CM ZOGHLAMI Series PREING2 S1

CM Séries

Pendant les CM : Des QCM à certains CM comptent dans la note de TD.

Teams : x2wfs0i

Introduction

Séries de Fourier

Séries entières

• Série de fonctions $\sum_{n}^{}{f_{n}(x)}$

Pour étudier les séries de fonctions, étudier d’abord les séries numériques et suites de fonctions.

Domaines d’applications : Traitement de signal, étude de convergence (intervalle de confiance)

Outils pour ce module : Développements limités, comparaisons (domination, négligeabilité, équivalence)

EDP : équations à dérivée partielle

EDO : équations différentielles ordinaires

Rappels :

Négligeabilité :

\[f =_{a}o(g) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a}\frac{f}{g} = 0\] \[u_{n} = o\left( v_{n} \right) \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}} = 0\]

Soit \(a \in \overline{\mathbb{R}}\mathbb{= R \cup} \left\{ \pm \infty \right\}\)

On appelle voisinage de $a$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle de la forme :

• $\rbrack a - \varepsilon;a + \varepsilon\lbrack,\ \varepsilon > 0\ \text{si}\ a\mathbb{\in R}$

• $\rbrack A; + \infty\lbrack\ \text{si}\ a = + \infty$

• $\rbrack - \infty;A\lbrack\ \text{si}\ a = - \infty$

\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = l \Leftrightarrow f =_{a}l + o(1)\]

$f = o(g)$ et $g = o(h)$ implique $f = o(h)$

\[f = o(g) \Rightarrow \forall\lambda \in \mathbb{R}^{*},\ f = o(\lambda g)\ \text{et}\ \lambda f = o(g)\] \[f_{1} = o(g),\ f_{2} = o(g) \Rightarrow f_{1} + f_{2} = o(g)\] \[f_{1} = o\left( g_{1} \right),\ f_{2} = o\left( g_{2} \right) \Rightarrow f_{1}f_{2} = o\left( g_{1}g_{2} \right)\] \[f = o(g) \Rightarrow fh = o(gh)\]

Composition à droite autorisée

Addition et composition à gauche interdites.

Domination :

$f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ si $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$.

On note $f =_{a}\mathcal{O}(g)\ $

Mêmes propriétés que $o$

Equivalence :

\[f\sim_{a}g \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\]

Relation d’équivalence.

\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = l \Leftrightarrow f\sim_{a}l\] \[f\sim_{a}g \Leftrightarrow f = g + o(g)\]

Produit, inverse, puissance (avec $\alpha$ fixe) et composition à droite.

Pas d’addition d’équivalences, pas de composition à gauche.

Exercice :

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{(1 + 6x)} - \sqrt[3]{1 + x}}{3\sin(x) - \ln(1 + x)}\] \[(1 + 6x)^{\frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5}(6x) + o\left( x^{2} \right)\] \[(1 + x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(x) + o\left( x^{2} \right)\] \[N = \frac{6x}{5} - \frac{1}{3}x = \frac{13}{15}x + o\left( x^{2} \right)\] \[3\sin(x) - \ln(1 + x) = 2x + o\left( x^{2} \right)\] \[lim = \frac{13}{30}\]

Exercice :

\[\left( \frac{\left( a^{\frac{1}{x}} + b^{\frac{1}{x}} \right)}{2} \right)^{x}\] \[x \rightarrow + \infty,\forall\ a,b > 0\] \[\ln(E) = x\left\lbrack \ln\left( a^{\frac{1}{x}} + b^{\frac{1}{x}} \right) - \ln(2) \right\rbrack\] \[u = \frac{1}{x},\ u \rightarrow 0\] \[\ln\left( a^{u} + b^{u} \right) = \ln\left( 1 + u\ln(a) + o\left( u^{2} \right) + 1 + u\ln(b) \right)\] \[\ln\left( 2 + u\left( \ln(a) + \ln(b) \right) + o\left( u^{2} \right) \right)\] \[\ln\left( 1 + u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + o\left( u^{2} \right) \right) + \ln(2) = u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + \ln(2) + o\left( u^{2} \right)\] \[u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + o\left( u^{2} \right)\] \[\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}\] \[\rightarrow \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}\] \[R = e^{\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}} = \sqrt{ab}\]

Exemple :

\[S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k}\] \[u_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k} - \ln(n + 1)}\] \[v_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k} - \ln(n)}\]

Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes

\[u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} + \ln\left( \frac{n + 1}{n + 2} \right) = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right) = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)\] \[u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)\]

Or $\ln(1 + X) \leq X\ (\forall X > - 1)$

\[u_{n + 1} - u_{n} \geq 0\]

$\left( u_{n} \right)$ est croissante.

\[v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( \frac{n + 1}{n} \right)\] \[= \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)\] \[= \frac{1}{n + 1} - \left( \frac{1}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) < 0\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n} - v_{n}} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\ln\left( \frac{n}{n + 1} \right)} = 0\]

$(u_{n})$ et $\left( v_{n} \right)$ sont adjacentes et convergent vers la même limite $\gamma$ (constante d’Euler)

\[v_{n} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}\gamma \Rightarrow v_{n} = \gamma + o(1)\] \[v_{n}\sim\gamma\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1) = \ln(n) + O(1)\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k}\sim_{+ \infty}\ln(n)\]

Série harmonique.$\ $

Chapitre 1 : Séries numériques

\[S = \sum_{n \geq 0}^{}u_{n} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\sum_{k = 0}^{n}u_{k}}\] \[S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}u_{k}\]

Définition :

Soit $\left( u_{n} \right) \in \mathbb{C}^{n}$

$\forall p\mathbb{\in N,}$ on appelle p-ème somme partielle de $\left( u_{n} \right)$ le nombre

\[U_{p} = \sum_{k = 0}^{p}u_{k}\]

La suite $\left( U_{n} \right)$ est appelée la série de terme général $u_{n}$ et est notée

\[\sum_{n \geq 0}^{}u_{n}\ \text{ou}\ \sum_{n = 0}^{+ \infty}u_{n}\text{ou}\ \sum_{}^{}u_{n}\]

Remarque :

Mais si les séries ne sont que des suites, pourquoi se doter d’une théorie des séries ?

La théorie des suites (préing 1) n’est pas suffisante ?

La réponse : NON

En effet, la théorie des suites : à quelle conditions la suite $(u_{n})$ converge.

La théorie des séries : à quelles conditions sur $(u_{n})$ pour que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.

Exemples :

\[\sum_{n \geq 1}^{}\frac{1}{n^{2}},\ \sum_{}^{}\frac{1}{n},\sum_{n \geq 0}^{}a^{n}\left( a\mathbb{\in R} \right)\]

Définition :

Soit $(u_{n}) \in \mathbb{C}^{n}$. On suppose que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge

\[\text{Le nombre}\ \sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\sum_{k = 0}^{n}u_{k}}\ \text{est appelé la somme de la série}\ \sum u_{n}\] \[\text{Le reste : }\ \forall n\mathbb{\in N,}R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty}u_{k} = \sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} - \sum_{k = 0}^{n}u_{k}\]

Remarque :

On parle du reste d’une série seulement dans le cas où elle converge.

Séries de référence :

Définition-Théorème :

Soit $z\mathbb{\in C,}$ la série $\sum z^{n}$, dite série géométrique de raison $z$, est convergente si et seulement si $|z| < 1$

\[\text{Dans ce cas, }\ \sum_{}^{}z^{n} = \frac{1}{1 - z}\]

Démonstration : Pour $z\mathbb{\in R}$

\[\text{Soit}\ S_{n} ≔ \sum_{k = 0}^{n}z^{n}\] \[\text{Montrons que},\ \forall|z| < 1,\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = \frac{1}{1 - z}\]

Or $\left( S_{n} \right)$ est la somme d’une suite géométrique de raison $z$

\[S_{n} = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}\ \text{si}\ z \neq 1,\ n + 1\ \text{sinon}\] \[S_{n} = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}\ \text{si}\ z \neq 1 \\ n + 1\text{ sinon} \end{array} \right\}\]

Si $z \neq 1$,

\[\lim_{n \rightarrow + \infty}z^{n} = \left\{ \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ |z| < 1 \\ + \infty\ \text{si}\ z > 1 \\ \text{pas de limite si}\ z \leq 1 \end{array} \right\}\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{1 - z}\ \text{si}\ |z| < 1 \\ + \infty\ \text{si}\ z \geq 1 \end{array} \right\}\]

Exercice :

\[\text{Etudier}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{(série harmonique)}\]

On sait que $\ln(1 + X) \leq X\ ;\ \forall X \geq - 1$

\[\frac{1}{k} \geq \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)\ \forall k \in \mathbb{N}^{*}\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} \geq \sum_{k = 1}^{n}{\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)} = \sum_{k = 1}^{n}{\ln\left( \frac{k + 1}{k} \right)} = \sum_{k = 1}^{n}\left( \ln(k + 1) - \ln(k) \right) = \ln(n + 1)\] \[S_{n} \geq \ln(n + 1)\ \text{or}\lim_{n \rightarrow + \infty}{\ln(n + 1)} = + \infty\]

D’après le théorème de minoration,

\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{S_{n}\ } = + \infty\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{diverge}\]

Définition :

On dit qu’une série $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge grossièrement si la suite $\left( u_{n} \right)$ ne tend pas vers 0.

Théorème : Condition nécessaire de convergence d’une série

Si $\sum_{}^{}u_{n}$ converge, alors $\left( u_{n} \right) \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0$

Démonstration :

Par hypothèse, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge. Conclusion : $u_{n} \rightarrow 0$

\[\sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} = S\] \[u_{n} = \sum_{k = 0}^{n}u_{k} - \sum_{k = 0}^{n - 1}u_{k} = S_{n} - S_{n - 1}\]

On passe à la limite

\[\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = S - S = 0\]

Attention : La réciproque est fausse en général. Se tromper à ce sujet, c’est avouer que vous n’avez absolument rien compris de la théorie des séries.

Exemple : Série harmonique

Théorème : Critère de Cauchy

Une série numérique $\sum_{}^{}u_{n}$ converge si et seulement si elle satisfait le critère de Cauchy :

\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }p\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\ \left \vert \sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k} \right \vert \leq \varepsilon\]

Démonstration : $\left( S_{n} \right)$ est une suite alors on applique le critère de Cauchy sur la suite.

Exemple : Série harmonique

\[\sum_{k = n + 1}^{2n}\frac{1}{k} \geq \sum_{k = 1}^{2n}\frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}n = \frac{1}{2}\]

Le critère de Cauchy n’est pas vérifié, donc $\sum_{}^{}\frac{1}{n}$ diverge.

2. Opérations sur les séries

Théorème

Soient $\left( u_{n} \right)$ et $\left( v_{n} \right)$ deux suites de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

1. Multiplication par un scalaire

$\forall\lambda \in \mathbb{K}^{*}$, les séries $\sum u_{n}$ et $\sum\lambda u_{n}$ sont de même nature.

1. Somme

Si $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ convergent, la série $\sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}$ converge aussi.

Si $\sum_{}^{}u_{n}$ converge et $\sum_{}^{}v_{n}$ diverge, la série $\sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}$ diverge

Dans $\mathbb{C}$, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge $\Leftrightarrow \sum_{}^{}{Re\left( u_{n} \right)}$ et $\sum_{}^{}{Im(u_{n})}$ convergent.

Remarque : L’ensemble des séries est un $\mathbb{K -}e.v.$

En particulier, l’ensemble des séries convergentes est un s.e.v.

Attention :

Si $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ divergent toutes les deux, on ne peux pas conclure en général la nature de $\sum_{}^{}u_{n} + v_{n}$

Exemple :

\[u_{n} = \frac{1}{n},v_{n} = \frac{1}{n},\ \sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}\ \text{diverge}\] \[u_{n} = \frac{1}{n},v_{n} = - \frac{1}{n},\ \sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}\ \text{converge}\]

3. Comparaison série-intégrale et série de Riemann

Définition-Théorème

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$. La série de Riemann $\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$

\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}} = \zeta(\alpha)\]

Exemple :

\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{diverge car}\ \alpha = 1\]

Démonstration :

Etudions la convergence de $\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}$

Si $\alpha \leq 0$, $\lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \neq 0$

\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}\ \text{diverge grossièrement}\]

Si $\alpha > 0$,

On pose $f\ :t \rightarrow \frac{1}{t^{\alpha}},\ t \in \rbrack 0\ ; + \infty\lbrack$. $f$ est décroissante.

\[\forall k \in \mathbb{N}^{*},\ \forall t \in \lbrack k,k + 1\rbrack,\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \frac{1}{t^{\alpha}} \leq \frac{1}{k^{\alpha}}\] \[\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{k}^{k + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt} \leq \frac{1}{k^{\alpha}}\]

On somme sur $k$

\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \sum_{k = 1}^{n}{\int_{k}^{k + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}} \leq \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{t^{\alpha}}\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{1}^{n + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt} \leq \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{t^{\alpha}}\]

Si $a \in \rbrack 0\ ;1\lbrack\ $

\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}} \geq \int_{1}^{n + 1}\frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1}{1 - \alpha}\left\lbrack t^{1 - \alpha} \right\rbrack_{1}^{n + 1} = \frac{1}{1 - \alpha}\left( (n + 1)^{1 - \alpha} - 1 \right)\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{1}{1 - \alpha}\left( (n + 1)^{1 - \alpha} - 1 \right)} = + \infty\] \[\text{Donc, d'après le théorème des limites monotones},\ \sum_{}^{}\frac{1}{k^{\alpha}}\ \text{diverge}\]

Si $\alpha = 1$

\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} \geq \int_{1}^{n + 1}\frac{dt}{t} = \ln(n + 1) \rightarrow + \infty\] \[\text{De même},\ \sum_{}^{}\frac{1}{k}\ \text{diverge}\]

Si $\alpha > 1$

\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{1}^{n + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\]

Montrons que $\left( S_{n} \right)$ converge en utilisant le théorème de convergence monotone.

\[S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{\alpha}} \geq 0\ \text{donc}\ S_{n}\ \text{est croissante}\] \[S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}} = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq 1 + \int_{1}^{n}\frac{dt}{t^{\alpha}} = 1 + \frac{1}{1 - \alpha}\left( n^{1 - \alpha} - 1 \right)\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{n^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha}\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1} - \frac{1}{\left( n^{\alpha - 1} \right)(\alpha - 1)} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1}\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1}\]

$S_{n}$ est croissante et majorée donc elle converge.

Exercice : Série de Bertrand cas particulier

\[S_{n} = \sum_{}^{}\frac{1}{n\ln n}\]

Montrer que cette série diverge.