie, alors elle est inversible.Théorème 3.21 Soit E un R-ev de dimension nie, ϕ une forme bilinéaire sur E et A la matrice deϕ dans une base quelconque. Alorsϕ est symétrique positive dénie, si et seulement si, A est symétrique positive dénie.Preuve.
