CM5 Mesures produit
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Page 1 : Ingénieurs 1ère année : Mathématiques appliquéesMesure et intégrationCM5 – Mesures produitNisrine FORTIN CAMDAVANT
Page 2 : 1Produit de tribusPavé mesurableProjection canonique et fonctions mesurables2Mesure produitMesure σ-finieMesure produit3Théorème de Fubini4Fonctions à variables séparées
Page 3 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesIntroductionΩ1, T1, µ et Ω2, T2, ν deux espaces mesurés.Étant donnés deux ensembles mesurables A et B respectivement dans Ω1et Ω2, on a en pratiquemesure A × B = µA × νB.La théorie de la mesure nous donne ce résultat.Le théorème de Fubini nous permettra d’intégrer par rapport à unemesure produit et facilitera le calcul des intégrales multiples.3/18
Page 4 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesPavé mesurableSoient Ω1, T1 et Ω2, T2 deux espaces mesurables.DéfinitionOn appelle pavé mesurable tout ensemble A1 × A2 avec Ai Ti, i 1, 2.Remarque : Le complémentaire d’un pavé peut s’écrire comme une union finiede pavés :Ω1 × Ω2\A1 × A2 =Ω1 \ A1×Ω2 \ A2Ω1 \ A1×Ω2Ω1×Ω2 \ A2.PropositionUne union finie de pavés mesurables est égale à une union finie de pavésmesurables disjoints.4/18
Page 5 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesTribu produitOn appelle tribu produit de T1 par T2 la tribu de parties de Ω1 × Ω2engendrée par les pavés mesurables de Ω1 × Ω2. On la note T1 T2.T1 T2 := σA1 × A2;A1 T1,A2 T2:::::::::Remarques ::Le produit de deux tribus n’est pas commutatif. La tribu T1 T2 n’est pasen général égale à T2 T1, tout simplement parce que le produit cartésienn’est pas commutatif :Ω1 × Ω2 ̸= Ω2 × Ω1.Par conséquent le produit de deux mesures que nous allons définir surT1 T2 ne sera pas non plus commutatif.BR2= B R B R. Par récurrence, on peut démontrer à partir durésultat précédent que pour tout n NB Rn = B R . . . B Rzn fois5/18
Page 6 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesProjection canonique et coupePour i = 1, 2, l’applicationπi:Ω1 × Ω2→Ωix1, x27→xiest appelée la projection canonique sur Ωi.La fonction g : Y →Ω1 × Ω2 est F, T1 T2-mesurable si et seulement sii 1, 2, πi ◦g est F, Ti-mesurable.6/18
Page 7 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesPropositionSi A T1 T2 et si x1 Ω1, on appelle coupe de A par rapport à x1, notéeAx1, l’ensemblex2 Ω2,x1, x2 A.On a Ax1 = π2A x1 × Ω2.Soient Ω1, T1, Ω2, T2 et Ω3, T3 trois espaces mesurables.1Si A T1 T2 alors Ax1 T2 pour tout x1 Ω1.2Si f : Ω1 × Ω2 →Ω3 est T1 T2, T3-mesurable, alorsx2 Ω2, x1 7→f x1, x2 est T1, T3-mesurable.x1 Ω1, x2 7→f x1, x2 est T2, T3-mesurable.7/18
Page 8 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesMesure σ-finieDéfinitionSoit Ω, T un espace mesurable, µ : T →0, + une mesure positive, on ditque µ est σ-finie, si1il existe une suite AnnN T telle que SnNAn = X,2µAn +, pour tout n N.Remarque• Une mesure σ-finie peut être de masse totale infinie, par exemple lamesure de Lebesgue.• La mesure de Lebesgue sur R et la mesure de comptage sur N sontσ-finies.8/18
Page 9 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesThéorème et mesure produitSoient Ω1, T1, µ1 et Ω2, T2, µ2 deux espaces mesurés et µ1 et µ2 σ-finiesalorsil existe une mesure unique µ sur T1 T2 telle que :A1 T1, A2 T2,µ A1 × A2 = µ1 A1 × µ2 A2 .µ est une mesure σ-finiex1 7→µ2 Ax1 est T1-mesurable pour tout A T1 T2µA =ZΩ1µ2 Ax1 dµ1x1.Définitionµ est la mesure produit de µ1 par µ2 et on la note µ1 µ2.9/18
Page 10 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesRemarques1Si on a trois espaces mesurés Ωi, Ti, µi, i 1, 2, 3 avec µi σ-finiesalors on a l’associativité du produitµ1 µ2 µ3 = µ1 µ2 µ3 .Comme on avait T1 T2 T3 = T1 T2 T3, on peut donc définir lamesure sur T1 T2 T3 comme l’unique mesure µ sur ce produit detribus telle queµ A1 × A2 × A3 = µA1×µA2×µA3avecAi Ti, i 1, 2, 3 .Idem avec n facteurs n N par récurrence.2La mesure de Lebesgue sur R2 est le produit des mesures de Lebesgue surR, BR.La mesure de Lebesgue sur Rn n N est le produit des mesures deLebesgue sur chaque facteur.10/18
Page 11 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesIntégration par rapport à une mesure produitSoient Ω1, T1, µ1 et Ω2, T2, µ2 deux espaces mesurés et µ1 et µ2 σ-finies etµ = µ1 µ2.L’intégration d’une fonction numérique définie sur T1 T2 par rapport àla mesure µ est précisée par les deux théorèmes ci-dessous.Le premier traite le cas d’une fonction positive, connu sous le nom duthéorème de Fubini-Tonelli ;le deuxième traite le cas d’une fonction de signe quelconque, connu sousle nom du théorème de Fubini.Dans la suite, on considère Ω1, T1, µ1 et Ω2, T2, µ2 deux espaces mesuréset µ1 et µ2 σ-finies et µ = µ1 µ2.Attention.11/18
Page 12 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesThéorème de Fubini-TonelliSi f : Ω1 × Ω2 →0, + est T1 T2-mesurable, alors1Les fonctions φ et ψ définies respectivement sur Ω1 et Ω2 parφ : x1 7→ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2 etψ : x2 7→ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1sont mesurables.2ZΩ1×Ω2fdµ=ZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1=ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Théorème de Fubini-Tonelli.12/18
Page 13 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesCommentaireCe théorème nous permet entre autres de calculer des intégrales multiples parintégrations successives dans l’ordre que l’on désire avec la seule hypothèse fmesurable et positive.13/18
Page 14 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesSoit f : Ω1 × Ω2 →R une fonction µ-intégrable, alors1• x1 Ω1 p.p, la fonction x2 7→f x1, x2 est intégrable sur Ω2.• La fonction φ définie p.p sur Ω1 parφ : x1 7→ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2est µ1-intégrable sur Ω1.2• Pour p.p x2 Ω2, la fonction x1 7→f x1, x2 est intégrable sur Ω1.• La fonction ψ définie p.p sur Ω2 parψ : x2 7→ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1est µ2-intégrable sur Ω2.3ZΩ1×Ω2fdµ=ZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1=ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Théorème de Fubini 1.14/18
Page 15 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesSi l’une des trois intégrales suivantesI1=ZΩ1×Ω2fdµI2=ZΩ1ZΩ2f x1, x2dµ2 x2dµ1 x1I3=ZΩ2ZΩ1f x1, x2dµ1 x1dµ2 x2est finie alors il en est de même pour les deux autres, f est intégrable etZΩ1ZΩ2f x1, x2 dµ2 x2dµ1 x1 =ZΩ2ZΩ1f x1, x2 dµ1 x1dµ2 x2 .Théorème de Fubini 2.15/18
Page 16 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesMode d’emploi et mise en garde1Pour prouver que f est intégrable sur T1 T2, on applique le théorème deFubini-Tonelli à f qui affirme que I1, I2 et I3 sont égales qu’elles soientfinies ou non, puis montrer que I2 ou I3 est finie. Souvent, l’une d’ellesest facile à estimer.2Bien distinguer le cas f mesurable positive où les trois intégrales I1, I2 etI3 ont toujours un sens valeur finie ou infinie du cas où f est de signevariable pour lequel les intégralesZΩ1ZΩ2fdµ2dµ1 etZΩ2ZΩ1fdµ1dµ2peuvent ne pas exister, ou bien peuvent exister avec des valeurs finies ouinfinies distinctes ou égales, sans que f soit intégrable. Autrement dit, si fest en général mesurable mais pas intégrable, les expressionsZΩ1ZΩ2fdµ2dµ1 etZΩ2ZΩ1fdµ1dµ2peuvent exister mais avoir des valeurs différentes.16/18
Page 17 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesFonctions à variables séparéesSi f1 et f2 sont deux fonctions mesurables positives ou intégrables,définies respectivement sur Ω1 et Ω2. On posef x1, x2 = f1x1 × f2x2.Alors f est T1 T2-mesurable etZΩ1×Ω2fd µ1 × µ2 =ZΩ1f1dµ1 ZΩ2f2dµ2.17/18
Page 18 : Produit de tribusMesure produitThéorème de FubiniFonctions à variables séparéesRemarques sur les hypothèses des théorèmes de Fubini-Tonelli et FubiniLes théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini cessent d’être vrais sion supprime l’hypothèse de σ-finitude d’une des mesures µ1 et µ2. VoirTD5.dans le théorème de Fubini, si les valeurs des deux intégrales I1 et I2 sontdistinctes, on peut déduire que la fonction f n’est pas µ1 µ2-intégrableVoir TD5.en revanche, si les valeurs des deux intégrales I1 et I2 sont égales, on nepeut pas déduire directement que la fonction f est µ1 µ2-intégrableVoir TD5.18/18
