CM Reduction Endomorphismes
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Page 1 : Réduction des endomorphismesKhalid El Amine I.Department of Mathematics and FinanceK désigne le corps R ou le corps C1Eléments propres d'un endomorphisme1.1Valeur propre et vecteur propreDans cette section, E désigne un espace vectoriel sur K, de dimension quelconque.Dénition 1.1 Valeur propreSoit f LE et λ K. On dit que λ est une valeur propre de f, s'il existe v E \ 0E tel que :fv = λv▶Le vecteur v est alors appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ.Dénition 1.2 SpectreSoit f LE. L'ensemble des valeurs propres de f s'appelle le spectre de f, on le note SpKf ouSpf.Dénition 1.3 Vecteur propreSoit f LE et v E \ 0E. On dit que v est un vecteur propre de f, s'il existe λ K tel que :fv = λv▶Le scalaire λ est alors appelé valeur propre de f associé au vecteur propre v.Remarque : un vecteur propre est non nul, par dénition.Dénition 1.4 Eléments propresSoit f LE Les valeurs propres et vecteurs propres de f sont appelés éléments propres de f. Soit λ K et v E. On dit que λ et v sont des éléments propres associés si :v ̸= 0Eet fv = λvExemple 1 : Considérons l'endomorphisme f : R2 →R2 dénie parfx, y = x y/2, x/2 + ya Vérier que v1 = 1, 1 est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ1 = 1/2.b Vérier que v2 = 1, 1 est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ2 = 3/2.Solution :1
Page 2 : 2Réduction des endomorphismes1.2Sous-espace propreProposition 1.5 Soit f LE et λ K. L'ensemble Eλ déni par :Eλ = x E : fx = λxest un sous-espace vectoriel de E, etEλ = Kerf λ idEPreuve :Dénition 1.6 Sous-espace propreSoit f LE et λ K une valeur propre de f. Le sous-espace vectoriel de EEλ = Kerf λ idEest appelé le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ.Proposition 1.7 Soit f LE et λ K.λ Spf ⇔Eλ ̸= 0E ⇔f λ idE non injectifPreuve :Proposition 1.8 Soit f LE. Soit v1, v2 deux vecteurs propres de f associés respectivement auxvaleurs propres λ1, λ2.Si λ1 ̸= λ2 alors la famille v1, v2 est libre dans EPreuve :Théorème 1.9 Soit f LE.Soit v1, . . . , vp une famille de vecteurs propres de A associésrespectivement aux valeurs propres λ1, . . . , λp.Si les λi sont distinctes deux à deux, alors la famille v1, . . . , vp est libre dans EPreuve :Sommes directes rappelDénition 1.10 Soit E un espace vectoriel sur K. Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E.On dit que E1 et E2 sont supplémentaires dans E si les deux conditions suivantes sont vériées1 E = E1 + E22 E1 E2 = 0ERemarque : Si E et F sont deux espaces vectoriels sur K de dimension nie, alorsdimE + F = dimE + dimF dimF FThéorème 1.11 Soit E un K-ev de dimension nie . Soit E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels deE.
Page 3 : K. El Amine3E1 et E2 sont supplémentaires dans E si l'une des propositions suivantes est vériée : x E, ! x1, x2 E1 × E2 : x = x1 + x2 dimE1 + dimE2 = dimE et E1 E2 = 0E dimE1 + dimE2 = dimE et E = E1 + E2Dénition 1.12 Soit E un espace vectoriel sur K ; F1, . . . , Fp une famille de sous-espaces vectorielsde E. On dit que la famille F1, . . . , Fp est en somme directe si :x1, . . . , xp F1 × . . . × Fp,x1 + . . . + xp = 0 ⇒x1 = . . . = xp = 0Dans ce cas, le sous espace vectoriel de E, F = F1 + . . . + Fp est appelé la somme directe desF1, . . . , Fp. On écrit :F = F1 . . . FpProposition 1.13 Soit E un espace vectoriel sur K ; F1, . . . , Fp une famille de sous-espaces vec-toriels de E. La sommenPi=1Fi est directe si et seulement sii J2, nK ,Fi i1Xj=1Fj= 0Théorème 1.14 Soit f LE. Soit λ1, . . . , λp K des valeurs propres de f.Si les λi sont distinctes deux à deux, alors les sous-espace propres Eλ1, . . . , Eλp sont en somme directe.Preuve :2Eléments propres d'une matrice carrée2.1Valeur propre et vecteur propreDans cette section :• n N.• 0Mn,1K sera noté 0n,1, pour simplier.Remarque : Une matrice carrée A MnK peut être considérée comme un endomorphisme deMn,1K.Dénition 2.1 Valeur propreSoit A MnK et λ K. On dit que λ est une valeur propre de A, s'il existe V Mn,1K \ 0n,1tel que :AV = λV▶Le vecteur V est alors appelé vecteur propre de A associé à la valeur propre λ.Dénition 2.2 SpectreL'ensemble des valeurs propres de A MnK s'appelle le spectre de A, on le note SpA ou SpKA.
Page 4 : 4Réduction des endomorphismesDénition 2.3 Vecteur propreSoit A MnK et V Mn,1K \ 0n,1. On dit que V est un vecteur propre de A, s'il existe λ Ktel que :AV = λV▶Le scalaire λ est alors appelé valeur propre de A associé au vecteur propre V .Dénition 2.4 Eléments propres• Les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice A MnK sont appelés éléments propres deA.• Soit λ K et V Mn,1K. On dit que λ et V sont des éléments propres associés si :V ̸= 0n,1etAV = λVExemple : Considérons la matrice A M3R suivante :A =111111111et les trois vecteurs de M3,1R suivants :V1 =111,V2 =101,V3 =011Vérier que V1, V2 et V3 sont des vecteurs propres de A et trouver les valeurs propres associées.Solution :2.2Sous-espace propreProposition 2.5 Soit A MnK et λ K. L'ensemble Eλ déni par :Eλ = X Mn,1K : AX = λXest un sous-espace vectoriel de Mn,1K, et alorsEλ = KerA λ InPreuve :Dénition 2.6 Sous-espace propreSoit A MnK et λ K une valeur propre de A. Le sous-espace vectoriel de Mn,1KEλ = KerA λ Inest appelé le sous-espace propre de A associé à la valeur propre λ.Proposition 2.7 Soit A MnK et λ K. Alors :λ SpA ⇔Eλ ̸= 0n,1 ⇔A λ In non inversiblePreuve :Théorème 2.8 Soit A MnK. Soit V1, . . . , Vp une famille de vecteurs propres de A associésrespectivement aux valeurs propres λ1, . . . , λp.Si les λi sont distinctes deux à deux, alors la famille V1, . . . , Vp est libre dans Mn,1K.Preuve : La démonstration est la même que pour les endomorphismes à faire en exercice.Théorème 2.9 Soit A MnK. Soit λ1, . . . , λp des valeurs propres de A.Si les λi sont distinctes deux à deux, alors les sous-espace propres Eλ1, . . . , Eλp sont en somme directe.Preuve : La démonstration est la même que pour les endomorphismes à faire en exercice.
Page 5 : K. El Amine53Polynôme caractéristiqueDans cette section, n Net les K-espaces vectoriels sont de dimension nie.3.1PréliminaireSi E est un K-ev de dimension nie n et B = e1, ..., en une base de E, tout vecteur x E admetalors une décomposition unique :x =nXi=1xieiLes scalaires xi K sont les composantes du vecteur x dans la base B.Lorsqu'une base est xée, on peut identier E à Mn,1K ou bien identier E à Kn. Dans ce cas,on identie aussi tout vecteur x E au vecteur X = x1 . . . xnT Mn,1K, matrice unicolonneconstituée des composantes de x dans la base B.Pour f LE, on notera A = MBf = aij1i,jn, la matrice de f relativement à une base Bquelconque de E.Dans ce cadre, nous avons :▶λ est valeur propre de f si et seulement si λ est valeur propre de A. Autrement dit :Spf = SpA▶x est vecteur propre de f si et seulement si X est vecteur propre de A.Nous pouvons donc, dans le cadre de la dimension nie, choisir la formulation vectoriellefx = λxou la formulation matricielleAX = λXpour le calcul des éléments propres.Nous choisirons cette dernière, le plus souvent, pour toute la suite du chapitre.Remarque : La formulation vectorielle est indispensable pour la recherche des éléments propreslorsque l'on travaille en dimension innie.Note : On confondra souvent un polynôme PX KnX avec la fonction polynômiale associéePx Knx avec x K.3.2Polynôme caractéristiqueDénition 3.1 Soit A MnK.• On appelle polynôme caractéristique de A et on note PAλ, le determinant de la matrice AλIn.PAλ = detA λIn• L'équation algébrique PAλ = 0 s'appelle équation caractéristique de A.Proposition 3.2 Deux matrices de MnK semblables ont le même polynôme caractéristique.Preuve :
Page 6 : 6Réduction des endomorphismes▶Comme deux matrices semblables diérentes représentent le même endomorphisme dans deux basesdiérentes, cette proposition nous permet donc de donner la dénition :Dénition 3.3 Soit f LE. On appelle polynôme caractéristique de f et on note Pfλ, le deter-minant de la matrice MBf λidE.Pfλ = detMBf λidEOù B est une base quelconque de E.Proposition 3.4 Soit A MnK et λ K. Alors :λ est valeur propre de A si et seulement si PAλ = 0Preuve : λ est une valeur propre de A ⇔AλIn non inversible ⇔detAλIn = 0 ⇔PAλ = 0.Remarque : Nous avons PA0 = detA. D'où :0 est une valeur propre de A si et seulement si A est non inversible.Note : En pratique, pour calculer les valeurs propres d'un endomorphisme f LE, on déterminesa matrice A dans une base quelconque B de E A = MBf et on cherche les valeurs propre de A.Exemple : Soit f LR3 ayant pour matrice dans la base canonique de R3 :A =0041212421 Déterminer le spectre de f.2 En déduire que f n'est pas bijectif.Solution :Théorème 3.5 Soit A MnK avec n 2. Alors :PAλ = 1nλn + 1n1TrAλn1 + · · · + detA• Le polynôme PAλ a ses coecients dans K et degPA = n.Preuve : Cela résulte de la formule du determinant :PAλ = detA λIn =a11 λa12· · ·a1na21a22 λ· · ·a2n............an1an2· · ·ann λCependant, la preuve est loin d'être facile.Remarque : Le terme de degré 0 dans PA est PA0 = detA, par dénition de PA.Exemple : Si A =abcdM2K alors :PAλ = λ2 TrAλ + detA = λ2 a + dλ + ad bcCorollaire 3.6 Une matrice A MnK admet au plus n valeurs propres.Preuve : Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme PA. Comme PA est de degré n, il aau plus n racines. A admet donc au plus n valeurs propres.
Page 7 : K. El Amine7Si a est une racine d'un polynôme P, alors P peut être divisible par X a2 ou X a3...Dénition 3.7 Soit P KX.• On appelle ordre de multiplicité d'une racine a de P, le plus grand entier m tel que P soit divisiblepar X am.• On appelle racine double une racine d'ordre 2, racine triple une racine d'ordre 3, etc.Dénition 3.8 Soit A MnK et λ une valeur propre de A.• On appelle ordre de multiplicité de λ, et on note mλ ou multλ, l'ordre de multiplicité de λ en tantque zéro du polynôme caractéristique PA.Dénition 3.9 Polynôme scindéUn polynôme P KX est dit scindé dans K, si c'est un produit de polynômes de degré 1. Autrementdit, P est scindé dans K s'il s'écrit sous la formePX = cpYi=1X aimiavec :a1, . . . , ap des éléments de K deux à deux distincts, appelés racines de P.m1, . . . , mp des éléments de N; mi est appelé ordre de multiplicité de la racine ai.c K une constante.Remarque :1 Le degré de P est donc degP =pXi=1mi.2 Un polynôme P KX de degré n n 1 est scindé si et seulement si il possède exactement nracines dans K comptées chacune avec son ordre de multiplicité c'est-a-dire plus précisément, si lasomme des ordres de multiplicité de ses racines est n.Exemples :1 P = X2 5X + 6 = X 2X 3.P est scindé dans R, car degP = 2 et a 2 racines dans R.2 P = X3 4X2 + 5X 2 = X 12X 2 = X 1X 1X 2.P est scindé dans R car degP = 3 et a trois racines dans R, comptées chacune avec son ordre demultiplicité 1, 1, 2. 1 est une racine double et 2 est une racine simple.3 P = X2 + 1 n'est pas scindé dans R. Cependant il est scindé dans C puisque P = X iX + i.Théorème 3.10 de d'Alembert-GaussTout polynôme de CX est scindé dans C.Preuve : AdmisRemarque : Un polynôme de RX est donc toujours scindé dans C ; il est scindé dans R si toutesses racines complexes sont réelles la partie imaginaire est nulle.Corollaire 3.11 .• Si E est un C-e.v. de dimension n alors f admet exactement n valeurs propres, comptées avec leurordre de multiplicité.• Si E est un R-e.v. de dimension n alors f admet au plus n valeurs propres, comptées avec leurordre de multiplicité.Preuve : AdmisExemple : Soit A = 0110.On a PAλ = λ2 + 1. Le polynôme P = X2 + 1 n'est pas scindé dans R. Cependant, il est scindédans C. On a donc SpRA = et SpCA = i, i.
Page 8 : 8Réduction des endomorphismesRappel : La trace de A = aij MnK est dénie par : trA =nXi=1aii.Proposition 3.12 Soit A MnK dont le polynôme caractéristique est scindé dans K et λ1, . . . , λnses valeurs propres non nécessairement distinctes. AlorsnXi=1λi = trA,nYi=1λi = detAPreuve : Nous avons :PAλ = 1nλn + 1n1TrAλn1 + · · · + detAComme PA est scindé, on peut aussi écrire :PAλ = 1nnYi=1λ λiEn identiant les termes de degré n1 et 0 dans les deux expressions de PAλ, on obtient le résultat.Remarque : A MnR ou A MnC, on a toujours :trA =XλSpCAλetdetA =YλSpCAλAutrement dit :▶La trace d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée est la somme de ses valeurs propres com-plexes.▶Le déterminant d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée est le produit de ses valeurs proprescomplexes.Théorème 3.13 Soit A MnK et λ SpA de multiplicité mλ. Alors1 dimEλ mλPreuve :Remarque : En pratique,▶pour calculer la dimension de Eλ, on applique le théorème du rang à A λIn.dimEλ = n rgA λIn▶pour déterminer une base de Eλ, on résout le système linéaireAX = λXCorollaire 3.14 Si λ est une valeur propre simple de A MnK alors dim Eλ = 1.Preuve : λ est valeur propre simple de A ⇔mλ = 1 ⇒1 dimEλ 1 ⇔dimEλ = 1.
Page 9 : K. El Amine94Diagonalisation4.1Diagonalisation d'un endomorphismeDénition 4.1 Soit f LE ici E est un K-ev de dimension quelconque.• On dit que f est diagonalisable s'il existe une base de E formée de vecteurs propres de f.• Diagonaliser f, c'est trouver une telle base.Exemple : Reconsidérons l'endomorphisme f : R2 →R2 dénie parfx, y = x y/2, x/2 + yMontrer que f est diagonalisable.Solution :Proposition 4.2 Soit E un K-ev de dimension nie et f LE. Alorsf est diagonalisable si et seulement si, il existe une base B de E telle que MBf soit diagonalePreuve :4.2Diagonalisation d'une matrice carréeDénition 4.3 Soit A MnK.• On dit que A est diagonalisable s'il existe une base de Mn,1K formée de vecteurs propres de A.• Diagonaliser A, c'est trouver une telle base.Dénition 4.4 bisSoit A MnK.• On dit que A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale. Autrement dit,A est diagonalisable ⇔D MnK diagonale et P MnK inversible telles que :A = PDP 1• Diagonaliser A, c'est trouver D et P.Théorème 4.5 condition susanteSi A MnK admet n valeurs propres distinctes deux à deux alors A est diagonalisable.Preuve :Exemple 1 : Une matrice triangulaire supérieure ou inférieure à coecients diagonaux distinctsdeux à deux est diagonalisable. En eet, siA =a11a12· · ·a1n0a22...............an1 n0· · ·0annalorsPAλ =a11 λa12· · ·a1n0a22 λ...............an1 n0· · ·0ann λ=nYi=1aii λPA admet n racines distinctes deux à deux ⇔A admet n valeurs propres distinctes deux à deux ⇒Aest diagonalisable dont le spectre est SpA = aiini=1.
Page 10 : 10Réduction des endomorphismesExemple 2 : Soit A M2R la matrice carrée suivante :A =3120Montrer que la matrice A est diagonalisable et la diagonaliser.Solution :Remarque : Attention, l'ordre de placement des vecteurs propres dans la matrice P doit respective-ment suivre l'ordre de placement des valeurs propres dans la matrice D.Théorème 4.6 Une matrice A MnK est diagonalisable si et seulement si la somme des dimen-sions de ses sous-espaces propres est égale à n.Preuve :Théorème 4.7 Une matrice A MnK est diagonalisable si et seulement si Mn,1K est sommedirecte des sous-espaces propres de A.Preuve :Remarque Importante : En pratique, on utilise souvent le polynôme caractéristique.Le théorème suivant est une caractérisation fondamentale de la diagonalisabilité d'une matrice carrée.Théorème 4.8 condition nécessaire et susanteUne matrice A MnK est diagonalisable si et seulement si1. PA est scindé dans K,2. λ SpA,dimEλ = mλ.Preuve :Exemple : La matrice A M3R est-elle diagonalisable ?A = 12011101110Solution :Diagonalisation - SynthèseSoit A MnK.▶A admet n valeurs propres distinctes deux à deux ⇒A diagonalisable.▶PA scindé dans K et λ SpA, dimEλ = mλ ⇔A diagonalisable.▶XλSpAdimEλ = n ⇔A diagonalisable.▶MλSpAEλ = Mn,1K ⇔A diagonalisable.▶PA non scindé dans K ⇒A non diagonalisable.▶λ SpA, dimEλ mλ ⇒A non diagonalisable.
Page 11 : K. El Amine115Trigonalisation5.1Matrice triangulaire• Une matrice A MnK est dite triangulaire supérieure si elle est de la forme :A =a11a12· · ·a1n0a22...............an1 n0· · ·0annL'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note UnK U pour upper triangular matrix.On note aussi Tn,sK.▶Soit A UnK. Si les coecients diagonaux de A sont nuls aii = 0, alors on dit que A esttriangulaire supérieure stricte.• Une matrice A MnK est dite triangulaire inférieure si elle est de la forme :A =a110· · ·0a21a22...............0an1· · ·ann1annL'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note LnK L pour lower triangular matrix. Onnote aussi Tn,iK.▶Soit A LnK. Si les coecients diagonaux de A sont nuls aii = 0, alors on dit que A esttriangulaire inférieure stricte.• On dit qu'une matrice est triangulaire, si elle est triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure.Proposition 5.1 Toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.Preuve : NotonsP =00· · ·0100· · ·10...............01· · ·0010· · ·00une matrice carrée d'ordre n. On peut vérier que PP = In et donc P 1 = P.Soit L LnK, une matrice triangulaire inférieure, avecL =a110· · ·0a21a22...............0an1· · ·ann1annOn a PLP 1 = PLP = U, avecU =annan n1· · ·an10an1 n1...............a210· · ·0a11qui est une matrice triangulaire supérieure, U UnK. La matrice L et la matrice U sont doncsemblables.
Page 12 : 12Réduction des endomorphismesRemarque Le lien entre la matrice L et la matrice U est le suivant :si f est un endomorphisme ayant pour matrice L dans une base B = e1, . . . , en, en renvesrant cettebase on obtient une nouvelle base B′ = en, . . . , e1. U n'est rien d'autre que la matrice de f danscette nouvelle base. C'est-à-dire, si L = fe1 . . . fen alors U = fen . . . fe1Note : Conformément à l'usage, nous adopterons les matrices triangulaires supérieures dans la suiteet, pour simplier, nous les appellerons matrices triangulaires.5.2TrigonalisationDénition 5.2 .• Soit A MnK. On dit que A est trigonalisable, s'il existe une matrice triangulaire T MnKsemblable à A.• Soit f LE. On dit que f est trigonalisable, s'il existe une base B de E telle que MBf soittriangulaire.Théorème 5.3 .• Soit A MnK. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :1. A est trigonalisable.2. PA est scindé dans K.• Soit f LE. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :1. f trigonalisable.2. Pf est scindé dans K.Preuve :Remarque : Si A est trigonalisable, alors, les éléments de la diagonale de la matrice triangulaire Tsemblable à A sont les valeurs propres de A.Exemple : Trigonaliser dans M3R la matrice A =221111122.Solution :Corollaire 5.4 Toute matrice A MnC est semblable à une matrice triangulaire T MnC.Preuve : Tout polynôme P de CX est scindé dans C, PA est donc scindé dans C ⇒A est trigonal-isable.En pratique : Trigonalisation d'une matrice de M3KSoit A M3K. Si A est trigonalisable mais non diagonalisable, alors on a 3 cas classés comme suit:Cas 1 : PAλ = λ1 λλ2 λ2, avec λ1 ̸= λ2. SpA = λ1, λ2.• Si dimEλ2 = 1 alors A est semblable à une matrice de la forme :T =λ1000λ2a00λ2avec a ̸= 0Cas 2 : PAλ = λ1 λ3. SpA = λ1.• Si dimEλ1 = 2 alors A est semblable à une matrice de la forme :T =λ10a0λ1b00λ1avec a, b ̸= 0, 0
Page 13 : K. El Amine13Cas 3 : PAλ = λ1 λ3. SpA = λ1.• Si dimEλ1 = 1 alors A est semblable à une matrice de la forme :T =λ1ab0λ1c00λ1avec ac ̸= 0Trigonalisation - SynthèseSoit A MnK.▶PA est scindé dans K ⇔A trigonalisable dans MnK.▶K = C ⇒A trigonalisable dans MnK.
Page 14 : 14Réduction des endomorphismes6Applications de la réduction d'une matrice carrée6.1Calcul des puissances d'une matriceRappel : Soit A MnK. Si λ est une valeur propre de A, alors :• λ2 est une valeur propre de A2, et plus généralementk N,λk est une valeur propre de Ak• si A est inversible alors 1/λ est une valeur propre de A1, et plus généralementk N,λk est une valeur propre de Ak6.1.1Puissances d'une matriceDénition 6.1 Soit A MnK et k N. On appelle puissance k-ième de A et on note Ak, lamatrice dénie parAk = A × . . . × Azk foisoù par conventionA0 = In• Si A est inversible d'inverse A1, alors Ak est déni parAk = A1kRemarque : On peut avoir Ak = On alors que A ̸= On. Par exempleA =1111mais A2 =0000Propriétés 6.2 Soit A MnK.• i, k N :Ai × Ak = Ai+k et Aik = Aik• Si A est inversible, alors i, k Z :Ai × Ak = Ai+k et Aik = AikPreuve :Proposition 6.3 Soit D MnK diagonale ; U MnK triangulaire supérieure et L MnKtriangulaire inférieure. Notons λ1, . . . , λn les coecients diagonaux de ces trois matrices, i.e. :D =λ10· · ·00λ2...............00· · ·0λn;U =λ1u12· · ·u1n0λ2...............un1 n0· · ·0λn;L =λ10· · ·0l21λ2...............0ln1· · ·lnn1λnAlors k N :Dk =λk10...0λkn;U k =λk1...0λkn;Lk =λk10...λknoù sont des éléments de K.Preuve :
Page 15 : K. El Amine156.1.2Formule du binômeDénition 6.4 Une matrice A MnK est dite nilpotente, s'il existe p Ntel queAp = On et Ap1 ̸= OnL'entier p est unique et s'appelle l'ordre de nilpotence de la matrice A.Exemples :1 La matrice A =0100est nilpotente, d'ordre de nilpotence 2.2 La matrice A =010001000est nilpotente, d'ordre de nilpotence 3.Remarque : Plus généralement, on peut montrer que toute matrice de MnK triangulaire supérieurestricte ou triangulaire inférieure stricte est nilpotente, d'ordre de nilpotence n.Théorème 6.5 Formule du binômeSoit A, B MnK. Si A et B commutent AB = BA alors k N :A + Bk =kXi=0kiAkiBiPreuve :Remarque : Cette formule est fausse si A et B ne commutent pas.Exercice : Calculer Ak pour tout k N, des matrices suivantes :a A =1201;b A =1031;Solution :Exercice : Calculer T k pour tout k N, de la matrice suivante :T =100031003Solution :6.1.3Puissances de matrices semblablesProposition 6.6 Soit A, B MnK et P MnK inversible telles queA = PBP 1Alorsk NAk = PBkP 1Preuve : Par récurrence• Initialisation : Si k = 0 la propriété est vraie car A0 = In = PInP 1 = PB0P 1.
Page 16 : 16Réduction des endomorphismes• Hérédité : Supposons que la propriété est vraie jusqu'au rang k, k N i.e. : Ak = PBkP 1.On a alorsAk+1 = AkA = PBkP 1PBP 1 = PBkP 1PBP 1 = PBkBP 1 = PBk+1P 1.Ce qui prouve la propriété au rang k + 1.Remarque : Soit A = PBP 1. A est inversible ⇔B est inversible et on a :A1 = PB1P 1En eet : A1 = PBP 11 = P 11B1P = PB1P 1Corollaire 6.7 Soit A, B, P MnK inversibles telles queA = PBP 1Alorsk ZAk = PBkP 1Preuve :• Nous avons k NAk = PBkP 1• Soit k Z⇔m = k NAk = Am = A1m = PB1P 1m = PB1mP 1 = PBmP 1 = PBkP 1. Et ainsik ZAk = PBkP 1A Calcul des puissances d'une matrice diagonalisableCorollaire 6.8 Soit A MnK ; P MnK inversible et D MnK diagonale telles queA = PDP 1Alorsk NAk = PDkP 1Si A est inversible alorsk ZAk = PDkP 1Preuve :Remarque :D =λ10...0λn⇒Dk =λk10...0λknPar conséquentAk = Pλk10...0λknP 1Exemple : SoitA =08618711411Montrer que A est inversible et calculer Ak pour tout k Z.Solution :
Page 17 : K. El Amine17B Calcul des puissances d'une matrice trigonalisableCorollaire 6.9 Soit A MnK ; P MnK inversible et T MnK triangulaire telles queA = PTP 1Alorsk NAk = PT kP 1Si A est inversible alorsk ZAk = PT kP 1Preuve :C Calcul des puissances d'une matrice diagonale par blocsProposition 6.10 puissance de matrice diagonale par blocsSoit A MnK une matrice diagonale par blocs, i.e. de la forme :A =A10· · ·00A2...............00· · ·0Apoù les Ai sont des matrices carrés. Alors k N :Ak =Ak10· · ·00Ak2...............00· · ·0AkpPreuve :Corollaire 6.11 Soit T MnK une matrice triangulaires supérieure de la forme :T =T10· · ·00T2...............00· · ·0Tpoù les Ti sont des matrices triangulaires supérieure. Alors k N :T k =T k10· · ·00T k2...............00· · ·0T kpPreuve.Exemple.Solution.
Page 18 : 18Réduction des endomorphismes6.2Suites récurrentes linéairesRappel. Suite numérique arithmético-géométriqueDénition 6.12 Une suite unnN à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique, s'il existea, b K tels que la suite vérie la relation de récurrence suivante :n N ,un+1 = aun + bCas a = 1 : La suite est arithmétique, doncn N ,un = u0 + nb Si b ̸= 0, alors la suite est divergente. Si b = 0, la suite est constante : n N , un = u0.Cas a ̸= 1 : Le terme général de la suite est donné par :n N ,un = anu0 u + u avec u =b1 aSi a 1, la suite est convergente un →n→u.6.2.1Suites récurrentes linéaires du premier ordreProposition 6.13 Soit A MnR et B Mn,1R.Soit XnnN une suite de matrices deMn,1R dénie pour tout n N parXn+1 = AXn + BoùX0 est donnéeSi XnnN est convergente,alors sa limite X est solution deX = AX + BPreuve :Proposition 6.14 Soit A MnR et B Mn,1R.1 Si In A est inversible alors, pour tout B, il existe une seule matrice X Mn,1R solution deX = AX + B2 Si In A n'est pas inversible alors, deux cas sont possibles• soit il n'existe aucune matrice X Mn,1R solution deX = AX + B• soit il existe une innité de matrices X Mn,1R solution deX = AX + BPreuve :Exemple. Soit unnN, vnnN et wnnN des suites réelles dénies par u0 = 0, v0 = 22, w0 = 22etn Nun+1 = 14 2un + vn + wnvn+1 = 13 un + vn + wnSwn+1 = 14 un + vn + 2wnCalculer un, vn, wn en fonction de n et étudier la convergence de ces trois suites.Solution.
