CM Systemes differentiels
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Page 1 : Systèmes différentiels linéairesKhalid El Amine I.Department of Mathematics and Finance1Équation différentielle linéaire du premier ordre1.1Équation différentielle linéaire homogène du premier ordreDéfinition 1.1 Soit I R un intervalle ouvert et a CI, R.• On appelle équation différentielle linéaire homogène du premier ordre, une équation différentielle dela forme :x′t = atxtEH• On dit qu’une fonction f est solution de EH sur l’intervalle I, si f est dérivable sur I et si :f ′t = atftt IRemarques :1 La fonction nulle est solution de l’équation EH.2 EH peut admettre une infinité de solutions.Proposition 1.2 L’ensemble Eh des solutions de l’équation différentielle EH est un espace vectorielsur R.Preuve :Théorème 1.3 L’ensemble Eh des solutions de l’équation différentielle EH est donné par :Eh = f : t I 7→ceAt ;c Roù A désigne une primitive de a sur I.• Eh est un R-ev de dimension 1.▶L’application x : t I 7→xt = ceAt est appelée solution générale de EH.Preuve :Exemple 1 : La solution générale sur R ou sur n’importe quel intervalle ouvert I R de l’équationdifférentielle homogènex′t = 2xtEHestxt = ce2t,c R1
Page 2 : 2Systèmes différentiels linéaires1.2Équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre1.2.1Solution généraleDéfinition 1.4 Soit I R un intervalle ouvert et a, b CI, R.• On appelle équation différentielle linéaire non homogène du premier ordre, une équation différentiellede la forme :x′t = atxt + btEOn dit qu’une fonction f est solution de E sur l’intervalle I, si f est dérivable sur I et si :f ′t = atft + btt I• On appelle équation différentielle homogène associée à E, l’équation différentielle :x′t = atxtEHThéorème 1.5 Soit fp une solution particulière sur I de l’équation différentielle E et A une prim-itive de a sur I. L’ensemble E des solutions de l’équation différentielle E est :E = f : t I 7→ceAt + fpt ;c Roù A désigne une primitive de a sur I.Preuve :Méthode de la variation de la constanteLa Méthode de la variation de la constante est un moyen calculatoire qui permet de déterminer unesolution particulière fp de l’équation différentielle E. On cherche une solution particulière de laforme :fp : t I 7→cteAtoù la fonction inconnue c est déterminée en exprimant que fp doit satisfaire l’équation différentielleE. Nous avons alors pour tout t Ifp est solution de E ⇔f ′pt = atfpt + bt⇔cteAt′ = atcteAt + bt⇔c′teAt + ctateAt = atcteAt + bt⇔c′teAt = bt⇔c′t = bteAt⇔ct =ZbteAtd tce qui établit que fpt =ZbteAtd teAt est bien une solution particulière de E.On peut alors reformuler le théorème précédent de la manière suivante :Proposition 1.6 L’ensemble E des solutions de l’équation différentielle E est :E =f : t I 7→c +ZbteAt dteAt ;c Roù At désigne une primitive de at sur I i.e. :At =Zat dt
Page 3 : K. El Amine3▶L’application x : t I 7→xt =c +ZbteAt dteAt est appelée solution générale de E.On décompose souvent x sous la forme :xt = xht + xptoùxht = ceAtetxpt =ZbteAt dteAt▶Les courbes représentatives des solutions de E sont appelées courbes intégrales de E.Preuve :Exemple : Déterminer la solution générale sur R de l’équation différentielle non homogène :x′t = 2xt 2tESolution :1.2.2Problème a valeur initiale : Existence et unicitéThéorème 1.7 Cauchy-Lipschitz Fr Picard-Lindelöf En existence et unicitéSoit I R un intervalle ouvert et a, b CI, R.t0 I et x0 R ; il existe une unique solution sur I au problème a valeur initiale PVI :x′t = atxt + btExt0 = x0xt0 = x0 est appelée condition initiale.Preuve :2Système différentiel linéaire du premier ordre2.1Solution généraleDéfinition 2.1 Soit I R un intervalle ouvert. On appelle système différentiel linéaire du premierordre sur I, un système de la formeX′t = AtXt + BtSOù :• At = aijt MnR est une matrice donnée dont les coefficients aij sont des fonctions continuesde la variable réelle t I.• Bt = bit Mn,1R est un vecteur donné, appelé second membre, dont les composantes bi sontdes fonctions continues de la variable réelle t I.• Xt = xit Mn,1R est le vecteur inconnu, où X′t = x′it.▶On dit que le système est à coefficients constants si la matrice A ne dépend pas de la variable t.▶On dit que le système est homogène si Bt = 0, t I, i.e. :X′t = AtXtSH
Page 4 : 4Systèmes différentiels linéairesThéorème 2.2 Solution générale du système différentiel non-homogèneSoit Xh la solution générale sur I du système différentiel homogène SHX′t = AtXtSHSoit Xp une solution particulière sur I du système différentiel non-homogène SX′t = AtXt + BtSLa solution générale sur I du système différentiel non-homogène S est alors :Xt = Xht + XptPreuve :2.2Problème a valeur initiale : Existence et unicitéThéorème 2.3 Cauchy-Lipschitz Fr Picard-Lindelöf En existence et unicitéSoit I R un intervalle ouvert. Soit A CI, MnR et B CI, Mn,1R.t0 I et X0 Mn,1R ; il existe une unique solution sur I au problème a valeur initiale PVI :X′t = AtXt + BtSXt0 = X0Xt0 = X0 est appelée condition initiale.Preuve :2.3Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordreOn considère dans cette sous-section uniquement des systèmes différentiels linéaires du premier ordreà coefficients constants. La matrice A ne dépend donc pas de la variable réelle t, i.e. les systèmes dutypeX′t = AXt + BtS2.3.1Résolution par réduction de matriceCas d’une matrice A diagonalisableSupposons que A = PDP 1 ; où D est diagonale. On aX′t = AXt + Bt⇐⇒X′t = PDP 1Xt + Bt⇐⇒P 1X′t = DP 1Xt + P 1Bt⇐⇒P 1Xt′ = DP 1Xt + P 1Bt⇐⇒Y ′t = DY t + P 1Btavec Y t = P 1XtLe système en Y obtenu est découplé. On résout ce système en Y t puis on en déduit Xt = PY tRemarque : On ne calcul pas P 1 si Bt = 0.Algorithme - Pour résoudre le système différentiel : X′t = AXt + Bt où A = PDP 1 :1 On pose : Y t = P 1Xt.2 On résout le système : Y ′t = DY t + P 1Bt.
Page 5 : K. El Amine53 On en déduit Xt = PY t.Proposition 2.4 Soit A MnR. Si A = PDP 1 avec D = diagλ1, . . . , λn et P = V1 . . . Vn,alors la solution générale système différentiel homogèneX′t = AXtSHest donnée parXt =nXi=1cieλitViavec ci R• La famille eλ1tV1, . . . , eλntVn est appelée système fondamental de solutions.• Toute solution de DH est combinaison linéaire de cette famille.Exemple 1 : Résoudre le système différentiel : X′t = AXt. Avec :Xt =x1tx2tetA =2003Solution :Exemple 2 : Résoudre le système différentiel : X′t = AXt. Avec :Xt = x1tx2tetA = 1124Solution :Exemple 3 : Résoudre le système différentiel : X′t = AXt + Bt. Avec :Xt = x1tx2tetA = 1124etBt = t2tSolution :Cas d’une matrice A trigonalisableSupposons que A = PTP 1 ; où T est triangulaire supérieureX′t = AXt + Bt⇐⇒X′t = PTP 1Xt + Bt⇐⇒P 1X′t = TP 1Xt + P 1Bt⇐⇒P 1Xt′ = TP 1Xt + P 1Bt⇐⇒Y ′t = TY t + P 1Btavec Y t = P 1XtLe système obtenu en Y n’est pas totalement découplé. On résout ce système en Y t par une démarcherétrograde on commence par la dernière équation, puis on en déduit Xt = PY tRemarque : On ne calcul pas P 1 si Bt = 0.Algorithme - Pour résoudre le système différentiel : X′t = AXt + Bt où A = PTP 1 :1 On pose : Y t = P 1Xt.2 On résout par démarche rétrograde le système : Y ′t = TY t + P 1Bt.3 On en déduit Xt = PY t.Exemple 1 : Résoudre le système différentielS x′1t=2x1t + x2t1x′2t=x2t2Solution :
Page 6 : 6Systèmes différentiels linéairesExemple 2 : Résoudre le système différentiel X′t = AXt.Xt = x1tx2tetA =1113Solution :2.3.2Résolution par exponentielle de matriceExponentielle de matriceProposition 2.5 Soit n N. A MnK, la série de matricesXk0Akk! = In + A + A22! + A33! + . . .est absolument convergente dans MnK donc convergente.Preuve :Définition 2.6 Exponentielle de matriceSoit n Net A MnK. On définit l’exponentielle de A par :eA =+Xk=0Akk!Exemple : Soit D =3002. Calculer eD. Calculer etD pour tout t R.Solution :Exercice : Soit N =0100. Calculer eN et etN pour tout t R.Solution :Exercice : Calculer eN et etN pour tout t R.N =010001000Proposition 2.7 Soit n N. Soit A, B, D, P MnK où P est inversible et D est diagonale.1 eOn = In2 eIn = eIn3 Si D = diagλ1, . . . , λn alors eD = diageλ1, . . . , eλn4 Si A = PBP 1 alors eA = PeBP 15 Si AB = BA alors eA+B = eAeB6 eA est toujours inversible et eA1 = eAPreuve :
Page 7 : K. El Amine7Propriété 2.8 Soit A MnR. s, t K1 esAetA = es+tA2 etAetA = In3ddtetA = AetA4 AetA = etAAPreuve :Proposition 2.9 exponentielle de matrice diagonale par blocsSoit A MnK diagonale par blocs, i.e. de la forme :A =A10· · ·00A2...............00· · ·0Apoù les Ai sont des matrices carrés. Alors :eA =eA10· · ·00eA2...............00· · ·0eApRésolution par exponentielleThéorème 2.10 Soit I R un intervalle ouvert et t0 I. Soit A MnR.• La solution générale sur I du système différentiel SH :X′t = AXtSHest donnée par :Xt = etACoù C Mn,1R• La solution unique sur I du PVI :X′t = AXtSHXt0 = X0est donnée par :Xt = ett0AX0Remarque : Pour un PVI, C est obtenue parC = et0AX0Preuve :
Page 8 : 8Systèmes différentiels linéairesRemarque : Pour la résolution d’un PVI, on ne calcule pas explicitement la matrice etA. On écritla matrice etA = PBP 1 et on ne calcule pas le produit de ces trois matrice. On écrit etAX0 =PBP 1X0 et on effectue les produits successivement de droite à gauche, afin d’économiser le nombrede multiplications et d’additions.Théorème 2.11 Soit I R un intervalle ouvert et t0 I. Soit A MnR et B CI, Mn,1R.• La solution générale sur I du système différentiel S :X′t = AXt + BtSest donnée par :Xt = Xht + Xpt= etAC + etAZetABt dt= etAC +ZetABt dtavecC Mn,1R• La solution unique sur I du PVI :PV IX′t = AXt + BtSXt0 = X0est donnée par :Xt = Xht + Xpt= ett0AX0 + ett0AZ tt0est0ABs ds= ett0AX0 + etAZ tt0esABs dsPreuve :Théorème 2.12 Couple propre conjuguéSoit A MnR. Si A admet un couple propre complexe λ, v alors le couple complexe conjuguéλ, v est aussi un couple propre de A.Preuve :Remarque : Les racines complexes des polynômes P à coefficients réels P Rnx apparaissentpar paires conjuguées.
