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Page 1 : 5Travail et energie■Travail d’une force! Lors d’un deplacement elementaire d→OM, le travail de la force ⃗F s’ecrit :δW⃗F = ⃗F · d→OM = ⃗F · ⃗v dtEn coordonnees cartesiennes : δW⃗F = Fx dx + Fy dy + Fz dz.! Lors d’un deplacement de A a B le long du chemin Γ, le travail de la force ⃗F s’ecrit :W⃗F ,A→B =! BAδW⃗F =! BA⃗F · d→OMou l’integrale est calculee le long du chemin Γ.! Le travail est une energie, il s’exprime en joule J.! Si W 0, le travail est moteur.Si W 0, le travail est resistant.! Les forces ⃗v ne travaillent pas. Donc la force de contact normale ⃗N ne travaille pas !Le travail d’une force de frottement dynamique est toujours resistant car ⃗fd est dirigee selon⃗v !■Puissance d’une force! Puissance moyenne de la force ⃗F : Pmoy =W⃗F ,A→BtB tA= W⃗Ft! Puissance instantanee de la force ⃗F : P⃗F = δW⃗Fdt= ⃗F · ⃗v! La puissance est une energie divisee par un temps ; elle s’exprime en watt W.! On peut exprimer le travail en fonction de P⃗F : W⃗F ,A→B =! tBtAP⃗Ft dt .■Theoreme de l’energie cinetique! L’energie cinetique d’un point materiel de masse m est definie par : Ec = 12mv2! Le theoreme de l’energie cinetique s’ecrit dans un referentiel galileen :Ec = EcB EcA ="WA→Bou encore :dEcdt ="Pou WA→B et P designent la somme des travaux et des puissances de toutes les forcesappliquees sur le corps pendant le deplacement de A vers B.Il faut toujours preciser l’etat initial et l’etat final quand on applique le theoreme de l’energiecinetique.
Page 2 : ■Energie potentielle! La force ⃗F derive d’une energie potentielle ssi il existe une fonction EpM appelee energiepotentielle telle que :δW⃗F = dEp! L’energie potentielle est definie a une constante pres, que l’on prendra par convention = 0.! Energie potentielle de la pesanteur : Ep = mgz avec l’axe z oriente vers le haut !.! Energie potentielle elastique d’un ressort : Ep = 12kℓℓ02 .■Forces conservatives! Une force conservative est une force qui derive d’une energie potentielle.! Si ⃗F est conservative alors : W⃗F,A→B = Ep = EpA EpB .!⃗F conservative ⇐⇒W⃗F ne depend pas du chemin suivi .! Le poids et la force elastique du ressort sont des forces conservatives.! Un systeme est dit conservatif ssi il est soumis uniquement a des forces conservatives ouqui ne travaillent pas.■Force non conservative! Une force non conservative est une force qui ne derive pas d’une energie potentielle.! Le travail d’une force non conservative depend donc du chemin suivi.! Les forces de frottement sont des forces non conservatives.■Theoreme de l’energie mecanique! L’energie mecanique est definie par : Em = Ec + Ep , ou Ep est la somme des energiespotentielles de toutes les forces conservatives.Elle est definie a une constante pres, que l’on prendra par convention = 0.! Le theoreme de l’energie mecanique s’ecrit dans un referentiel galileen :Em = EmB EmA ="Wn.c.,A→Bou encore :dEmdt="Pn.c.ou Wn.c.,A→B et Pn.c. designent la somme des travaux et des puissances de toutes les forcesnon conservatives agissant sur le systeme lors du deplacement de A vers B.! Pour un systeme conservatif : Wn.c. = 0 ⇒Em = cste .Il faut toujours preciser l’etat initial et l’etat final quand on applique le theoreme de l’energiemecanique et repertorier les forces conservatives et leur Ep et les forces non conservatives s’ily en a !
Page 3 : ■Positions d’equilibre - stabilite! Une position d’equilibre est une position ou : ⃗F = ⃗0.! Si on ecarte legerement le corps de sa position d’equilibre et qu’il y revient : la positiond’equilibre est stable.! Si on ecarte legerement le corps de sa position d’equilibre et qu’il s’en ecarte : la positiond’equilibre est instable.■Systeme conservatif a un degre de liberte! Systeme conservatif a un degre de liberte x : il est soumis a une force resultante ⃗Fx = Fx ⃗uxtelle que Fx = dEpdxet son energie Emx = Ecx + Epx = cste .! Les minimas de Epx correspondent aux positions d’equilibre stables.Les maximas de Epx correspondent aux positions d’equilibre instables.! Les valeurs de x autorisees correspondent a Ecx 0 cad a Epx Em.! Le signe de la pente de Epx donne le sens de ⃗F.! Les points de rebroussement sont les points ou ⃗v = ⃗0, cad Epx = Em : le corps repartalors dans la direction de ⃗F.
