CM4 Equations Diff

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Page 1 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsEquations Différentielles1Généralités2Equations différentielles du premier ordreDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes3Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficientsconstantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesD. CransacAnalyse

Page 2 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralités sur les équationsdifférentiellesD. CransacAnalyse

Page 3 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsIntroductionDéfinitionSoit une fonctionf : Rn+1 →ROn note y les fonctions définies de R dans R, n fois dérivables.On définit l’équation différentiellef y, y ′, . . . , y n, t = 0ED. CransacAnalyse

Page 4 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsIntroductionDéfinitionSoit une fonctionf : Rn+1 →ROn note y les fonctions définies de R dans R, n fois dérivables.On définit l’équation différentiellef y, y ′, . . . , y n, t = 0EDéfinitionUn équation différentielle E est d’ordre n N lorsque n est le plus petitentier naturel telle qu’il existe une fonction f : Rn+1 →Rtelle que E peut s’écriref y, y ′, . . . , y n, t = 0D. CransacAnalyse

Page 5 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionRésoudre une équation différentielle c’est déterminer l’ensemble desfonctions y dérivables n fois sur I qui vérifient cette équation.On les nomme solutions de l’équation.D. CransacAnalyse

Page 6 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionRésoudre une équation différentielle c’est déterminer l’ensemble desfonctions y dérivables n fois sur I qui vérifient cette équation.On les nomme solutions de l’équation.D. CransacAnalyse

Page 7 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionRésoudre une équation différentielle c’est déterminer l’ensemble desfonctions y dérivables n fois sur I qui vérifient cette équation.On les nomme solutions de l’équation.Exemples :E1y ′′ 2x2 + 1y ′ + y 2 = xexUne fonction f est solution de E1 différentielle si et seulement si :x R,f ′′x 2x2 + 1f ′x + f x2 = xexD. CransacAnalyse

Page 8 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :D. CransacAnalyse

Page 9 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.D. CransacAnalyse

Page 10 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex2D. CransacAnalyse

Page 11 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xD. CransacAnalyse

Page 12 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = xD. CransacAnalyse

Page 13 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = x2f x = 2ex cosx3 pour l’équation différentielle :y ′′ + 2y ′ + 4y = 0D. CransacAnalyse

Page 14 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = x2f x = 2ex cosx3 pour l’équation différentielle :y ′′ + 2y ′ + 4y = 0f ′x = 2excosx3 3 sinx3D. CransacAnalyse

Page 15 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = x2f x = 2ex cosx3 pour l’équation différentielle :y ′′ + 2y ′ + 4y = 0f ′x = 2excosx3 3 sinx3f ′′x = 2excosx3 +3 sinx3 +3 sinx3 3 cosx3=D. CransacAnalyse

Page 16 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = x2f x = 2ex cosx3 pour l’équation différentielle :y ′′ + 2y ′ + 4y = 0f ′x = 2excosx3 3 sinx3f ′′x = 2excosx3 +3 sinx3 +3 sinx3 3 cosx3= 2ex2 cosx3 + 23 sinx3D. CransacAnalyse

Page 17 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsVérifions que les fonctions suivantes sont solutions des équationsdifférentielles indiquées :1f x = 3ex2 + 12 pour l’équation différentielle : y ′ + 2xy = x.f ′x = 32xex2 = 6xex22xf x = 6xex2 + xOn vérifie bien que : f ′x + 2xf x = x2f x = 2ex cosx3 pour l’équation différentielle :y ′′ + 2y ′ + 4y = 0f ′x = 2excosx3 3 sinx3f ′′x = 2excosx3 +3 sinx3 +3 sinx3 3 cosx3= 2ex2 cosx3 + 23 sinx3On vérifie que l’on a bien :f ′′x + 2f ′x + 4f x = 0D. CransacAnalyse

Page 18 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentiellesdu premier ordreD. CransacAnalyse

Page 19 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionsD. CransacAnalyse

Page 20 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionOn dit qu’une équation différentielle E est linéaire si et seulement si lafonction f est linéaire en y, y ′, y”, . . . y nD. CransacAnalyse

Page 21 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionOn dit qu’une équation différentielle E est linéaire si et seulement si lafonction f est linéaire en y, y ′, y”, . . . y nDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre ou d’ordre 1l’équation :y ′ + atyt = btD. CransacAnalyse

Page 22 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionOn dit qu’une équation différentielle E est linéaire si et seulement si lafonction f est linéaire en y, y ′, y”, . . . y nDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre ou d’ordre 1l’équation :y ′ + atyt = btRemarqueD. CransacAnalyse

Page 23 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionOn dit qu’une équation différentielle E est linéaire si et seulement si lafonction f est linéaire en y, y ′, y”, . . . y nDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre ou d’ordre 1l’équation :y ′ + atyt = btRemarqueSoit f une solution de E sur I, f est C 1 sur I.En effet f ′t = atf t + btD. CransacAnalyse

Page 24 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionOn dit qu’une équation différentielle E est linéaire si et seulement si lafonction f est linéaire en y, y ′, y”, . . . y nDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre ou d’ordre 1l’équation :y ′ + atyt = btRemarqueSoit f une solution de E sur I, f est C 1 sur I.En effet f ′t = atf t + btSi on a une équation de type αty ′t + βtyt = γt, on peutla ramener à une équation linéaire du premier ordre en travaillantdans une intervalle où α ne s’annule pas et en divisant par αt.D. CransacAnalyse

Page 25 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.Soit l’équation différentielleEy ′ + aty = btOn appelle équation différentielle homogène associée à E l’équationobtenue en remplaçant le second membre par 0 dans l’équation E :Ey ′ + aty = 0D. CransacAnalyse

Page 26 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionSoient I un intervalle de R, a et b : I →K des fonctions continues.Soit l’équation différentielleEy ′ + aty = btOn appelle équation différentielle homogène associée à E l’équationobtenue en remplaçant le second membre par 0 dans l’équation E :Ey ′ + aty = 0Attention Ne pas confondre équation différentielle homogène sansprécision : yx et équation différentielle homogène associée à ED. CransacAnalyse

Page 27 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentiellesdu premier ordreà coefficients constantsD. CransacAnalyse

Page 28 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionPour toute équation différentielle linéaire homogène, la combinaisonlinéaire de deux solutions de l’équation est également solution del’équation.C’est à diref et g solution de E, λ, µ R2λf + µg est solution de ED. CransacAnalyse

Page 29 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRésolution des équations homogènesPropositionSoit une équation linéaire homogène :Ey ′ + axy = 0avec a fonction continue sur un intervalle IL’ensemble des solutions de cette équation estnf /x I, f x = λeR xx0 atdt, λ RoD. CransacAnalyse

Page 30 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit f une solution de l’équation EOn définitgx = f xeR xx0 atdtD. CransacAnalyse

Page 31 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit f une solution de l’équation EOn définitgx = f xeR xx0 atdtLa fonction g est dérivable comme produit de fonctions dérivables etD. CransacAnalyse

Page 32 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit f une solution de l’équation EOn définitgx = f xeR xx0 atdtLa fonction g est dérivable comme produit de fonctions dérivables etx I, g ′x = f ′xeR xx0 atdt + f xaxeR xx0 atdt= f ′x + f xaxeR xx0 atdt= 0D. CransacAnalyse

Page 33 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit f une solution de l’équation EOn définitgx = f xeR xx0 atdtLa fonction g est dérivable comme produit de fonctions dérivables etx I, g ′x = f ′xeR xx0 atdt + f xaxeR xx0 atdt= f ′x + f xaxeR xx0 atdt= 0Donc la fonction g est constante, donc il existe A R tel que gx = Aet f x = AeR xx0 atdt.D. CransacAnalyse

Page 34 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit f une solution de l’équation EOn définitgx = f xeR xx0 atdtLa fonction g est dérivable comme produit de fonctions dérivables etx I, g ′x = f ′xeR xx0 atdt + f xaxeR xx0 atdt= f ′x + f xaxeR xx0 atdt= 0Donc la fonction g est constante, donc il existe A R tel que gx = Aet f x = AeR xx0 atdt.Donc toute fonction f solution de E et de cette forme.... suite ...D. CransacAnalyse

Page 35 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Par ailleurs, si on définit hx = AeR xx0 atdt, on ah′x + axhx = AeR xx0 atdtax + axAeR xx0 atdt = 0 donc lesfonctions de cette forme sont bien solution de l’équation.D’où le résultat.D. CransacAnalyse

Page 36 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0D. CransacAnalyse

Page 37 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0D. CransacAnalyse

Page 38 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0D. CransacAnalyse

Page 39 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles queD. CransacAnalyse

Page 40 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RD. CransacAnalyse

Page 41 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RConstruction des solutions sur RD. CransacAnalyse

Page 42 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.D. CransacAnalyse

Page 43 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur ; 0, f x = Bx et sur 0; +, f x = Ax.D. CransacAnalyse

Page 44 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur ; 0, f x = Bx et sur 0; +, f x = Ax.Pour que la fonction soit de classe C 1 il faut et il suffit que A = B.D. CransacAnalyse

Page 45 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEHxy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 1x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dxx = Aeln x = Ax avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur ; 0, f x = Bx et sur 0; +, f x = Ax.Pour que la fonction soit de classe C 1 il faut et il suffit que A = B.Donc l’ensemble des solutions de l’équation E est l’ensemble desfonctions linéaires.D. CransacAnalyse

Page 46 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0D. CransacAnalyse

Page 47 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionD. CransacAnalyse

Page 48 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0D. CransacAnalyse

Page 49 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0D. CransacAnalyse

Page 50 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles queD. CransacAnalyse

Page 51 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RD. CransacAnalyse

Page 52 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RConstruction des solutions sur RD. CransacAnalyse

Page 53 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.D. CransacAnalyse

Page 54 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur 0; +, f x = Ax.Si A ̸= 0, cette fonction est prolongeable par continuité en 0 mais lafonction obtenue n’est pas dérivable.D. CransacAnalyse

Page 55 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur 0; +, f x = Ax.Si A ̸= 0, cette fonction est prolongeable par continuité en 0 mais lafonction obtenue n’est pas dérivable. Donc il n’y a pas de solution sur R.D. CransacAnalyse

Page 56 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleEH2xy ′ y = 0SolutionOn se place dans une intervalle où x ̸= 0, I =0; + ou J = ; 0On aEh ⇔y ′ 12x y = 0L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions f telles quef x = AeR x1dx2x = Ae12 ln x = Apx avec A RConstruction des solutions sur ROn veut définir une fonction f sur R qui est de classe C 1.On a donc sur 0; +, f x = Ax.Si A ̸= 0, cette fonction est prolongeable par continuité en 0 mais lafonction obtenue n’est pas dérivable. Donc il n’y a pas de solution sur R.L’unique solution est donc la fonction nulle.D. CransacAnalyse

Page 57 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre sur I =0; πEHy ′ sin t y cos t = 0D. CransacAnalyse

Page 58 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre sur I =0; πEHy ′ sin t y cos t = 0SolutionD. CransacAnalyse

Page 59 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre sur I =0; πEHy ′ sin t y cos t = 0SolutionLa fonction sin ne s’annule par sur I donc l’équation revient àD. CransacAnalyse

Page 60 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre sur I =0; πEHy ′ sin t y cos t = 0SolutionLa fonction sin ne s’annule par sur I donc l’équation revient ày ′ cos xsin x y = 0D. CransacAnalyse

Page 61 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre sur I =0; πEHy ′ sin t y cos t = 0SolutionLa fonction sin ne s’annule par sur I donc l’équation revient ày ′ cos xsin x y = 0Donc les solutions sontf t = AeR xπ2cos tsin t dt = Aeln sin t = A sin t avec A RD. CransacAnalyse

Page 62 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoit une équation différentielle linéaireEy ′ + axy = bxavec a et b fonctions continues sur un intervalle ISoit yP une solution de l’équation E, alorsyH est une solution de l’équation homogène E0 associée à Esi et seulement si yH + yP est une solution de l’équation ED. CransacAnalyse

Page 63 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoit une équation différentielle linéaireEy ′ + axy = bxavec a et b fonctions continues sur un intervalle ISoit yP une solution de l’équation E, alorsyH est une solution de l’équation homogène E0 associée à Esi et seulement si yH + yP est une solution de l’équation EDémonstration.yH solution de E0 ⇔y ′H + ayH = 0⇔y ′H + axyH + y ′P + axyP = bx⇔y ′H + y ′P + axyH + axyP = bx⇔yH + yP′ + axyH + yP = bx⇔yH + yP solution de ED. CransacAnalyse

Page 64 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1D. CransacAnalyse

Page 65 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1SolutionD. CransacAnalyse

Page 66 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1SolutionLa solution de l’equation homogène est x 7→λearctan x, λ RD. CransacAnalyse

Page 67 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1SolutionLa solution de l’equation homogène est x 7→λearctan x, λ RLa solution constante x 7→1 est une solution particulière évidente doncD. CransacAnalyse

Page 68 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1SolutionLa solution de l’equation homogène est x 7→λearctan x, λ RLa solution constante x 7→1 est une solution particulière évidente doncL’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble des fonctions :D. CransacAnalyse

Page 69 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple Résoudre l’équationE1 + x2y ′ + y = 1SolutionLa solution de l’equation homogène est x 7→λearctan x, λ RLa solution constante x 7→1 est une solution particulière évidente doncL’ensemble des solutions de l’équation est l’ensemble des fonctions :x 7→1 + λearctan xλ RD. CransacAnalyse

Page 70 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoient a, b1, b2 : I →K des fonctions continues.Si f1 est solution sur I de y ′ + aty = b1t et f2 est solution sur I dey ′ + aty = b2t alors pour tout λ, µ K, λf1 + µf2 est solution sur I dey ′ + aty = λb1 + µb2D. CransacAnalyse

Page 71 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoient a, b1, b2 : I →K des fonctions continues.Si f1 est solution sur I de y ′ + aty = b1t et f2 est solution sur I dey ′ + aty = b2t alors pour tout λ, µ K, λf1 + µf2 est solution sur I dey ′ + aty = λb1 + µb2RemarqueCette proposition peut être utile dans la pratique : pour résoudre uneéquation différentielle linéaire, on peut éventuellement scinder le secondmembre afin de se ramener à plusieurs équations différentielles dont lesseconds membres seront plus simples à traiter.D. CransacAnalyse

Page 72 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesProblème de CauchyDéfinitionÉtant données deux fonctions a et b continues sur un intervalle I et àvaleurs dans K, on considère l’équation différentielleE :y ′ + aty = bt.Le problème de Cauchy associé au couple t0, y0 où t0 I, y0 K estla recherche des solutions y de E vérifiant la condition initiale oucondition de Cauchy y t0 = y0.PropositionOn considère deux fonctions a et b continues sur un intervalle I et à valeursdans K, on considère l’équation différentielley ′ + aty = bt.Pour t0, y0 I × K, le problème de Cauchy associé à la condition initialey t0 = y0 admet une unique solution sur I.D. CransacAnalyse

Page 73 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Soit A une primitive de la fonction continue a, qui vérifie donc A′ = a.Puisque eAt ne s’annule pas sur I, on a une équation équivalente enmultipliant y ′ + aty = bt par eAt :t I,eAt y ′ + aty = ddteAtyt= eAtbt.Compte tenu de la condition y t0 = y0, ceci équivaut par intégration det0 à t à :eAtyt eAt0y0 =Z tt0eAuf uduSoit encore si A désigne plus particulièrement la primitive de a s’annulanten t0 :yt = eAty0 +Z tt0eAuf uduD. CransacAnalyse

Page 74 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRemarque On a montré en particulier dans la preuve de ce résultat quetoute solution de E est bien de la forme t 7→λteAt, ce qui justifiela méthode de variation de la constante.Exemple. Résoudre y ′ 12x y = x sur I = R+, avec pour conditioninitiale y1 = 1.Solution Il s’agit d’une équation linéaire du première ordre à coefficientcontinus sur I.La solution générale de son équation homogène associée est doncx 7→λ exp12 ln x= λx, λ R.Par la méthode de la variation de la constante, on cherche une solutionparticulière de E sous la forme x 7→λxx, avec λ dérivable sur I.En reportant dans l’équation, il vient λ′xx = x donc λ′x = 1 puis onpeut prendre λ : x 7→x et une solution particulière de E est x 7→xx.La solution générale de E est donc x 7→λ + xx, λ R.Pour trouver l’unique solution du problème considéré, il faut résoudrel’équation λ + 1 = 1 i.e. λ = 0.Ainsi la solution du problème de Cauchy considéré est x 7→xx.D. CransacAnalyse

Page 75 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionOn considère deux fonctions a et b continues sur un intervalle I et àvaleurs dans R, on considère l’équation différentielley ′ + aty = bt.Une seule courbe intégrale définie sur I passe par tout pointt0, y0 I × R.D. CransacAnalyse

Page 76 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionOn considère deux fonctions a et b continues sur un intervalle I et àvaleurs dans R, on considère l’équation différentielley ′ + aty = bt.Une seule courbe intégrale définie sur I passe par tout pointt0, y0 I × R.Deux telles courbes intégrales distinctes ne peuvent se couper dansI × R.D. CransacAnalyse

Page 77 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.Le premier point est une reformulation du résultat précédent.Montrons le deuxième point : supposons que deux courbes intégrales secoupent en M0 t0, y0.Notons y1 et y2 les solutions de E sur I correspondantes. Elles sontdonc toutes deux solutions du même problème de Cauchy : Ey t0 = y0Par unicité, on a donc y1 = y2.Remarque. La seule solution de E0 : y ′ + aty = 0 telle quey t0 = 0 est la fonction nulle.En effet, la fonction nulle est solution de E0.Et par la proposition précédente, c’est l’unique solution telle quey t0 = 0.En particulier, la seule solution de E0 qui s’annule est la fonction nulle.D. CransacAnalyse

Page 78 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesOn revient sur le cas des équations différentielles linéaires du premierordre non normalisées :aty ′ + bty = ctoù a, b, c sont continues sur un intervalle I, mais où a est susceptible des’annuler sur I. Nous allons voir sur des exemples que les résultatsprécédents, comme le théorème de Cauchy, peuvent alors tomber endéfaut. Supposons par exemple que a s’annule en un unique point t0 deI. On procèdera alors comme suit.D. CransacAnalyse

Page 79 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesMéthode pour étudier les raccordementsPour résoudre E sur I :On commence par résoudre l’équation sur les intervallesIg = , t0 I et Id = t0, +I où a ne s’annule pas.On cherche ensuite une solution f de E sur I. On remarque que fest solution de E sur Ig.On en connait donc la forme explicite f = fg.De même sur l’intervalle Id, on connait la forme fd de f .La fonction f étant solution de E sur I, la fonctiont I\ t0 7→ fgt si t Igfdt si t Iddoit être :prolongeable par continuité en t0,de classe C1 sur I c’est à dire en t0 solution de l’équation différentielle sur I c’est à dire en t0 .On va voir sur des exemples que ces conditions sont satisfaites danscertains cas, pas dans d’autres.D. CransacAnalyse

Page 80 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de E : ty ′ 2y = t3 sur R.SolutionC’est une équation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients variableset continus, non normalisée.On commence par la résoudre sur des intervalles sur lesquels t ̸= 0, soitsur R+ et sur R.On montre alors alors que :SR+ =t →λt2 + t3, λ Ret SR=t →µt2 + t3, µ R.On cherche à présent les solutions de E sur R. Soit f une solution del’équation sur R. Elle est donc solution sur R+ et sur R, et on a :λ R, f t = λt2 + t3 pour tout t 0,µ R, f t = µt2 + t3 pour tout t 0.D. CransacAnalyse

Page 81 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPrenons t = 0 dans l’équation, on obtient : 0 × f ′0 2f 0 = 0, soitf 0 = 0.La fonction f doit être continue et dérivable en 0 . D’où :limx→0+ f t = f 0 = limx→0f tIci on a :limx→0+ λt2 + t3 = 0 etlimx→0µt2 + t3 = 0.Donc cette condition est bien satisfaite pour tout λ, µ R.D. CransacAnalyse

Page 82 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesOn étudie la dérivabilité :limt→0+f t f 0t= limt→0+λt2 + t3t= 0limt→0f t f 0t= limt→0µt2 + t3t= 0Là encore, cette condition est bien satisfaite pour tout λ, µ R.Finalement, on obtient que les solutions de E sur R sont les fonctionsde la forme :t 7→ λt2 + t3 si t 0µt2 + t3 si t 0pour tout λ, µ R.On représente plusieurs de ces solutions :D. CransacAnalyse

Page 83 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRemarque Le problème de CauchyEy0 = 0a donc une infinité desolutions.À l’opposé, le problème de Cauchy Ey0 = 1n’a aucune solution.On voit ici que le théorème de Cauchy tombe en défaut en t = 0, là où lecoefficient t de y ′ s’annule.D. CransacAnalyse

Page 84 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple. Résoudre 1 ty ′ y = t sur R.SolutionC’est une équation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients variableset continus, non normalisée.On commence par la résoudre sur des intervalles sur lesquels 1 t ̸= 0,soit sur 1, + et sur , 1.On montre alors alors que :S1,+ =t →λ1 t +t221 t, λ RetS,1 =t →µ1 t +t221 t, λ RD. CransacAnalyse

Page 85 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesOn cherche à présent les solutions de E sur R.Soit f l’une d’elles.On a alors :λ R, f t =λ1 t +t221 t pour tout t 1µ R, f t =µ1 t +t221 t pour tout t 1Prenons t = 1 dans l’équation, on obtient : 0 × f ′1 f 1 = 1, soitf 1 = 1.La fonction f doit être continue et dérivable en 1 :limx→1+λ1 t +t221 t =+si λ 1/2si λ 1/21 si λ = 1/2.Ainsi on a nécessairement λ = 1/2.De même, µ = 1/2. On obtient alors f t = 12 t2 sur R. Enparticulier f est bien dérivable sur R.D. CransacAnalyse

Page 86 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesFinalement, on obtient qu’il y a une unique solutions de E sur R, quiest :t 7→12 t2Le problème de Cauchy Ey1 = 0n’a pas de solution dans ce cas.Le problème de Cauchy Ey1 = 1a pour sa part une uniquesolution.D. CransacAnalyse

Page 87 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentiellesdu premier ordreà coefficient constantD. CransacAnalyse

Page 88 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentielles linéaires à coefficientconstantPropositionSoit une équation différentielle linéaireEy ′ + ay = b avec a R et b RL’ensemble des solutions estf : R →R, λ Rx R, f x = ba + λeaxPour tout x0, y0 R2, il existe une unique solution telle que f x0 = y0D. CransacAnalyse

Page 89 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentielles linéaires à coefficientconstantPropositionSoit une équation différentielle linéaireEy ′ + ay = b avec a R et b RL’ensemble des solutions estf : R →R, λ Rx R, f x = ba + λeaxPour tout x0, y0 R2, il existe une unique solution telle que f x0 = y0Remarque Si b = 0f : R →R, λ Rx R, f x = λeaxD. CransacAnalyse

Page 90 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDémonstration.On cherche une solution particulière constante :0 + af0x = b ⇔f0x = baOn connaît les solutions de l’équation homogène :fHx = λeR xx0 atdt = λeaxOn peut donc conclure que les solutions de l’équation sont f = f0 + fHDonc l’ensemble des solutions est bienf : R →R, λ Rx R, f x = ba + λeaxOn résout f x0 = y0 pour obtenirf x = ba +y0 baeaxx0D. CransacAnalyse

Page 91 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesMéthode de résolution RappelPour résoudreEy ′ + axy = bxavec a et b fonctions continues sur un intervalle Ion procède en général en deux étapes :Etape 1 : on résout l’équation homogène, obtenue en remplaçant lesecond membre par zéro,EHy ′ + axy = 0la solution générale est alors notée yH.Etape 2 : on cherche une solution particulière yP de l’équationinitiale E.La solution générale de E est alors la somme des deux : y = yH + yP.Elle comporte toujours une constante, qui ne peut être déterminée quepar une condition initiale.D. CransacAnalyse

Page 92 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRecherche de solutions particulièresRechercher des solutions particulièresMéthodeIl faut toujours commencer par rechercher d’éventuelles solutionsévidentes par exemple solution constante aisé car dans ce cas :y ′ = 0.D. CransacAnalyse

Page 93 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRecherche de solutions particulièresRechercher des solutions particulièresMéthodeIl faut toujours commencer par rechercher d’éventuelles solutionsévidentes par exemple solution constante aisé car dans ce cas :y ′ = 0.Si l’on n’en trouve pas, on peut toujours utiliser la méthode devariation de la constante :On part de la solution générale de l’équation homogène et onremplace la constante λ par une fonction λx.D. CransacAnalyse

Page 94 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleD. CransacAnalyse

Page 95 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.D. CransacAnalyse

Page 96 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionD. CransacAnalyse

Page 97 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tD. CransacAnalyse

Page 98 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tEquation différentielle homogèneLes solutions de l’équation homogène sont de la forme :D. CransacAnalyse

Page 99 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tEquation différentielle homogèneLes solutions de l’équation homogène sont de la forme :f t = AeR t1 u1+u dt = Aetln1+t = Aet1 + tD. CransacAnalyse

Page 100 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tEquation différentielle homogèneLes solutions de l’équation homogène sont de la forme :f t = AeR t1 u1+u dt = Aetln1+t = Aet1 + tSolution particulièreD. CransacAnalyse

Page 101 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tEquation différentielle homogèneLes solutions de l’équation homogène sont de la forme :f t = AeR t1 u1+u dt = Aetln1+t = Aet1 + tSolution particulièreOn cherche une solution g de la forme gt = Atet1 + tg ′t = A′tett + 1 + Atett + 1 Atett + 12D. CransacAnalyse

Page 102 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleDéterminer les solutions de t + 1y ′ ty + 1 = 0 sur 1, +.SolutionOn écrit y ′ t1 + t y = 11 + tEquation différentielle homogèneLes solutions de l’équation homogène sont de la forme :f t = AeR t1 u1+u dt = Aetln1+t = Aet1 + tSolution particulièreOn cherche une solution g de la forme gt = Atet1 + tg ′t = A′tett + 1 + Atett + 1 Atett + 12donc t + 1g ′t = A′tet + Atet Atett + 1D. CransacAnalyse

Page 103 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesOn a obtenut + 1g ′t = A′tet + Atet Atett + 1On a donc t + 1g ′t tgt + 1= A′tet + Atet Atett + 1 tAtett + 1+ 1= A′tet + 1Donc A′t = e1 et At = et donc une solution particulière estgt = 11 + tL’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions de la formef t = Aet 1t + 1 , A RD. CransacAnalyse

Page 104 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleExy ′ y = x2 + 1D. CransacAnalyse

Page 105 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleExy ′ y = x2 + 1SolutionOn a vu que la solution de l’équation homogène EH était :yHx = λxD. CransacAnalyse

Page 106 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleExy ′ y = x2 + 1SolutionOn a vu que la solution de l’équation homogène EH était :yHx = λxOn va donc chercher une solution particulière sous la forme :yx = λxxD. CransacAnalyse

Page 107 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleExy ′ y = x2 + 1SolutionOn a vu que la solution de l’équation homogène EH était :yHx = λxOn va donc chercher une solution particulière sous la forme :yx = λxxOn l’injecte dans l’équation différentielle E, ce qui donne :xy ′ y = x2 + 1 ⇐⇒x λ′xx + λx λxx = x2 + 1⇔λ′xx2 = x2 + 1 ⇐⇒λ′x = 1 + 1x2D. CransacAnalyse

Page 108 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleExy ′ y = x2 + 1SolutionOn a vu que la solution de l’équation homogène EH était :yHx = λxOn va donc chercher une solution particulière sous la forme :yx = λxxOn l’injecte dans l’équation différentielle E, ce qui donne :xy ′ y = x2 + 1 ⇐⇒x λ′xx + λx λxx = x2 + 1⇔λ′xx2 = x2 + 1 ⇐⇒λ′x = 1 + 1x2Une solution particulière sera obtenue en prenant :λx =Z 1 + 1x2dx = x 1x ,D. CransacAnalyse

Page 109 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesUne solution particulière sera obtenue en prenant :λx =Z 1 + 1x2dx = x 1x ,D. CransacAnalyse

Page 110 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesUne solution particulière sera obtenue en prenant :λx =Z 1 + 1x2dx = x 1x ,ce qui donne comme solution particulière de l’équation différentielle :yPx = λxx =x 1xx = x2 1D. CransacAnalyse

Page 111 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesUne solution particulière sera obtenue en prenant :λx =Z 1 + 1x2dx = x 1x ,ce qui donne comme solution particulière de l’équation différentielle :yPx = λxx =x 1xx = x2 1La solution générale de l’équation différentielle avec second membre estalors donnée par en prolongeant en 0 :D. CransacAnalyse

Page 112 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesUne solution particulière sera obtenue en prenant :λx =Z 1 + 1x2dx = x 1x ,ce qui donne comme solution particulière de l’équation différentielle :yPx = λxx =x 1xx = x2 1La solution générale de l’équation différentielle avec second membre estalors donnée par en prolongeant en 0 :yx = yPx + yHx = x2 1 + λx,avec λ réel quelconque.D. CransacAnalyse

Page 113 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesAutres Exemples1y ′ + 4y = 02y ′ + 2xy = 0Solution générale : yHx = λex23xy ′ + 2y = 04xy ′ + 5y = 0Solution Générale : yHx = λe10xD. CransacAnalyse

Page 114 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplesy ′ + 2xy = 6x2ex2SolutionOn sait que la solution générale de l’équation homogène est :yHx = λex2On va chercher une solution particulière sous la forme :yx = λxex2On a alors :y ′x = λ′xex2 + λx2xex2y solution de E2 ⇐⇒y ′ + 2xy = 6x2ex2⇐⇒λ′xex2 + λx2xex2 + 2xλxex2 = 6x2ex2⇐⇒λ′xex2 = 6x2ex2⇐⇒λ′x = 6x2D. CransacAnalyse

Page 115 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesOn peut donc prendre λx = 2x3 ⇒ypx = λxex2 = 2x3ex2La solution générale de E2 est donc :yx = yPx + yHx = yx = 2x3ex2 + λex2 =2x3 + λex2yx =2x3 + λex2avec λ réel déterminé par une éventuelle condition initiale.D. CransacAnalyse

Page 116 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplesxy ′ + 5y = 10xD. CransacAnalyse

Page 117 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDans certains cas, il y a des méthode plus rapides que celle de lavariation de la constante :Proposition Solution particulière avec second membreexponentielle-polynômeOn considère un nombre a K, une fonction polynomiale P àcoefficients dans K et l’équation différentielle linéaire :y ′ + ay = eλtPtAlors l’équation E a au moins une solution particulière de la formet →eλttmQtoù Q est une fonction polynomiales à coefficients dans K telle quedegQ = degP et :m = 0 si λ + a ̸= 0.m = 1 si λ + a = 0.D. CransacAnalyse

Page 118 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.D. CransacAnalyse

Page 119 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.D. CransacAnalyse

Page 120 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etD. CransacAnalyse

Page 121 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etPar superposition, on résouty ′ + y = 2etE1 et y ′ + y = 2etE2D. CransacAnalyse

Page 122 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etPar superposition, on résouty ′ + y = 2etE1 et y ′ + y = 2etE2Pour E1, on cherche f t = λetOn résout f ′t + f t = 2e2 ⇔2λet = 2et ⇔λ = 1Donc t 7→et est une solution de E1D. CransacAnalyse

Page 123 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etPar superposition, on résouty ′ + y = 2etE1 et y ′ + y = 2etE2Pour E1, on cherche f t = λetOn résout f ′t + f t = 2e2 ⇔2λet = 2et ⇔λ = 1Donc t 7→et est une solution de E1Pour E2, on cherche f t = αtetOn résout f ′t + f t = 2et ⇔α αt + αtet = 2et ⇔α = 2Donc t 7→2tet est une solution de E2D. CransacAnalyse

Page 124 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etPar superposition, on résouty ′ + y = 2etE1 et y ′ + y = 2etE2Pour E1, on cherche f t = λetOn résout f ′t + f t = 2e2 ⇔2λet = 2et ⇔λ = 1Donc t 7→et est une solution de E1Pour E2, on cherche f t = αtetOn résout f ′t + f t = 2et ⇔α αt + αtet = 2et ⇔α = 2Donc t 7→2tet est une solution de E2L’ensemble des solutions de l’équation E est l’ensemble des fonctions f tellesque :D. CransacAnalyse

Page 125 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple.Déterminer les solutions de l’équation différentielle y ′ + y = 4 chtE.SolutionL’équation s’écrit :y ′ + y = 2et + 2etPar superposition, on résouty ′ + y = 2etE1 et y ′ + y = 2etE2Pour E1, on cherche f t = λetOn résout f ′t + f t = 2e2 ⇔2λet = 2et ⇔λ = 1Donc t 7→et est une solution de E1Pour E2, on cherche f t = αtetOn résout f ′t + f t = 2et ⇔α αt + αtet = 2et ⇔α = 2Donc t 7→2tet est une solution de E2L’ensemble des solutions de l’équation E est l’ensemble des fonctions f tellesque :f x = λet + et + 2tetλ RD. CransacAnalyse

Page 126 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesRechercher des solutions particulièresPour une équation du typeaty ′ + bty = ctEn général on imite le second membre :Si ct est un polynôme, rechercher une solution particulière demême degré.Si ct est une fonction trigonométrique, rechercher une solutionparticulière trigonométrique : α cos ωt + β sin ωtSi ct est solution de l’équation homogène associée, rechercher unesolution particulière αtctD. CransacAnalyse

Page 127 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple 15.y ′ 2y = t2 3t + 1On pose yPt = αt2 + βt + γ et on cherche les coefficients α, β et γ.yPt = αt2 + βt + γdoncy ′Pt = 2αt + βComme on veut que yP soit solution de 2, on cherche α, β et γ telsque :y ′P 2yP = t2 3t + 1 ⇔2αt + β 2αt2 + βt + γ= t2 3t + 1⇔2αt2 + 2α βt + β 2γ = t2 3t + 1⇔2α = 12α 2β= 3β 2γ= 1⇔α =12β =1γ =0D. CransacAnalyse

Page 128 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple 16.y ′ 2y = e8tOn pose yPt = αe8t et on cherche le coefficient α.yPt = αe8tdoncy ′Pt = 8αe8tComme on veut que yP soit solution de 3, on cherche α tel que :y ′P 2yP = e8t ⇔8αe8t 2αe8t = e8t⇔6αe8t = e8t⇔6α = 1⇔α = 16Donc yPt = 16e8t est une solution particulière de l’équation 3.D. CransacAnalyse

Page 129 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple 17.y ′ 2y = cos3tOn pose yPt = α cos3t + β sin3t et on cherche les coefficients α etβ.yPt = α cos3t + β sin3tdoncy ′Pt = 3β cos3t 3α sin3tComme on veut que yP soit solution de 4, on cherche α et β tels que :y ′P 2yP = cos3t ⇔3β cos3t 3α sin3t 2α cos3t + β sin3t = co⇔3β 2α cos3t 3α + 2β sin3t = cos3t⇔3β 2α = 13α + 2β = 0⇔α = 213β = 313Donc yPt = 213 cos3t + 313 sin3t est une solution particulière deD. CransacAnalyse

Page 130 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemple 18.y ′ 3y = e3tLes solutions de l’équation homogène associée y ′ 3y = 0 sont de laforme yHt = ke3t pour tout k R. On remarque donc que le secondmembree3tde l’équation différentielle y ′ 3y = e3t est solution del’équation homogène associée. On pose yPt = αte3t et on cherche lecoefficient α.yPt = αte3tdoncy ′Pt = αe3t + 3αte3tComme on veut que yP soit solution de 5, on cherche α tel que :y ′P 3yP = e3t ⇔αe3t + 3αte3t 3αte3t = e3t⇔αe3t = e3t⇔α = 1Donc yPt = te3t est une solution particulière de 5.D. CransacAnalyse

Page 131 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentiellesdu premier ordreà variables séparablesD. CransacAnalyse

Page 132 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionSoit deux intervalles I et J.On note y les fonction dérivables définies et dérivables sur I à valeur dansJ.On appelle équation différentielle à variables séparables, toute équationqui peut se mettre sous la forme :y ′ = gthyEavec g fonction continue sur I et h fonction continue sur J.D. CransacAnalyse

Page 133 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionSoit deux intervalles I et J.On note y les fonction dérivables définies et dérivables sur I à valeur dansJ.On appelle équation différentielle à variables séparables, toute équationqui peut se mettre sous la forme :y ′ = gthyEavec g fonction continue sur I et h fonction continue sur J.PropositionSi ha = 0 alors yt = a est une solution constante de E.D. CransacAnalyse

Page 134 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionSoit deux intervalles I et J.On note y les fonction dérivables définies et dérivables sur I à valeur dansJ.On appelle équation différentielle à variables séparables, toute équationqui peut se mettre sous la forme :y ′ = gthyEavec g fonction continue sur I et h fonction continue sur J.PropositionSi ha = 0 alors yt = a est une solution constante de E.Exemple Résoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0Ici gt = 1t et hy = 2yIci h0 = 0 donc yt = 0 est une solution de l’équation.D. CransacAnalyse

Page 135 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoit deux intervalles I et J.On note y les fonction dérivables définies et dérivables sur I à valeur dansJ.Soit l’équation différentielley ′ = gthyEavec g fonction continue sur I et h fonction continue sur J.Si h ne s’annule pas sur J et si K est une primitive de 1h et G uneprimitve de g alorsy ′ = gthy ⇔Ky = Gt + A, A RD. CransacAnalyse

Page 136 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesPropositionSoit deux intervalles I et J.On note y les fonction dérivables définies et dérivables sur I à valeur dansJ.Soit l’équation différentielley ′ = gthyEavec g fonction continue sur I et h fonction continue sur J.Si h ne s’annule pas sur J et si K est une primitive de 1h et G uneprimitve de g alorsy ′ = gthy ⇔Ky = Gt + A, A RDémonstration.y ′ = gthy ⇔y ′hy = gt ⇔Ky = Gt + A, A RD. CransacAnalyse

Page 137 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0D. CransacAnalyse

Page 138 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionD. CransacAnalyse

Page 139 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tD. CransacAnalyse

Page 140 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tEn intégrant :D. CransacAnalyse

Page 141 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tEn intégrant :12 ln y = ln t + A= ln t + ln a= ln at en posant ln a = AD. CransacAnalyse

Page 142 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tEn intégrant :12 ln y = ln t + A= ln t + ln a= ln at en posant ln a = AOn a donc ln y = 2 ln at = lnat2D. CransacAnalyse

Page 143 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tEn intégrant :12 ln y = ln t + A= ln t + ln a= ln at en posant ln a = AOn a donc ln y = 2 ln at = lnat2donc y = at2 donc y = bt2 b RD. CransacAnalyse

Page 144 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExempleRésoudre l’équation y ′ = 2yt , t 0SolutionSi y ̸= 0,y ′2y = 1tEn intégrant :12 ln y = ln t + A= ln t + ln a= ln at en posant ln a = AOn a donc ln y = 2 ln at = lnat2donc y = at2 donc y = bt2 b RL’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions de la formef t = at2, a RD. CransacAnalyse

Page 145 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesEquations différentielleshomogènesdu premier ordreD. CransacAnalyse

Page 146 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionUne équation différentielle du premier ordre est dite homogène si ellepeut s’écrire sous la formedydx = hyxoù h est une fonction continueD. CransacAnalyse

Page 147 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionUne équation différentielle du premier ordre est dite homogène si ellepeut s’écrire sous la formedydx = hyxoù h est une fonction continueRésolution d’une équation homogèneEn posant le changement de fonction z = yx , on obtient une équation àvariables séparées.D. CransacAnalyse

Page 148 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesDéfinitionUne équation différentielle du premier ordre est dite homogène si ellepeut s’écrire sous la formedydx = hyxoù h est une fonction continueRésolution d’une équation homogèneEn posant le changement de fonction z = yx , on obtient une équation àvariables séparées.Démonstration.On a xz = y donc z + xz′ = y ′ doncy ′ = hyz⇔z + xz′ = hz ⇔z′hz z = 1xD. CransacAnalyse

Page 149 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2D. CransacAnalyse

Page 150 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zD. CransacAnalyse

Page 151 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zx2y ′ + y 2 = 2x2⇔D. CransacAnalyse

Page 152 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zx2y ′ + y 2 = 2x2⇔x2z′x + z + z2x2 = 2x2⇔D. CransacAnalyse

Page 153 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zx2y ′ + y 2 = 2x2⇔x2z′x + z + z2x2 = 2x2⇔xz′ + z + z2 = 2⇔D. CransacAnalyse

Page 154 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zx2y ′ + y 2 = 2x2⇔x2z′x + z + z2x2 = 2x2⇔xz′ + z + z2 = 2⇔xz′ = 2 z z2⇔D. CransacAnalyse

Page 155 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènesExemplex2y ′ + y 2 = 2x2Solutiony ′ = y 2x2 + 2On pose z = yx donc y = zx donc y ′ = z′x + zx2y ′ + y 2 = 2x2⇔x2z′x + z + z2x2 = 2x2⇔xz′ + z + z2 = 2⇔xz′ = 2 z z2⇔z′2 z z2 = 1xOn décompose la fraction en éléments simples :12 z z2 =11 zz + 2 =131 z +13z + 2D. CransacAnalyse

Page 156 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔D. CransacAnalyse

Page 157 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔D. CransacAnalyse

Page 158 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔z′13 ln 1 z + 13 ln z + 2= 1x⇔D. CransacAnalyse

Page 159 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔z′13 ln 1 z + 13 ln z + 2= 1x⇔13 ln2 + z1 z = ln ax⇔lnz + 21 z = 3 ln ax⇔lnz + 21 z = ln ax3⇔z + 21 z = ax3, a R+⇔z + 21 z = ax3, a R⇔z + 2 = ax31 z⇔z1 + ax3= ax3 2⇔D. CransacAnalyse

Page 160 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔z′13 ln 1 z + 13 ln z + 2= 1x⇔13 ln2 + z1 z = ln ax⇔lnz + 21 z = 3 ln ax⇔lnz + 21 z = ln ax3⇔z + 21 z = ax3, a R+⇔z + 21 z = ax3, a R⇔z + 2 = ax31 z⇔z1 + ax3= ax3 2⇔z = 2 + a3x3a3x3 1D. CransacAnalyse

Page 161 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔z′13 ln 1 z + 13 ln z + 2= 1x⇔13 ln2 + z1 z = ln ax⇔lnz + 21 z = 3 ln ax⇔lnz + 21 z = ln ax3⇔z + 21 z = ax3, a R+⇔z + 21 z = ax3, a R⇔z + 2 = ax31 z⇔z1 + ax3= ax3 2⇔z = 2 + a3x3a3x3 1L’ensemble des solutions est l’ensemble de fonctions de la formeD. CransacAnalyse

Page 162 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsDéfinitionsEquation différentielles linéaires du premier ordre quelconqueProblème de CauchyEquation différentielles linéaires à coefficient constantEquations à variables séparablesEquations homogènes⇔z′2 z z2 = 1x⇔z′131 z +13z + 2= 1x⇔z′13 ln 1 z + 13 ln z + 2= 1x⇔13 ln2 + z1 z = ln ax⇔lnz + 21 z = 3 ln ax⇔lnz + 21 z = ln ax3⇔z + 21 z = ax3, a R+⇔z + 21 z = ax3, a R⇔z + 2 = ax31 z⇔z1 + ax3= ax3 2⇔z = 2 + a3x3a3x3 1L’ensemble des solutions est l’ensemble de fonctions de la formef x = x 2 + Ax3Ax3 1, A RD. CransacAnalyse

Page 163 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesÉquation différentielle linéaire du secondordre à coefficients constantsD. CransacAnalyse

Page 164 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesOn désigne toujours par K l’ensemble des réels R ou des complexes C.DéfinitionSoient I un intervalle de R, a, b, c Ka ̸= 0, et f : I →K une fonctioncontinue. On appelle équation différentielle linéaire du second ordre àcoefficients constants :ay ′′ + by ′ + cy = f tLa fonction f s’appelle le second membre. On appelle solution sur I deE toute fonction y : I →K deux fois dérivable sur I telle que :t I, ay ′′t + by ′t + cyt = f tLa courbe représentative d’une solution y sur I est alors appelée courbeintégrale sur I.Remarque Soit y une solution de E sur I, alors f est de classe C2 surI. En effet, elle est supposée deux fois dérivable sur I.De plus f ′′ est continue sur I puisque y ′′t = 1af t ba y ′t cayt.D. CransacAnalyse

Page 165 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesExemples d’équations différentielles linéaires du second ordre.La tension U aux bornes d’un condensateur de capacité C en sérieavec une résistance R, une bobine d’inductance L et un générateurde force électromotrice Et vérifie l’équation différentielle :LCU′′ + RCU′ + U = EtL’intensité I dans un circuit LC constitué d’un condensateur decapacité R et d’une bobine d’inductance L vérifie l’équationdifférentielle :I ′′ + 1LC I = 0D. CransacAnalyse

Page 166 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDéfinitionSoient I un intervalle de R, a, b, c Ka ̸= 0, et f : I →K une fonctioncontinue. On considère l’équation différentielle linéaire suivante :ay ′′ + by ′ + cy = f tOn appelle équation différentielle homogène sans second membreassociée à E l’équation :ay ′′ + by ′ + cy = 0PropositionL’ensemble des solutions S0 de E0 est stable par combinaison linéaire,c’est à dire :λ, µ K, f , g S0, λf + µg S0PropositionPour r K, la fonction t 7→ert est solution de E0 sur R si etseulement si ar 2 + br + c = 0.D. CransacAnalyse

Page 167 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDéfinitionOn appelle équation caractéristique associée à E l’équationar 2 + br + c = 0 d’inconnue r C.D. CransacAnalyse

Page 168 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesProposition Résolution de l’équation homogène dans COn considère trois nombres a, b, c C où a ̸= 0, et l’équationdifférentielle :ay ′′ + by ′ + c = 0Soit = b2 4ac le discriminant de l’équation caractéristique.Si ̸= 0, l’équation caractéristique admet deux racines complexesdistinctes r et r ′. Les solutions complexes de E0 sur R sont lesfonctions de la forme t 7→λer1t + µer2t, λ, µ C2.S0 =nt R 7→λert + µer ′t; λ, µ C2oD. CransacAnalyse

Page 169 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesProposition Résolution de l’équation homogène dans COn considère trois nombres a, b, c C où a ̸= 0, et l’équationdifférentielle :ay ′′ + by ′ + c = 0Soit = b2 4ac le discriminant de l’équation caractéristique.Si ̸= 0, l’équation caractéristique admet deux racines complexesdistinctes r et r ′. Les solutions complexes de E0 sur R sont lesfonctions de la forme t 7→λer1t + µer2t, λ, µ C2.S0 =nt R 7→λert + µer ′t; λ, µ C2oSi = 0 : l’équation caractéristique admet une racine doubler = b2a C.Les solutions complexes de E0 sur R sont les fonctions de la formet 7→λ + µtert, λ, µ C2.S0 =t R 7→λ + µtert; λ, µ C2D. CransacAnalyse

Page 170 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.Soit r une solution de l’équation caractéristique qui existe toujours sur C.La fonction t 7→ert est solution de E0 sur R.Posons maintenant yt = utert avec u une fonction de classe C2 sur R.On montre alors que y est solution de E0 sur R si et seulement si u estsolution de l’équation :au′′t + 2ar + bu′t +ar 2 + br + cut = 0.Puisque ar 2 + br + c = 0 et r + r ′ = ba , soit 2ar + b = a r r ′,celle-ci s’écrit :u′′t + r r ′ u′t = 0.... suite ...D. CransacAnalyse

Page 171 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.On obtient ici une équation différentielle linéaire d’ordre 1 en u′Si = 0, alors r = r ′ et l’équation devient u′′t = 0, d’où :λ, µ C :ut = λ + µtetyt = λ + µtert.Si ̸= 0, alors r et r ′ sont distinctes, et la résolution de l’équationdonne u′t = λerr ′t avec λ C, et donc :λ, µ C :ut = λerr ′t + µetyt = λert + µer ′tD. CransacAnalyse

Page 172 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesProposition Résolution de l’équation homogène dans ROn considère trois nombres a, b, c R où a ̸= 0, et l’équationdifférentielle :ay ′′ + by ′ + c = 0Soit = b2 4ac le discriminant de l’équation caractéristique.Si 0 : l’équation caractéristique admet deux racines réellesdistinctes r et r ′. Les solutions de E0 sont alors les fonctions de laforme : t 7→λert + µer ′t, λ, µ R2.Si = 0 : l’équation caractéristique admet une racine double r R.La solution générale de E0 est x 7→λ + µxerx, λ, µ R2.Si 0 : l’équation caractéristique admet deux solutionscomplexes non réelles α ± iβ, avec α, β R2.La solution générale de E estx 7→eαxλ cosβx + µ sinβx, λ, µ R2.Remarque. On peut aussi écrire x 7→eαxA cosβx + φ, avecA, φ R2D. CransacAnalyse

Page 173 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.Notons d’abord que les solutions à valeurs réelles de cette équation sontdes solutions à valeurs complexes caractérisées par le fait qu’elles sontégales à leur conjugué. On a donc selon le signe du discriminant :si 0, l’équation caractéristique a deux racines distinctes r r ′.Les solutions complexes sont les fonctions de la forme :t 7→λert + µer ′tavecλ, µ C2. Ces solutions sont réelles si pour tout t Rλert + µer ′t = ¯λert + ¯µer ′tsoit si λ = ¯λ et µ = ¯µ quitte à prendre t = 0 ou à faire t →+.suite ...D. CransacAnalyse

Page 174 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.Inversement si λ = ¯λ et µ = ¯µ, l’égalité précédente est bien vérifiée. Lessolutions réelles dans ce cas sont donc les fonctions de la formet 7→λert + µer ′tavecλ, µ R.On traite le cas = 0 de façon similaire.si 0, l’équation caractéristique admet deux racines complexesconjuguées α ± iβ. Les solutions complexes sont les fonctions de laforme :t 7→λeα+iβt + µeαiβtavecλ, µ C2. Ces solutions sont réelles si pour tout t Rλeα+iβt + µeαiβt = ¯λeαiβt + ¯µeα+iβtsoit si λ = ¯µ quitte à prendre t = 0 ou t = π/2β .suiteD. CransacAnalyse

Page 175 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.Inversement si λ = ¯µ, l’égalité précédente est bien vérifiée. Si on noteλ = a + ib, les solutions réelles sont donc les fonctions de la forme aveca, b R t 7→a + ibeα+iβt + a ibeαiβt = eαt2a cosβt 2b sinβtEnfin :En posant φ tel que cos ϕ =aa2 + b2 et sin ϕ =ba2 + b2On aa cosβt b sinβt = a2 + b2cos β cos ϕ sin β sin ϕ= a2 + b2 cosβ + ϕD. CransacAnalyse

Page 176 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesRemarque On dit que l’ensemble des solutions de E0 forme un planvectoriel, puisque celles-ci sont combinaisons linéaires de deux fonctionsnon proportionnelles que ce soit dans le cas réel ou complexe.Exemple. Déterminer les solutions réelles et complexes de l’équationdifférentielle y ′′ + y ′ + y = 0, et montrer qu’elles tendent vers 0 en +.D. CransacAnalyse

Page 177 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesPropositionSoient I un intervalle de R, a, b, c Ka ̸= 0, et f : I →K une fonctioncontinue. On considère l’équation différentielle :ay ′′ + by ′ + cy = f tAlors toute solution de E s’obtient en ajoutant à une solutionparticulière yP de E une solution de l’équation homogène associée E0.Ainsi l’ensemble S des solutions de E satisfait :S = yp + S0RemarquePour obtenir l’ensemble des solutions de E, il faudra doncdéterminer une solution particulière de E, et lui ajouter l’ensembledes solutions de E0 dont on a vu la forme.L’ensemble S est donc la somme d’un point yp et de combinaisonslinéaires de deux fonctions non proportionnelles. On dit alors que Sest un plan affine.D. CransacAnalyse

Page 178 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesProposition Principe de superpositionSoient I un intervalle de R, a, b, c Ka ̸= 0, et f1, f2 : I →K desfonctions continues sur I et les équations différentielles :E1 : ay ′′ + by ′ + cy = f1tetE2 : ay ′′ + by ′ + cy = f2tSi y1 est solution sur I de E1 , y2 est solution sur I de E2, alors pourtout λ, µ K, λy1 + µy2 est solution sur I de :ay ′′ + by ′ + cy = λf1 + µf2.D. CransacAnalyse

Page 179 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesProposition Solution particulière avec second membreexponentiel-polynômeOn considère des nombres a, b, c, λ K où a ̸= 0 , une fonctionpolynomiale P à coefficients dans K et l’équation différentielle linéaire :ay ′′ + by ′ + c = eλtPt.Alors l’équation E a au moins une solution particulière de la formet 7→eλttmQtoù Q est une fonction polynomiales à coefficients dans K telle quedegQ = degP et :m = 0 si λ n’est pas racine du polynôme caractéristiquem = 1 si λ est racine simple du polynôme caractéristiquem = 2 si λ est racine double du polynôme caractéristiqueD. CransacAnalyse

Page 180 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesExemple.Déterminer les solutions réelles de E : y ′′ 3y ′ + 2y = xe2x.Solutions L’équation caractéristique de E est r 2 3r + 2 = 0, dont lessolutions sont 1 et 2 . Ainsi la solution générale de l’équation homogèneassociée à E estx 7→λe2x + µex, λ, µ R2Comme 2 est solution simple de l’équation caractéristique, on chercheune solution particulière sous la forme y : x 7→xQxe2x, avec Qfonction polynomiale de degré 1 , donc il existe a, b R2 telles queQx = ax + b.y est deux fois dérivable comme produit de fonctions qui le sont, ety ′x = 2ax + be2x + 2ax2 + bxe2x=2ax2 + 2bx + 2ax + be2xpuisy ′′x = 4ax + 2b + 2ae2x + 22ax2 + 2bx + 2ax + be2x=4ax2 + 4bx + 8ax + 4b + 2ae2xD. CransacAnalyse

Page 181 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesEn reportant dans E, il vientxex =4ax2 + 4bx + 8ax + 4b + 2ae2x32ax2 + 2bx + 2ax + be2x + 2ax2 + bxe2x= 2axe2x + b + 2ae2xdonc 2a = 1 et b + 2a = 0 par unicité des coefficients d’un polynôme,i.e. a = 12 et b = 1.Une solution particulière est donc x 7→12x2 xe2x et la solutiongénérale de E estx 7→12x2 xe2x + λe2x + µex, λ, µ R2D. CransacAnalyse

Page 182 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDéfinitionÉtant donnés trois nombres a, b, c de Ka ̸= 0 et une fonction continuef : I →K, on considère l’équation différentielle :ay ′′ + by ′ + cy = f t.Le problème de Cauchy associé à un triplet t0, y0, y ′0 I × K2 est larecherche des solutions de E vérifiant les deux conditions initialesy t0 = y0, y ′ t0 = y ′0.D. CransacAnalyse

Page 183 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesPropositionPour t0, y0, y ′0 I × K2, le problème de Cauchy associé aux conditionsinitiales y t0 = y0, y ′ t0 = y ′0 admet une solution unique sur I.D. CransacAnalyse

Page 184 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesPropositionOn considère trois nombres a, b, c de Ra ̸= 0, une fonction continuef : I →R et l’équation différentielle :ay ′′ + by ′ + cy = f t.1Une seule courbe intégrale définie sur I passe par le point M0 t0, y0de I × R avec une tangente de pente donnée y ′0 R en ce point.2Deux telles courbes intégrales distinctes ne peuvent se couper dansI × R avec une tangente commune.D. CransacAnalyse

Page 185 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesDémonstration.Le premier point est une reformulation du résultat précédent.Montrons le deuxième point : supposons que deux courbes intégrales secoupent en M0 t0, y0 avec une tangente commune de pente y ′0 R.Notons y1 et y2 les solutions de E sur I correspondantes. Elles sontdonc toutes deux solutions du même problème de Cauchy :Ey t0 = y0y ′ t0 = y ′0Par unicité, on a donc y1 = y2.D. CransacAnalyse

Page 186 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesRemarque La seule solution de E0 : ay ′′ + by ′ + cy = 0 telle quey t0 = y ′ t0 = 0 est la fonction nulle. En effet, la fonction nulle estsolution de E0. Et par la proposition précédente, c’est l’unique solutiontelle que y t0 = y ′ t0 = 0.D. CransacAnalyse

Page 187 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesApplication à la mécaniqueD. CransacAnalyse

Page 188 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesExerciceConsidérons le mouvement d’une masse m suspendue à un ressort verticalde raideur K et de longueur L, et soumise à une force de frottementfluide par exemple en plaçant l’oscillateur dans un liquide visqueux⃗Ff = α⃗v.1En utilisant le principe fondamental de la dynamique, montrer quel’équation du mouvement est régie par l’équation différentielle :z′′ + 2λz′ + ω20z = 0avec2λ = αm le coefficient d’amortissement de l’oscillateurω0 =rkm qui représente sa pulsation propre2On précise les conditions initiales : z0 = 10 et z′0 = 0 c’est àdire qu’on suppose l’oscillateur lâché sans vitesse initiale après avoirtiré d’une longueur 10 à partir de sa position d’équilibre.aAvec λ = 0, ω0 = 1, déterminer l’expression explicite du mouvement.bAvec λ = ω0 = 1, déterminer l’expression explicite du mouvement.D. CransacAnalyse

Page 189 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairescAvec λ = 1, ω0 =5, déterminer l’expression explicite dumouvement.Solution1Si l’origine est en haut du ressort et l’axe vertical orienté vers le bas,la loi fondamentale de la dynamique donne :mz′′ = αz′ Kz L + mg ou mz′′ + αz′ + Kz = KL + mg.Cette équation équation différentielle a un second membre constant,et on vérifie que z0 = L + mgKest solution constante correspondantà l’équilibre.En portant l’origine en z0, i.e. en posant Z = z z0, on obtient :mZ ′′ + αZ ′ + KZ = 0 ou Z ′′ + 2λZ ′ + ω20Z = 0.2Dans tous les cas l’équation caractéristique est r 2 + 2λr + ω20 = 0aAvec λ = 0, ω0 = 1, r1 = iω0 et r2 = iω0La solution de l’équation est zt = Aeiω0t + Beiω0tAvec les conditions initiales : A + B = 10 et A B = 0 doncA = B = 5 donc zt = 5eiω0t + eiω0t = 10 cosω0tD. CransacAnalyse

Page 190 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesbAvec λ = ω0 = 1, r1 = 1 + i2cAvec λ = 1, ω0 =5, déterminer l’expression explicite dumouvement.Interprétation géométrique. Dans ce dernier cas, on observe uncomportement transitoire qui présente quelques oscillationspériodiques avant de retrouver un état stable.3Supposons toujours λ = 1, ω0 =5. On impose à présent àl’extrémité supérieure du ressort un mouvement verticale sinusoïdalede sorte que son ordonnée à l’instant t est f t = 5 cost.Déterminer une expression explicite du mouvement. Déterminer lecomportement asymptotique des solutions état stable.Vocabulaire. Le second membre d’une équation différentielleay ′′ + by ′ + cy = f t est également appelé signal d’entrée et lessolutions de l’équation définiront la réponse du système étudié. Onparle de régime libre si f est la fonction nulle, et de régime forcésinon. Dans le cas d’un oscillateur harmonique amorti en régimelibre, on parle de :régime apériodique quand λ ω0,régime critique quand λ = ω0,D. CransacAnalyse

Page 191 : GénéralitésEquations différentielles du premier ordreÉquation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constantsGénéralitésRésolution de l’équation homogèneRésolution de l’équation avec second membreRésolution avec conditions initialesApplication aux oscillateurs linéairesrégime pseudo-périodique quand λ ω0.D. CransacAnalyse

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