CM1 Derivation

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Page 1 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité1Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuelles2Dérivées successives, fonctions de classe C nDénitionsFormule de Leibniz3Propriétés des fonctions dérivablesExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'Hospital4ApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosD. CransacAnalyse

Page 2 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénition Dérivabilité en un point ou sur une partie de RSoit f : D →C une fonction.Soit a D. On dit que f est dérivable en a si, lorsque x tend vers a,f x f ax aADMET UNE LIMITE QUI EST FINIE.Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a et notée f ′a.On dit que f est dérivable sur D si f est dérivable en tout point de D.La fonction x 7→f ′x est alors appelée la dérivée de f .RemarqueOn note DD, K l'ensemble des fonctions dérivables sur D à valeursdans K.Dans la notation f ′, on a déni implicitement x comme la variable.Pour éviter les ambigüités fonctions à plusieurs variables, on peutnoter le nombre dérivé dfdx a et on peut remplacer x par n'importequelle autre symbole.D. CransacAnalyse

Page 3 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénition TangenteSoient f : D →R une fonction et a D.Si f est dérivable en a, la droite d'équation :y = f a + f ′ax a est appelée la tangente de f en a.Si : limx→af x f ax a= ±,la droite d'équation :x = aestappelée la tangente de f en a.D. CransacAnalyse

Page 4 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesAttention Ne pas confondre deux domaines mathématiques séparés :Analyse : fonction, réel, limite, taux de variation, dérivabilité.Géométrie : représentation graphique, point, coecient directeur,tangente, asymptote.D. CransacAnalyse

Page 5 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesAttention Bien distinguer dérivabilité et existence d'une tangente à lacourbe représentative.f x f ax aADMET EN a . . .Analyse. . . UNE LIMITE. . . PAS DE LIMITEAnalyseFINIEINFINIEGéométrieTangenteTangente VerticalePas de TangenteAnalyseFonctionFonctionAnalyseDERIVABLENON DERIVABLED. CransacAnalyse

Page 6 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénition Dérivabilité à gauche/à droite en un point,demi-tangenteSoient f : D →C une fonction et a D un point au voisinage duquel fest dénie à gauche et à droite.On dit que f est dérivable à gauche en a si f D,a est dérivableen a, i.e. si la limite : limx→af x f ax aexiste et est nie.Cette limite est alors appelée le nombre dérivé à gauche de f en a etnotée f ′ga.On dit que f est dérivable à droite en a si f Da,+ est dérivable ena, i.e. si la limite : limx→a+f x f ax aexiste et est nie.Cette limite est alors appelée le nombre dérivé à droite de f en a etnotée f ′da.D. CransacAnalyse

Page 7 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Caractérisation de la dérivabilité à l'aide desdérivabilités à gauche/à droiteSoient f : D →C une fonction et a D un point au voisinage duquel fest dénie à gauche et à droite.f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droiteen a avec de plus : f ′ga = f ′da.La fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en 0, maispas en 0 car : f ′g0 = 1 et f ′d0 = 1 donc f ′g0 ̸= f ′g0.xyD. CransacAnalyse

Page 8 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.f est dérivable en a⇐⇒limx→af x f ax aexiste et est nie⇐⇒limx→af x f ax aet limx→a+f x f ax aexistent, sont nies et égales⇐⇒f est dérivable à gauche et à droite en a et :f ′ga = f ′da.D. CransacAnalyse

Page 9 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème La dérivabilité implique la continuitéSoient f : D →R une fonction et a D.Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.Attention ! La réciproque est totalement fausseLa fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 .Il existe même des fonctions qui sont continues sur tout R maisdérivables en aucun point.D. CransacAnalyse

Page 10 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème La dérivabilité implique la continuitéSoient f : D →R une fonction et a D.Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.Attention ! La réciproque est totalement fausseLa fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 .Il existe même des fonctions qui sont continues sur tout R maisdérivables en aucun point.RemarqueCette propriété n'a aucun intérêt pratique : on ne peut pas s'intéresser àla dérivabilité si on n'a pas vérié que la fonction est continue.Exemple : Une fonction polynôme n'est pas "continue parce qu'elle estdérivable" mais "est continue et de plus dérivable".D. CransacAnalyse

Page 11 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Opérations sur la dérivabilitéSoient f : D →C et g : D →C deux fonctions et a D. On supposef et g dérivables en a.1Combinaison linéaire : Pour tous λ, µ C, λf + µg est dérivable ena et :λf + µg′a = λf ′a + µg ′a.D. CransacAnalyse

Page 12 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Opérations sur la dérivabilitéSoient f : D →C et g : D →C deux fonctions et a D. On supposef et g dérivables en a.1Combinaison linéaire : Pour tous λ, µ C, λf + µg est dérivable ena et :λf + µg′a = λf ′a + µg ′a.2Produit : fg est dérivable en a et :fg′a = f ′aga + f ag ′a.D. CransacAnalyse

Page 13 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Opérations sur la dérivabilitéSoient f : D →C et g : D →C deux fonctions et a D. On supposef et g dérivables en a.1Combinaison linéaire : Pour tous λ, µ C, λf + µg est dérivable ena et :λf + µg′a = λf ′a + µg ′a.2Produit : fg est dérivable en a et :fg′a = f ′aga + f ag ′a.3Quotient : Si : ga ̸= 0,fg est dérivable en a et : fg′a = f ′aga f ag ′aga2.D. CransacAnalyse

Page 14 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.Pour les assertions 2 et 3, remarquons que : limx→a gx = gacar ladérivabilité de g en a implique sa continuité.λf + µgx λf + µgax a= λf x f ax a+ µgx gax a→x→a λf ′a + µg ′a.fgx fgax a= f x f ax agx + f agx gax a→x→a f ′aga + f ag ′a.Supposons :ga ̸= 0 comme g est continue, elle est non nullesur un intervalle I ouvert contenant a.x I,1g x 1g ax a= 1gxga × gx gax a→x→a g ′aga2 .D. CransacAnalyse

Page 15 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorèmeSoient f : D →E et g : E →C deux fonctions et a D.On suppose f dérivable en a et g dérivable en f a.Composition : g ◦f est dérivable en a et :g ◦f ′a = f ′ag ′f a.D. CransacAnalyse

Page 16 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.Pour tout y E, posons :τy =gy gf ay f asi : y ̸= f ag ′f asi : y = f aPar dérivabilité de g en fa :limy→f a τy = g ′f a,Donc pour tout x E :τf xf x f a = g ◦f x g ◦f ay compris pour x = aDe plus limx→a f x = f aDonc g ◦f x g ◦f ax a= f x f ax aτf x →x→a f ′ag ′f a.D. CransacAnalyse

Page 17 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x Dxy110D. CransacAnalyse

Page 18 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y Exy110D. CransacAnalyse

Page 19 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y Exy110D. CransacAnalyse

Page 20 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y E=Mf 1x, xavec x Exy110D. CransacAnalyse

Page 21 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y E=Mf 1x, xavec x Exy110D. CransacAnalyse

Page 22 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y E=Mf 1x, xavec x Exy110D. CransacAnalyse

Page 23 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y E=Mf 1x, xavec x ECet ensemble est le symétrique parrapport à l'axe d'équation y = x del'ensemblexy110Mx, f 1xavec x ED. CransacAnalyse

Page 24 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDénitionSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.On appelle fonction réciproque de f la fonction, notée f 1 telle quex I, y = f x ⇔x = f 1yLa représentation graphique de la fonction f est l'ensembleMx, y, y = f x avec x D= Mx, f x avec x D=Mx, y, f 1y = x avec y E=Mf 1y, yavec y E=Mf 1x, xavec x ECet ensemble est le symétrique parrapport à l'axe d'équation y = x del'ensemblexy110Mx, f 1xavec x ED. CransacAnalyse

Page 25 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.D. CransacAnalyse

Page 26 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsD. CransacAnalyse

Page 27 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur JD. CransacAnalyse

Page 28 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur Jf 1′ =1f ′ ◦f 1D. CransacAnalyse

Page 29 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur Jf 1′ =1f ′ ◦f 1Attention ! L'hypothèse selon laquelle f ′ ne s'annule pas est essentielle !xy110xy110D. CransacAnalyse

Page 30 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur Jf 1′ =1f ′ ◦f 1Attention ! L'hypothèse selon laquelle f ′ ne s'annule pas est essentielle !xy110xy110D. CransacAnalyse

Page 31 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur Jf 1′ =1f ′ ◦f 1Attention ! L'hypothèse selon laquelle f ′ ne s'annule pas est essentielle !xy110xy110D. CransacAnalyse

Page 32 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesThéorème Dérivabilité d'une réciproqueSoient I un intervalle et f DI, R bijective de I sur J = f I.Si f ′ NE S'ANNULE PAS SUR I, alorsf 1 est dérivable sur Jf 1′ =1f ′ ◦f 1Attention ! L'hypothèse selon laquelle f ′ ne s'annule pas est essentielle !xy110xy110D. CransacAnalyse

Page 33 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.Soit b J. On pose a = f 1bOr f est dérivable en a = f 1b : limx→af x f ax a= f ′a,doncaprès passage à l'inverse par hypothèse f ′ ne s'annule pas :limx→ax af x f a =1f ′ aD. CransacAnalyse

Page 34 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.Soit b J. On pose a = f 1bOr f est dérivable en a = f 1b : limx→af x f ax a= f ′a,doncaprès passage à l'inverse par hypothèse f ′ ne s'annule pas :limx→ax af x f a =1f ′ aComme f est continue et bijective, f 1 est continue en b :limy→b f 1y = f 1b = aD. CransacAnalyse

Page 35 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesDémonstration.Soit b J. On pose a = f 1bOr f est dérivable en a = f 1b : limx→af x f ax a= f ′a,doncaprès passage à l'inverse par hypothèse f ′ ne s'annule pas :limx→ax af x f a =1f ′ aComme f est continue et bijective, f 1 est continue en b :limy→b f 1y = f 1b = aOn peut donc remplacer x par f 1y et a par f 1b donc parcomposition :limy→bf 1y f 1by b= limy→bf 1y f 1bf f 1y f f 1b =1f ′ f 1bD. CransacAnalyse

Page 36 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesRemarque sur la démonstration :On pourrait penser à écrire le taux de variation de la façon suivante :gf x gf ax a= gf x gf af x f af x f ax aD. CransacAnalyse

Page 37 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesRemarque sur la démonstration :On pourrait penser à écrire le taux de variation de la façon suivante :gf x gf ax a= gf x gf af x f af x f ax aMais dans ce cas là, on divise par f x f a et mais cette valeurpourrait être nulle ce qui pose un problème.Cela explique l'introduction de la fonction τD. CransacAnalyse

Page 38 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsOpérations sur la dérivabilitéDérivabilité de la fonction réciproqueDérivées usuellesPrincipales formules à connaitre, x estune variableCompositions, u représente une fonc-tion x 7→ux.FonctionDérivéexnnxn1n Z1x1x2x121xxααxα1α Rexexln x1xcos xsin xsin xcos xtan x1 + tan2 x =1cos2 xFonctionDérivéeunnu′un1n Z1uu′u2u12u′uuααu′uα1α Reuu′euln uu′ucos uu′ sin usin uu′ cos utan uu′ 1 + tan2 u=u′cos2 uD. CransacAnalyse

Page 39 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDénition Dérivées successivesSoit f : D →C une fonction.On dénit k N, Pk : f k est dénie sur D et f k est dérivable sur D.On dénit : f 0 = fPour tout n N tel que k N, k n, Pk est vraie, on peut dénirf n+1 = f n′ sur D.f k est dite dérivée kème de f .On dit que f est k fois dérivable sur D.Remarque1On note généralement f , f ′, f ′′ et f ′′′ plutôt que f 0, f 1, f 2 etf 3 respectivement.2On peut noter la dérivée n-ième dkfdxkD. CransacAnalyse

Page 40 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDénition Fonction de classe C k Soit f : D →C une fonction.Pour tout k N, on dit que f est de classe C k sur D si f est k foisdérivable sur D et si f k est continue sur D. On note C kD, Kl'ensemble des fonctions de classe C k sur D à valeurs dans K.On dit que f est de classe C sur D si f est dérivable autant defois qu'on le veut sur D.On note C D, K l'ensemble des fonctions de classe C sur D àvaleurs dans K.Attention !Être de classe C 1, ce n'est pasêtre "dérivable et continue"maisêtre " dérivable à dérivée continue ".D. CransacAnalyse

Page 41 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizClasse C . . .Classe C 2Dérivabilité deux foisClasse C 1DérivabilitéContinuité=Classe C 0D. CransacAnalyse

Page 42 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizPropositionSoient n N, f , g CnI, R2 et λ, µ R2. Alorsλf + µg CnI, Retλf + µgn = λf n + µg non dit que l'ensemble des fonctions de classe C n est un R espacevectorielD. CransacAnalyse

Page 43 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDémonstration.On montre par récurrence sur n N la propriété Pn :Si f et g sont Cn, alors λf + µg est Cn et λf + µgn = λf n + µg n.Pour n = 0, on a vu dans le chapitre précédent que P0 est vraie.Soit n N tel que Pn est vraie. Supposons f et g de classe Cn+1.Alors f et g sont Cn, donc par hypothèse de récurrence, λf + µg est Cnet λf + µgn = λf n + µg n.Comme f n et g n sont C1 car f et g sont Cn+1, λf + µgn estdérivable comme combinaison linéaire de fonctions qui le sont - c'est lapropriété P0 de dérivée λf + µgn+1 = λf n+1 + µg n+1 continue.Ainsi λf + µg est Cn+1 et on a Pn + 1.Conclusion : n N, Pn est vraie.D. CransacAnalyse

Page 44 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizFormule de LeibnizProposition Formule de LeibnizSoient n N, f , g : I →R de classe Cn sur I.Alors fg est de classe Cn sur I et on a :fgn =nXk=0nkf kg nk.D. CransacAnalyse

Page 45 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDémonstration.On montre par récurrence sur n N la propriété Pn :Si f et g sont Cn sur I, alors fg est Cn sur I etfgn =nXk=0nkf kg nk.Si f et g sont continues sur I, alors fg est continue sur I et0Xk=00kf kg 0k =00f 0g 0 = fg = fg0, donc on aP0.Au rang k :" f , g C kD, C,fg C kI, Cetfgk =kXp=0kpf pg kp .D. CransacAnalyse

Page 46 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDémonstration.Hérédité : Soit k N, on suppose le Pk vraie.Soient f , g C k+1D, C.Aussitôt :f , g C 1D, C, donc : fg C 1D, C et :fg′ = f ′g + fg ′.Or :f ′g, fg ′ C kD, C par hypothèse de récurrence, donc :fg′ C kD, C,i.e. :fg C k+1D, C.D. CransacAnalyse

Page 47 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizDémonstration.Ensuite : fgk+1 = fg′k = f ′gk + fg ′kHDR=kXp=0kpf ′p g kp +kXp=0kpf p g ′kp=kXp=0kpf p+1g kp +kXp=0kpf pg kp+1=k+1Xp=1kp 1f pg kp+1 +kXp=0kpf pg kp+1= f 0g k+1zp=0+kXp=1k + 1pf pg k+1p + f k+1g 0zp=k+1=k+1Xp=0k + 1pf pg k+1pD. CransacAnalyse

Page 48 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDénitionsFormule de LeibnizPropositionSoient f et g : I →R de classe Cn. Si g ne s'annule pas, alors fg est Cn sur I.PropositionSoient f : I →R et g : J →R deux fonctions Cn sur I telles que f I J.Alors g ◦f est de classe Cn sur I.PropositionSoit f : I →J bijective, de classe Cn sur I et telle que f ′ ne s'annule pas.Alors f 1 est de classe Cn sur J.D. CransacAnalyse

Page 49 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDénitionSoit f : I →R une fonction.On dit que f admet un maximum local en a, s'l existe un réel η 0 telque la fonction fIaη,a+η admette un maximum en a, i.e :x I a η, a + η, f x f axyMin. globalMin. localPoint d'inexionD. CransacAnalyse

Page 50 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDénitionSoit f : I →R une fonction.On dit que f admet une maximum local en a, s'l existe un réel η 0tel que la fonction fIaη,a+η admette un maximum en a, i.e :x I a η, a + η, f x f aOn dit que f admet une minimum local en a, s'il existe un réel η 0eta tel que la fonction fIaη,a+η admette un minimum en a, i.e :x I a η, a + η, f a f xOn dit que f admet un extremum local en a, si f admet unmaximum ou un minimum local en a.D. CransacAnalyse

Page 51 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.D. CransacAnalyse

Page 52 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.D. CransacAnalyse

Page 53 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.xycda δa + δa ηa + ηaD. CransacAnalyse

Page 54 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.D. CransacAnalyse

Page 55 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.D. CransacAnalyse

Page 56 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.Pour tout x a δ, a, f x f ax a0 car f x f a 0 etx a 0,D. CransacAnalyse

Page 57 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.Pour tout x a δ, a, f x f ax a0 car f x f a 0 etx a 0, donc en passant à la limite quand x →aD. CransacAnalyse

Page 58 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.Pour tout x a δ, a, f x f ax a0 car f x f a 0 etx a 0, donc en passant à la limite quand x →acomme f est dérivableen a , f ′a = f ′ga 0.D. CransacAnalyse

Page 59 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.Pour tout x a δ, a, f x f ax a0 car f x f a 0 etx a 0, donc en passant à la limite quand x →acomme f est dérivableen a , f ′a = f ′ga 0. De même, pour tout x a, a + δ, f x f ax a0car f x f a 0 et x a 0,D. CransacAnalyse

Page 60 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalProposition Condition nécessaire d'extrémumSoit f : I →R une fonction dérivable.Si f admet un extremum local en un point a intérieur à I i.e. a I et an'est pas une extrémité de I , alors f ′a = 0.Démonstration.Quitte à changer f en f , on suppose que f admet en a un maximum local.Il existe alors η 0 tel que x a η, a + η I, f x f a.Comme a n'est pas une extrémité de I, il existe ν 0 tel quea ν, a + ν I.Posons δ = minη, ν 0. Ainsi, pour tout x a δ, a + δ, f x f a.Pour tout x a δ, a, f x f ax a0 car f x f a 0 etx a 0, donc en passant à la limite quand x →acomme f est dérivableen a , f ′a = f ′ga 0. De même, pour tout x a, a + δ, f x f ax a0car f x f a 0 et x a 0, donc en passant à la limite quandx →a+, f ′a = f ′da 0.Ainsi, f ′a = 0.D. CransacAnalyse

Page 61 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalRemarques.La condition f ′a = 0 n'implique pas qu'il y ait un extremum localen a.Par exemple, la fonction f : x R 7→x3 satisfait f ′0 = 0, mais fn'admet pas d'extremum local en 0 .L'hypothèse a intérieur à I est essentielle : par exemple, la fonctionf : x 0, 1 7→0, 1 est dérivable sur 0, 1 et a son minimum en 0et son maximum en 1 , mais f ′0 = f ′1 = 1 ̸= 0.Pour déterminer les extrema d'une fonction f, on procèdera commesuit :on étudie les extrema en les points intérieurs à I : on résoutl'équation f ′x = 0, puis on vérie si les points obtenuscorrespondent ou non à des extrema locaux avec le tableau devariations de f par exemple.on étudie si les extrémités de I si elles appartiennent à Icorrespondent ou non à des extrema locaux de f .D. CransacAnalyse

Page 62 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorème Théorème de RolleSoit f : a, b →R une fonctioncontinue sur a, bdérivable sur a, btelle que f a = f bIl existe un réel c a, b pour lequel : f ′c = 0.D. CransacAnalyse

Page 63 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalRemarque Chaque hypothèse du théorème a son importance.xyabf a = f bxyabf a = f bHypothèses vériéesPas de dérivabilité en un pointxyabf a = f bxyabf af bPas de continuité sur a; bf a ̸= f bD. CransacAnalyse

Page 64 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.La fonction f étant continue sur le segment a, b, f est bornée et possède unminimum m et un maximum M d'après le théorème des bornes atteintes.Si : f a = f b ̸= M,alors comme f atteint ses bornes :f c = Mpour un certain c a, b. Par hypothèse, c n'est alors pas une borne dea, b, donc : f ′c = 0 d'après le théorème précédent.Si : f a = f b ̸= m,même raisonnement.Dernier cas enn : f a = f b = m = M.Dans ce cas, f est constante de valeur M = m sur tout a, b pardénition de m et M, donc f ′ est nulle sur tout a, bD. CransacAnalyse

Page 65 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorème Théorème des accroissements nisSoit f : a, b →R continue sur a, b et dérivable sur a, b.Il existe un réel c a, b pour lequel :f ′c = f b f ab a,ou encore :f b f a = f ′cb aRemarqueLe théorème des accroissements nis généralise le théorème de Rolle.DES INFORMATIONS SUR f ′DONNENTDES INFORMATIONS SUR f .Très utile pour utiliser toute majoration/minoration de f ′ pour obtenir unemajoration/minoration sur f .D. CransacAnalyse

Page 66 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.On pose φx = f x f b f ab ax a f a.φ est la somme de f et d'une fonction linéaire donc :φ est une fonction continue sur a; b.φ est une fonction dérivable sur a; b.φa = f a + f a f bb aa a = f aφb = f b + f a f bb ab a = f adonc φa = φbOn peut donc appliquer le théorème de Rolle à φ :il existe c tel que φ′c = 0Donc f ′x + f a f bb a= 0 donc f ′c = f b f ab aD. CransacAnalyse

Page 67 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.f est constante sur I si et seulement si f ′ est nulle sur I.f est croissante resp. décroissante sur I si et seulement si f ′ estpositive resp. négative sur I.D. CransacAnalyse

Page 68 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.D. CransacAnalyse

Page 69 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.D. CransacAnalyse

Page 70 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y.D. CransacAnalyse

Page 71 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.D. CransacAnalyse

Page 72 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .D. CransacAnalyse

Page 73 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .⇒Soit a I. Alors, pour tout x I, avec x ̸= a, on af x f ax a0.D. CransacAnalyse

Page 74 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .⇒Soit a I. Alors, pour tout x I, avec x ̸= a, on af x f ax a0. En faisant tendre x vers a, on obtient, par passageà la limite dans les inégalités, que f ′a 0 pour tout a I.D. CransacAnalyse

Page 75 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .⇒Soit a I. Alors, pour tout x I, avec x ̸= a, on af x f ax a0. En faisant tendre x vers a, on obtient, par passageà la limite dans les inégalités, que f ′a 0 pour tout a I.⇐Supposons f ′ à valeurs positives. Soit x, y I 2 avec x y.D. CransacAnalyse

Page 76 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .⇒Soit a I. Alors, pour tout x I, avec x ̸= a, on af x f ax a0. En faisant tendre x vers a, on obtient, par passageà la limite dans les inégalités, que f ′a 0 pour tout a I.⇐Supposons f ′ à valeurs positives. Soit x, y I 2 avec x y. Parle théorème des accroissements nis f étant continue sur x, y etdérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y tel quef y f x = f ′cy x 0 car f ′c 0 et y x 0.D. CransacAnalyse

Page 77 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.⇒Immédiat.⇐Supposons que f ′ = 0 sur I, et soit x, y I, x y. D'après lethéorème des accroissements nis entre x et y f étant continue surx, y et dérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y telque f y f x = f ′cy x = 0. Donc f x = f y.On traite le cas f croissante l'autre cas s'en déduit en remplaçant fpar f .⇒Soit a I. Alors, pour tout x I, avec x ̸= a, on af x f ax a0. En faisant tendre x vers a, on obtient, par passageà la limite dans les inégalités, que f ′a 0 pour tout a I.⇐Supposons f ′ à valeurs positives. Soit x, y I 2 avec x y. Parle théorème des accroissements nis f étant continue sur x, y etdérivable sur x, y car dérivable sur I, il existe c x, y tel quef y f x = f ′cy x 0 car f ′c 0 et y x 0. Ainsif y f x et f est croissante.D. CransacAnalyse

Page 78 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.Si f ′ est strictement positive resp. strictement négative, sauféventuellement en un nombre ni de points de I où f ′ s'annule, alors fest strictement croissante resp. strictement décroissante.D. CransacAnalyse

Page 79 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.Si f ′ est strictement positive resp. strictement négative, sauféventuellement en un nombre ni de points de I où f ′ s'annule, alors fest strictement croissante resp. strictement décroissante.Démonstration.Par l'absurde, si f n'est pas strictement croissante, alors il existec d, c, d I 2, tels que f c = f d.D. CransacAnalyse

Page 80 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.Si f ′ est strictement positive resp. strictement négative, sauféventuellement en un nombre ni de points de I où f ′ s'annule, alors fest strictement croissante resp. strictement décroissante.Démonstration.Par l'absurde, si f n'est pas strictement croissante, alors il existec d, c, d I 2, tels que f c = f d. Comme f est croissante, on adonc fc,d constante et alorsD. CransacAnalyse

Page 81 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.Si f ′ est strictement positive resp. strictement négative, sauféventuellement en un nombre ni de points de I où f ′ s'annule, alors fest strictement croissante resp. strictement décroissante.Démonstration.Par l'absurde, si f n'est pas strictement croissante, alors il existec d, c, d I 2, tels que f c = f d. Comme f est croissante, on adonc fc,d constante et alors f ′ est nulle sur le segment c, d.D. CransacAnalyse

Page 82 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur un intervalle I.Si f ′ est strictement positive resp. strictement négative, sauféventuellement en un nombre ni de points de I où f ′ s'annule, alors fest strictement croissante resp. strictement décroissante.Démonstration.Par l'absurde, si f n'est pas strictement croissante, alors il existec d, c, d I 2, tels que f c = f d. Comme f est croissante, on adonc fc,d constante et alors f ′ est nulle sur le segment c, d. C'est encontradiction avec l'hypothèse de départ, donc f est strictementcroissante.D. CransacAnalyse

Page 83 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalFonctions lipschitziennesDénition RappelSoit f : I →R et k 0. On dit que f est k-lipschitzienne ou lipschitziennede rapport k sur I si :x, y I 2, f x f y kx y.D. CransacAnalyse

Page 84 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalFonctions lipschitziennesDénition RappelSoit f : I →R et k 0. On dit que f est k-lipschitzienne ou lipschitziennede rapport k sur I si :x, y I 2, f x f y kx y.ThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur I .Si f ′ est bornée sur I par une constante M 0, alors f est M lipschitziennesur I.D. CransacAnalyse

Page 85 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalFonctions lipschitziennesDénition RappelSoit f : I →R et k 0. On dit que f est k-lipschitzienne ou lipschitziennede rapport k sur I si :x, y I 2, f x f y kx y.ThéorèmeSoit f : I →R une fonction dérivable sur I .Si f ′ est bornée sur I par une constante M 0, alors f est M lipschitziennesur I.Démonstration.Il sut d'appliquer l'inégalité des accroissements nis sur tout segmentx, y : f x f y Mx y.D. CransacAnalyse

Page 86 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalRègle de I'HospitalThéorèmeSoient f , g : I →R deux fonctions dérivables et soit x0 I. On suppose quef x0 = g x0 = 0,D. CransacAnalyse

Page 87 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalRègle de I'HospitalThéorèmeSoient f , g : I →R deux fonctions dérivables et soit x0 I. On suppose quef x0 = g x0 = 0,x I\ x0g ′x ̸= 0.D. CransacAnalyse

Page 88 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalRègle de I'HospitalThéorèmeSoient f , g : I →R deux fonctions dérivables et soit x0 I. On suppose quef x0 = g x0 = 0,x I\ x0g ′x ̸= 0.Si limx→x0f ′xg ′x = ℓRalorslimx→x0f xgx = ℓD. CransacAnalyse

Page 89 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. AlorsD. CransacAnalyse

Page 90 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 ID. CransacAnalyse

Page 91 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0D. CransacAnalyse

Page 92 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.D. CransacAnalyse

Page 93 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0.D. CransacAnalyse

Page 94 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′xD. CransacAnalyse

Page 95 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′x donc gaf ′ ca f ag ′ ca = 0.D. CransacAnalyse

Page 96 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′x donc gaf ′ ca f ag ′ ca = 0.Comme g ′ ne s'annule pas sur I\ x0 cela conduit àD. CransacAnalyse

Page 97 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′x donc gaf ′ ca f ag ′ ca = 0.Comme g ′ ne s'annule pas sur I\ x0 cela conduit à f aga = f ′ cag ′ ca.D. CransacAnalyse

Page 98 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′x donc gaf ′ ca f ag ′ ca = 0.Comme g ′ ne s'annule pas sur I\ x0 cela conduit à f aga = f ′ cag ′ ca.Comme a ca x0 lorsque l'on fait tendre a vers x0 on obtient ca →x0.D. CransacAnalyse

Page 99 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationExtremum localThéorème de RolleThéorème des accroissements nisSens de variations et dérivabilitéRègle de l'HospitalDémonstration.Fixons a I\ x0 avec par exemple a x0.Soit h : I →R dénie par hx = gaf x f agx. Alorsh est continue sur a, x0 Ih est dérivable sur a, x0h x0 = ha = 0.Donc par le théorème de Rolle il existe ca a, x0 tel que h′ ca = 0. Orh′x = gaf ′x f ag ′x donc gaf ′ ca f ag ′ ca = 0.Comme g ′ ne s'annule pas sur I\ x0 cela conduit à f aga = f ′ cag ′ ca.Comme a ca x0 lorsque l'on fait tendre a vers x0 on obtient ca →x0.Cela impliquelima→x0f aga = lima→x0f ′ cag ′ ca = limca→x0f ′ cag ′ ca = ℓ.D. CransacAnalyse

Page 100 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosExercice : Etude de la dérivabilité de x 7→x en 0 :x 0x 0=xx=1x →x→0 +donc limite inniedonc la fonction n'est pas dérivable en 0.Mais la courbe représentative admet une tangente verticaleEn a 0, on calcule le taux de variation entre a et x et on obtientx ax a=x ax ax + ax + a =x ax ax + a =1x + aDonc si a 0, limx→ax ax a=1a + a =12a donc la fonctionx 7→x est dérivable en a, de dérivée12aSi a = 0, limx→0x 0x 0= limx→01x = +donc limite inniedonc la fonction n'est pas dérivable en 0.Mais la courbe représentative admet une tangente verticaleD. CransacAnalyse

Page 101 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la fonction tangente et sa réciproqueOn dénit la fonction tangente de I = π2 ; π2 dans R par :f : x 7→tan x = sin xcos xD. CransacAnalyse

Page 102 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la fonction tangente et sa réciproqueOn dénit la fonction tangente de I = π2 ; π2 dans R par :f : x 7→tan x = sin xcos xf est dérivable sur I etf ′x = cos x cos x sin x cos xcos2 x=1cos2 x = 1 + tan2 xD. CransacAnalyse

Page 103 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la fonction tangente et sa réciproqueOn dénit la fonction tangente de I = π2 ; π2 dans R par :f : x 7→tan x = sin xcos xf est dérivable sur I etf ′x = cos x cos x sin x cos xcos2 x=1cos2 x = 1 + tan2 xOn a x I, cos x ⩾0 , limx→π2tan x = +etlimx→π2tan x = .D. CransacAnalyse

Page 104 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la fonction tangente et sa réciproqueOn dénit la fonction tangente de I = π2 ; π2 dans R par :f : x 7→tan x = sin xcos xf est dérivable sur I etf ′x = cos x cos x sin x cos xcos2 x=1cos2 x = 1 + tan2 xOn a x I, cos x ⩾0 , limx→π2tan x = +etlimx→π2tan x = .Comme f ′x 0 sur I, f est strictement croissante. Par ailleurs,elle est continue sur I, elle réalise donc une bijection de I sur R.D. CransacAnalyse

Page 105 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la fonction tangente et sa réciproqueOn dénit la fonction tangente de I = π2 ; π2 dans R par :f : x 7→tan x = sin xcos xf est dérivable sur I etf ′x = cos x cos x sin x cos xcos2 x=1cos2 x = 1 + tan2 xOn a x I, cos x ⩾0 , limx→π2tan x = +etlimx→π2tan x = .Comme f ′x 0 sur I, f est strictement croissante. Par ailleurs,elle est continue sur I, elle réalise donc une bijection de I sur R.On observe que la dérivée ne s'annule pas donc atan = tan1 estdonc dérivable sur Ratan′x =1f ′atanx =11 + tan2atanx =11 + x2D. CransacAnalyse

Page 106 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosDérivée de cos et sinOn admet démonstration géométrique quex 0 : π2 , sin x ⩽x ⩽sin xcos xAlorsx cos x sin xetD. CransacAnalyse

Page 107 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosDérivée de cos et sinOn admet démonstration géométrique quex 0 : π2 , sin x ⩽x ⩽sin xcos xAlorsx cos x sin xetx cos x ⩽sin x ⩽xIl vientcos x ⩽sin xx⩽1 or limx→0 cos x = 1donc d'après le théorème des gendarmes,limx→0+sin xx= 1comme x 7→sin xxest paire, la limite est la même à gauche donclimx→0sin xx= 1D. CransacAnalyse

Page 108 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la dérivée de cos en 0 :cos x 1x= 2 sin2 x22x2= sin2 x2x2→x→0 1par composition car limx→0x2 = 0Etude de la dérivée de sin en un réel a quelconquecosa + h cos ah= cos a cos h sin a sin h cos ah= cos acos h 1hsin asin hhDonclimx→0cosa + h cos ah= cos a × 0 sin a × 1 = sin aD. CransacAnalyse

Page 109 : Nombre dérivé fonction dérivée, opérationsDérivées successives, fonctions de classe CnPropriétés des fonctions dérivablesApplicationDérivabilité de la fonction racine carréFonction Réciproque de la fonction tangenteDétermination de la dérivée des fonction sin et cosEtude de la dérivée de cos en un réel a quelconquesina + h sin ah= sin a cos h + cos a sin h sin ah= sin acos h 1h+ cos asin hhDonclimx→0sina + h sin ah= sin a × 0 + cos a × 1 = cos aThéorèmeOn a bien montré que la dérivée de sin est coset que la dérivée de cos est sinD. CransacAnalyse

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