CM Intégration et probabilités

Chapitre 1 : Intégration

I. Intégrale généralisée

1. Notion d’intégrale généralisée

Définition :

Soient $- \infty \leq a < b \leq + \infty$ et $f$ une fonction continue (ou continue par morceaux) sur $\rbrack a,b\lbrack$. On appelle intégrale impropre (ou généralisée) de $f$ sur $\rbrack a,b\lbrack$ l’intégrale :

\[\int_{a}^{b}{f(t)dt}\]

Notations :

\[\int_{a}^{b}{f(t)dt}\ \text{ou}\ \int_{a}^{b}f\]

Intégrale généralisée : Borne supérieure

On considère les intervalles $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack$

Toutes les définitions et propriétés peuvent être définies de façon analogue dans le cas d’un intervalle $\rbrack a,b\rbrack$ avec $a \in \lbrack - \infty\ ;b\lbrack$

Définition :

Soit $f$ une fonction continue de $\lbrack a,b\lbrack$ dans $\mathbb{R}$. Soit $F$ la fonction définie par :

\[F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}\]

Si $\lim_{x \rightarrow b^{-}}{F(x)}$ existe, alors on dit que $\int_{a}^{b}f$ est convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Donner la nature d’une intégrale est dire si elle est convergente ou divergente.

Exemple :

1. Déterminer la nature de $\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$

Pour tout $x \in \lbrack 0,1\lbrack$, on note $F:x \rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$.

On a $F(x) = \int_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt} = \left\lbrack - 2\sqrt{1 - t} \right\rbrack_{0}^{x} = - 2\sqrt{1 - x} + 2$ et $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}{F(x)} = 2$

$F$ admet une limite quand $x \rightarrow 1^{-}$ donc $\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$ est convergente

\[\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt} = 2\]

1. Déterminer la nature $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$

Pour tout $x \in \rbrack 1\ ; + \infty\lbrack$, on pose $F\ :x \rightarrow \int_{1}^{x}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$

On a $F(x) = \int_{1}^{x}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \left\lbrack 2\sqrt{t} \right\rbrack_{1}^{x} = 2\sqrt{x} - 2$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x)} = + \infty$ donc l’intégrale $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$ est divergente.

Proposition :

Soit $f$ une fonction continue sur $\lbrack a,b\lbrack$.

\[\forall c \in \lbrack a,b\lbrack,\ \text{la nature de}\ \int_{c}^{b}f\ \text{ne dépend pas de}\ c\]

Remarque :

La nature ne dépend pas de $c$ mais en cas de convergence la valeur en dépend.

Intégrale généralisée : Intervalle quelconque

Définition :

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ ($\overline{\mathbb{R}}\mathbb{= R \cup}\left\lbrace - \infty, + \infty \right\rbrace $).

Soit $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$

On dit que l’intégrale généralisée $\int_{a}^{b}f$ converge s’il existe un $c \in \rbrack a,b\lbrack$ tel que $\int_{a}^{c}f$ et $\int_{c}^{b}f$ convergent.

Dans le cas contraire, on dit que $\int_{a}^{b}f$ diverge.

La nature de l’intégrale ne dépend pas du $c$.

Remarque :

On définit par convention $\forall a\mathbb{\in R,}\int_{a}^{a}f = 0,\ \int_{b}^{a}f = - \int_{a}^{b}f$

Exemples :

…

Remarque :

Si $f$ est continue sur $\lbrack a,c\lbrack \cup \rbrack c,b\rbrack$ et $\int_{a}^{c}f$ et $\int_{c}^{b}f$ convergent alors $\int_{a}^{b}f$ converge.

Propriété : Linéarité de l’intégration

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\rbrack a,b\lbrack$ ($a,b\mathbb{\in R,\ }a < b$). Soit $\lambda\mathbb{\in R}$

Si $\int_{a}^{b}{\ f}$ et $\int_{a}^{b}g$ convergent alors $\int_{a}^{b}{\lambda f + g}$ converge et

\[\int_{a}^{b}{\lambda f + g} = \lambda\int_{a}^{b}f + \int_{a}^{b}g\]

Remarque :

La réciproque est fausse. On peut avoir $\int_{a}^{b}{\lambda f + g}$ convergente mais $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{a}^{b}g$ divergentes.

Proposition : Prolongement par continuité

Soit $a,b\mathbb{\in R}$ et $f$ une fonction continue sur $\lbrack a,b\lbrack$

Si $f$ admet un prolongement par continuité en $b$, càd il existe une fonction $\widetilde{f}$ continue sur $\lbrack a,b\lbrack$ telle que :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} \forall x \in \lbrack a,b\lbrack,\ f(x) = \widetilde{f}(x) \\ \lim_{x \rightarrow b^{-}}{f(x)} = \widetilde{f}(b) \end{array} \right.\]

Alors $\int_{a}^{b}f$ converge et $\int_{a}^{b}f = \int_{a}^{b}\widetilde{f}$

Exemple :

\[\int_{0}^{1}{\frac{\sin(t)}{t}dt}\]

$f:t \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}$ est continue sur $\rbrack 0,1\rbrack$ et $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{\sin(t)}{t} = 1$ donc $f$ est prolongeable par continuité en

\[\widetilde{f}:t \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \frac{\sin(t)}{t}\ \text{si}\ t \in \text{[}0,1\text{[} \\ 1\ \text{si}\ t = 0 \end{array} \right.\]

2. Intégrales généralisées usuelles

Proposition : Intégrale de Riemann

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$

\[\text{L'intégrale}\ \int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\] \[\text{L'intégrale}\ \int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha > 1\]

Démonstration :

…

Corollaire :

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$. Soit $a,b \in \mathbb{R}_{+}^{*}$

\[\int_{a}^{b}{\frac{1}{(t - a)^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\] \[\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b - t)^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\]

Proposition : Intégrale logarithmique

L’intégrale $\int_{0}^{1}{\ln(t)dt}$ converge et $\int_{0}^{1}{\ln(t)dt} = - 1$

L’intégrale $\int_{1}^{+ \infty}{\ln(t)dt}\ \text{diverge}$

Démonstration :

Calcul direct. Une primitive de $t \rightarrow \ln(t)$ est $t \rightarrow t\ln(t) - t$

Proposition : Intégrale exponentielle

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$

L’intégrale $\int_{0}^{+ \infty}{e^{- \alpha t}dt}$ converge si et seulement si $\alpha > 0$

Démonstration : Calcul direct

3. Intégrales de fonctions de signe constant

Dans toute cette partie, on considère un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack$, $a\mathbb{\in R}$

Toutes les propositions peuvent être écrites de façon analogue pour des intervalles $\rbrack a,b\rbrack$ ou $\rbrack a,b\lbrack$

Proposition : Monotonie de l’intégrale de fonctions positives

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\lbrack a,b\lbrack$.

L’intégrale $\int_{a}^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $F\ :x \rightarrow \int_{a}^{x}f$ est majorée sur $\lbrack a,b\lbrack$

Démonstration :

…

Théorème : Comparaison des intégrales de fonctions positives

Soit un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack,$ $a\mathbb{\in R}$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $\lbrack a,b\lbrack$

Si $\forall t \in \lbrack a,b\lbrack,\ f(t) \leq g(t)$, alors :

• Si $\int_{a}^{b}g$ converge alors $\int_{a}^{b}f$ converge

• Si $\int_{a}^{b}f$ diverge alors $\int_{a}^{b}g$ diverge

Démonstration :

…

Remarque :

• Si $f$ et $g$ sont négatives sur $\lbrack a,b\lbrack$, alors la propriété reste vraie en inversant les inégalités

• Le résultat reste vrai si les hypothèses sont vérifiées sur un voisinage de $b$

Exemples :

…

Lemme de Riemann :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

S’il existe $\alpha < 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l\mathbb{\in R}$, alors $\int_{0}^{1}f$ converge.

S’il existe $\alpha \geq 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)}$ existe et $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l \neq 0$, alors $\int_{0}^{1}f$ diverge.

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\lbrack 1\ ; + \infty\lbrack$

S’il existe $\alpha > 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow + \infty}{t^{\alpha}f(t)} = l\mathbb{\in R}$, alors $\int_{1}^{+ \infty}f$ converge.

S’il existe $\alpha \leq 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)}$ existe et $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l \neq 0$, alors $\int_{1}^{+ \infty}f$ diverge.

Théorème : Equivalence par l’intégrale de fonction de signe constant

Soit un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack,\ a\mathbb{\in R}$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\lbrack a,b\lbrack$, de signe constant et non-nulles au voisinage de $b$.

Si $f(t)\ \sim_{t \rightarrow b}\ g(t)$, alors $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{a}^{b}g$ sont de même nature.

Corollaire du théorème de comparaison : Condition nécessaire de convergence

Soit $f$ une fonction continue sur $\lbrack a, + \infty\lbrack$ et $a\mathbb{\in R}$

Si $\lim_{t \rightarrow + \infty}{f(t)} \neq 0$, alors $\int_{a}^{+ \infty}f$ diverge.

Exemple :

\[\int_{1}^{+ \infty}{\left( e^{6} - \left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t} \right)dt}\] \[\text{Posons}\ f:t \rightarrow e^{6} - \left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t}\]

Cherchons un équivalent de $f$ lorsque $t \rightarrow + \infty$.

\[\left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t} = e^{2t\ln\left( 1 + \frac{3}{t} \right)} = e^{2t\left( \frac{3}{t} - \frac{1}{2}\left( \frac{3}{t} \right)^{2} + o\left( \frac{1}{t^{2}} \right) \right)} = e^{6 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)}\] \[f(t) = e^{6} - e^{6 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)} = e^{6}\left( 1 - e^{- \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)} \right) = e^{6}\left( 1 - \left( 1 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right) \right) \right) = \frac{9e^{6}}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)\] \[\text{On en déduit que}\ f(t)\sim_{t \rightarrow + \infty}\frac{9e^{6}}{t} = g(t)\ \text{où}\ g\ \text{est une fonctions de signe constant}\ ( > 0)\text{ et non-nulle}\]

Or $\int_{1}^{+ \infty}g$ diverge car intégrale de Riemann avec $\alpha = 1 \leq 1$

Donc, d’après le théorème d’équivalence.

4. Calcul intégral

Proposition : Relation de Chasles

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Si $\int_{a}^{b}f$ converge, alors $\forall c \in \rbrack a,b\lbrack,\ \int_{a}^{b}f = \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f$

Proposition : Changement de variable

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Soit $\varphi:\rbrack\alpha,\beta\lbrack,\ \rbrack a,b\lbrack$ est une bijection de classe $C^{1}$ sur $\rbrack a,b\lbrack$

Alors $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{\alpha}^{\beta}{f\left( \varphi(u) \right)\varphi^{‘}(u)du}$ sont de même nature. En cas de convergence,

\[\int_{a}^{b}f = \int_{\alpha}^{\beta}{f\left( \varphi(u) \right)\varphi^{'}(u)du}\]

Remarque :

Si $\varphi$ est strictement monotone sur $\rbrack\alpha,\beta\lbrack$, alors elle est bijective.

Si $\varphi$ est croissante ($\varphi^{‘}(u) > 0$), $\varphi(\alpha) = a$ et $\varphi(\beta) = b$

Si $\varphi$ est décroissante ($\varphi^{‘}(u) < 0$), $\varphi(\alpha) = b$ et $\varphi(\beta) = a$

Exercice :

\[\text{Calculer}\ \int_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt}\]

Avec le changement de variable $u = t^{2}$

La fonction $\varphi\ :u \rightarrow \sqrt{u}$ est bien bijective est $C^{1}$ sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

\[\varphi^{'}(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}},\ \varphi(0) = 0,\ \varphi(1) = 1\]

On s’intéresse à l’intégrale :

\[\int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1 - u}} \times \frac{1}{2\sqrt{u}}du} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - u}}du}\]

On reconnait une intégrale de Riemann en 0 avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ donc $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1 - u}}$ converge.

Alors :

\[\int_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - u}}du} = \left\lbrack - \sqrt{1 - u} \right\rbrack_{0}^{1} = 1\]

Proposition : Intégration par parties

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et deux fonctions $f$ et $g$ deux fonctions $C^{1}$ sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Si le produit $fg$ admet des limites en $a$ et $b\ $:

$\lim_{t \rightarrow a^{+}}{f(t)g(t)} = l_{a}\mathbb{\in R}$ et $\lim_{t \rightarrow b^{-}}{f(t)g(t)} = l_{b}\mathbb{\in R}$, alors :

Alors $\int_{a}^{b}{f^{‘}g}$ et $\int_{a}^{b}{fg^{‘}}$ sont de même nature et

\[\int_{a}^{b}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{fg^{'}}\]

Démonstration :

Soient $\alpha,\beta\mathbb{\in R}$ tels que $a < \alpha < \beta < b$.

Les fonctions $f$ et $g$ sont $C^{1}$ sur $\lbrack\alpha,\beta\rbrack$ donc on peut faire une intégration par parties sur ce segment :

\[\int_{\alpha}^{\beta}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta}{fg^{'}}\]

Si $\lim_{\alpha \rightarrow a^{+}}{f(\alpha)g(\alpha)}$ et $\lim_{\beta \rightarrow b^{-}}{f(\beta)g(\beta)}$ existent toutes les deux, alors $\int_{a}^{b}{f^{‘}g}$ et $\int_{a}^{b}{fg^{‘}}$ ont la même nature puisque leur somme est un nombre réel $( < + \infty)$.

Si elles convergent, on peut passer à la limite dans l’égalité :

\[\int_{a}^{b}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{fg^{'}}\]

Exemple :

\[\int_{0}^{+ \infty}{te^{- t}dt}\]

5. Fonctions intégrables

Dans cette section, $I$ est un intervalle, $a$ et $b$ sont ses bornes inférieures et supérieures ($\in \overline{\mathbb{R}}$).

Définition :

Soit $f$ une fonction continue sur $I$.

On dit que $f$ est intégrable sur $I$ si $\int_{a}^{b}\vert f\vert $ converge.

Attention :

$\int_{a}^{b}f$ convergente n’implique pas que $f$ est intégrable.

Proposition : Inégalité triangulaire

Soit $I$ un intervalle et $f$ continue et intégrable sur $I$. On a :

\[\left\vert \int_{I}^{}f \right\vert \leq \int_{I}^{}\vert f\vert\]

Démonstration :

On peut décomposer toute fonction continue $f$ de manière unique en sa partie positive $f_{+}$ et sa partie négative $f_{-}\ $: $f = f_{+} - f_{-}$ avec $f_{\pm} > 0$

\[\left\vert \int_{I}^{}f \right\vert = \left\vert \int_{I}^{}f_{+} - \int_{I}^{}f_{-} \right\vert \leq \left\vert \int_{I}^{}f_{+} \right\vert + \left\vert \int_{I}^{}f_{-} \right\vert = \int_{I}^{}f_{+} + \int_{I}^{}f_{-} = \int_{I}^{}{f_{+} + f_{-}} = \int_{I}^{}\vert f\vert\]

Exemples :

$t \rightarrow e^{- t}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}$

$t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}$ est intégrable sur $\lbrack 1\ ; + \infty\lbrack$ et non-intégrable sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

$t \rightarrow \frac{\sin\left( e^{t} \right)}{1 + t^{2}}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ par équivalence avec une inégalité de Riemann convergente.

Proposition :

Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Si $f$ est intégrable, alors $\int_{I}^{}f$ converge.

Attention : La réciproque est fausse.

Proposition :

L’ensemble des fonctions continues et intégrables sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel noté $L^{1}\left( I,\mathbb{K} \right)$

Proposition :

Soient $f$ et $g \in L^{1}\left( I\mathbb{,R} \right)$.

• Si $f$ est positive sur $I$, alors $\int_{I}^{}f \geq 0$

• Si $\forall t\mathbb{\in R}$, $f(t) \leq g(t)$, alors $\int_{I}^{}f \leq \int_{I}^{}g$

Proposition : Stricte positivité

Soit $f \in L^{1}\left( I\mathbb{,R} \right)$.

$\int_{I}^{}\vert f\vert = 0 \Leftrightarrow f(t) = 0\ \forall t\mathbb{\in R}$ (f est la fonction nulle).

Démonstration : Par l’absurde

Supposons qu’il existe $f$ qui n’est pas la fonction nulle sur $I$ mais telle que $\int_{I}^{}\vert f\vert = 0$

Alors $\exists c \in I,\ f(c) = m \neq 0$

Par continuité, $\forall\varepsilon > 0,\exists\delta > 0,\ \vert t - c\vert < \delta \Rightarrow f(t) \geq m - \varepsilon$

\[\int_{I}^{}\vert f\vert = \int_{c - \delta}^{c + \delta}\vert f\vert + \int_{I\backslash\lbrack c - \delta,c + \delta\rbrack}^{}\vert f\vert\] \[\int_{I}^{}\vert f\vert \geq \int_{c - \delta}^{c + \delta}{(m - \varepsilon)dt} = 2\delta(m - \varepsilon) > 0\ \text{(pour}\ \varepsilon\ \text{assez petit})\ \text{donc}\] \[\int_{I}^{}\vert f\vert > 0\]

Ce qui est absurde.

Théorème de comparaison :

Soient $a\mathbb{\in R,}b \in \rbrack a, + \infty\rbrack$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Si $g$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$ et $f(t) = Ο_{t \rightarrow b^{-}}\left( g(t) \right)$ alors $f$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Si $g$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$ et $f(t) = o_{t \rightarrow b^{-}}\left( g(t) \right)$ alors $f$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Remarque : On peut écrire en analyse ce théorème sur un intervalle de la forme $\rbrack a,b\rbrack,b\mathbb{\in R,}a \in \lbrack - \infty,b\rbrack$.

Exemple :

\[\text{Etudions l’intégrabilité de}\ t \rightarrow \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}}\] \[\text{Notons}\ f:t \rightarrow \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}}\]

$f$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule jamais.

On peut remarquer que $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{2}}{t^{2}} = 1$ car $\sin(t)\ \sim_{t \rightarrow 0}\ t$

Donc $f$ est prolongeable par continuité en 0 donc intégrable au voisinage de 0.

De plus, pour $t$ grand,

\[\left\vert \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{t^{2}}\ \text{donc}\ f(t) =_{t \rightarrow + \infty}Ο\left( \frac{1}{t^{2}} \right)\] \[\text{Or}\ t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}\ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\ \text{comme intégrale de Riemann avec}\ \alpha = 2 > 1\]

Par le théorème de comparaison, on en déduit que $f$ est intégrable.

Exemple :

\[\text{Etudions l'intégrabilité de}\ f:t \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}\ \text{sur}\ \rbrack 0; + \infty\lbrack.\]

$f$ est prolongeable par continuité en 0 : $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}{f(t)} = 1$

Donc $f$ est intégrable au voisinage de 0.

Pour $t \in \left\lbrack \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4} \right\rbrack,$

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin(t) \leq 1\] \[\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{3\pi}{4}\] \[\frac{4}{3\pi\sqrt{2}} \leq \frac{\sin(t)}{t} \leq \frac{4}{\pi}\] \[\int_{0}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}\] \[\int_{0}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} \geq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} \geq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{4}{3\pi\sqrt{2}}dt} = \frac{4}{3\pi\sqrt{2}}\left( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

Généralisation : Soit $k\mathbb{\in N}$ et $t \in \left\lbrack k\pi + \frac{\pi}{4};k\pi + \frac{3\pi}{4} \right\rbrack$

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \left\vert \sin(t) \right\vert \leq 1\] \[k\pi + \frac{\pi}{4} \leq t \leq k\pi + \frac{3\pi}{4}\] \[\frac{4}{\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)} \leq \left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert\]

Ainsi, $\forall N\mathbb{\in N}$

\[\int_{0}^{N\pi}\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert = \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi}^{(k + 1)\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}} \geq \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi + \frac{\pi}{4}}^{k\pi + \frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}} \geq \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi + \frac{\pi}{4}}^{k\pi + \frac{3\pi}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)}dt}} = \sum_{k = 0}^{N - 1}\frac{\pi}{2\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)}\]

On reconnait un équivalent de la série harmonique, qui diverge.

Donc $\lim_{N \rightarrow + \infty}{\int_{0}^{N\pi}\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert } = + \infty$

On en conclut que $f$ n’est pas intégrable sur $\rbrack 0\ ; + \infty\lbrack$

Etudions la nature de $\int_{0}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$

\[f(t) \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}\ \text{est prolongeable par continuité en}\ 0\ \text{donc son intégrale au voisinage de 0}\ \text{converge}\]

• Intégration par parties sur $\lbrack 1; + \infty\lbrack$

\[u^{'}(t) = \sin(t),\ \ u(t) = - \cos(t)\] \[v(t) = \frac{1}{t},\ \ v^{'}(t) = - \frac{1}{t^{2}}\]

On a :

\[\lim_{t \rightarrow 1}{- \frac{\cos(t)}{t}} = - \cos(1)\mathbb{\in R,}\lim_{t \rightarrow + \infty}{- \frac{\cos(t)}{t}} = 0 \in \mathbb{R}\]

On en déduit que $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ et $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\cos(t)}{t^{2}}dt}$ sont de même nature.

\[\text{Or}\ \left\vert \frac{\cos(t)}{t^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{t^{2}}\ \text{et}\ t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}\ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\ \text{donc par comparaison}\ t \rightarrow \left\vert \frac{\cos(t)}{t^{2}} \right\vert \ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\]

On en déduit que $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\cos(t)}{t^{2}}dt}$ converge donc $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ converge.

Comme $\int_{0}^{1}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ converge par prolongement par continuité, on en conclut que :

\[\int_{0}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}\ \text{converge}\]

II. Intégrale à paramètre

Définition : On appelle intégrale à paramètre les intégrales du type :

\[\int_{I}^{}{f(t,x)dt}\]

Où $f\mathbb{:R \times}A\mathbb{\rightarrow R}$, $x \in A$ est appelé paramètre de l’intégrale.

On s’intéresse aux propriétés de la fonction $x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$

Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des $x$ tels que $\int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ converge.

Théorème : Convergence dominée pour une limite

Soient $I$ et $A$ deux intervalles, $a \in \overline{A},\ f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall x \in A,$ la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $I$

• $\forall t \in I,\lim_{x \rightarrow a}{f(t,x)} = l(t)\mathbb{\in R}$

• La fonction $t \rightarrow l(t)$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction intégrable $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ telle que $\forall(t,x) \in I \times A,\ \left\vert f(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors $l$ est intégrable sur $I$ et $\lim_{x \rightarrow a}{\int_{I}^{}{f(t,x)dt}} = \int_{I}^{}{l(t)dt}\left( = \int_{I}^{}{\lim_{x \rightarrow a}{f(t,x)dt}} \right)$

Corollaire : Convergence dominée pour les suites de fonctions

Soient $I$ intervalle de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I\mathbb{\rightarrow R}$. Soit $f:I\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ est continue sur $I$

• $\left( f_{n} \right)$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $I$

• $f$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction intégrable $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ telle que $\forall t \in I,\ \forall n\mathbb{\in N,}\left\vert f_{n}(t) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors $f$ est intégrable sur $I$ et $\lim_{n \rightarrow + \infty}{\int_{I}^{}{f_{n}(t)dt}} = \int_{I}^{}{f(t)dt\ }$

Exemple :

\[\text{Calculer}\lim_{x \rightarrow 1}{\int_{0}^{2}{\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}dt}}\]

Utilisons le théorème de convergence dominée : soit $f\ :(t,x) \rightarrow \frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}$ définie sur $\lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack 0,1\rbrack$

Pour $x \in \lbrack 0,1\rbrack$ fixé, la fonction $t \rightarrow \frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}$ est continue sur $\lbrack 0,1\rbrack$ car l’exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$.

Pour $t \in \lbrack 0,2\rbrack$ fixé, $\lim_{x \rightarrow 1}{f(t,x)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}} = \frac{e^{- t}}{2} = l(t)\mathbb{\in R}$

La fonction $l\ :t \rightarrow \frac{e^{- t}}{2}$ est continue sur $\lbrack 0,2\rbrack$

Posons $\varphi\ :t \rightarrow 1$. $\phi$ est intégrable sur $\lbrack 0,2\rbrack$ et $\forall t \in \lbrack 0,2\rbrack,\forall x \in \lbrack 0,1\rbrack,$

\[\left\vert f(t,x) \right\vert = \frac{e^{- tx}}{1 + x^{2}} \leq 1 \leq \varphi(t)\]

Conclusion : la fonction $l:t \rightarrow \frac{e^{- t}}{2}$ est intégrable et :

\[\lim_{x \rightarrow 1}{\int_{0}^{2}{\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}dt}} = \int_{0}^{2}{\frac{e^{- t}}{2}dt} = \frac{1}{2}\left\lbrack - e^{- t} \right\rbrack_{0}^{2} = \frac{1 - e^{- 2}}{2}\]

Théorème : Convergence dominée pour la continuité

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$

\[f\mathbb{:R \times}A\mathbb{\rightarrow R}\]

Si :

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $\mathbb{R}$

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $A$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in A,\forall t\mathbb{\in R}$, $\left\vert f(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

• Alors la fonction $x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est définie et continue sur $A$.

Exemple :

Soit $g:x \rightarrow \int_{0}^{+ \infty}{e^{- t}\sin(tx)}$.

Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Utilisons le théorème de convergence dominée pour la continuité des intégrales à paramètre. On note $f(t,x) = e^{- t}\sin(tx)$

$\forall x\mathbb{\in R}$, la fonction $t \rightarrow e^{- t}\sin(tx)$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$ comme produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}^{+}$

$\forall t\mathbb{\in R,}$ la fonction $x \rightarrow e^{- t}\sin(tx)$ est continue sur $\mathbb{R}$ par continuité du sinus.

La fonction $\varphi\ :t \rightarrow e^{- t}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ (intégrale généralisée de référence) et $\forall x\mathbb{\in R,\forall}t \in \mathbb{R}_{+}$, $\left\vert f(t,x) \right\vert = \left\vert e^{- t}\sin(tx) \right\vert \leq e^{- t}$ car $\sin(tx) \leq 1$

Donc $g$ est continue sur $\mathbb{R}$

Théorème : Convergence dominée pour la dérivation d’une intégrale à paramètre

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est $C^{1}$ sur $A$

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est intégrable sur $I$

• $\forall x \in A$, la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)$ est continue sur $\mathbb{R}$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable telle que $\forall x \in A,\forall t\mathbb{\in R}$, $\left\vert \frac{\partial f}{\partial x}(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors la fonction $g:x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est $C^{1}$ sur $A$ et $\forall x \in A,\ g^{‘}(x) = \int_{I}^{}{\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)dt}$

Corollaire : extension à la classe $C^{k}$

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$, $f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est $C^{k}$ sur $A$

• $\forall j \in \left. ⟦0,\ k - 1 \right.⟧,\ \forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow \frac{\partial^{j}f}{\partial x^{j}}$ est intégrable sur $I$

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow \frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable telle que $\forall x \in A,\ \forall t \in I,\ \left\vert \frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors la fonction $g = x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est $C^{k}$ sur $A$ et $\forall x \in A,\ g^{(k)}(x) = \int_{I}^{}{\frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}(t,x)dt}$

III. Intégrales doubles

Objectif :

Soit $D \subset \mathbb{R}^{2}$ et $f\ :D\mathbb{\rightarrow R}$

On veut définir et calculer $\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \iint_{D}^{}f$

1. Définitions et propriétés

Introduction :

Soit $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ et $f$ une fonction constante sur $D$.

\[\forall x,y \in D,\ f(x,y) = \lambda\mathbb{\in R}\]

Alors le volumen entre la surface (plan) de $f$ et le plan $(Oxy)$ est le volume d’un parallélépipède rectangle : $(b - a)(d - c)\lambda$

Définition :

Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}^{2}$ et $f:D\mathbb{\rightarrow R}$ continue.

On appelle intégrale double de $f$ sur $D$, et on note $\iint_{D}^{}f$ ou $\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy}$ le volume (algébrique) de la partie de $\mathbb{R}^{3}$ délimitée par $D$ et la surface d’équation $z = f(x,y)$

Proposition :

Soit $D \in \mathbb{R}^{2},\ \iint_{D}^{}{dxdy} = Aire(D)$

Exemple :

Si $D = D(0,R)$ disque de centre $(0,0)$ et de rayon $R$, alors $\iint_{D}^{}{dxdy} = \pi R^{2}$

Proposition :

Soient $D \subset \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

\[\iint_{D}^{}{\lambda f + g} = \lambda\iint_{D}^{}f + \iint_{D}^{}g\]

Proposition :

Soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux ensembles de $\mathbb{R}^{2}$.

Soit $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D_{1}$ et $D_{2}$

\[\iint_{D_{1} \cup D_{2}}^{}f = \iint_{D_{1}}^{}f + \iint_{D_{2}}^{}f - \iint_{D_{1} \cap D_{2}}^{}f\]

Exemple :

Soient $C_{1} = \lbrack - 4,2\rbrack \times \lbrack - 2,4\rbrack$, $C_{2} = \lbrack 0,5\rbrack \times \lbrack - 3,2\rbrack$

\[\text{Calculer}\iint_{C_{1} \cup C_{2}}^{}{dxdy}\] \[= \iint_{C_{1}}^{}{dxdy} + + \iint_{C_{2}}^{}{dxdy} - \iint_{C_{1} \cap C_{2}}^{}{dxdy}\]

Où $C_{1} \cap C_{2} = \lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack - 2,2\rbrack$

\[= 6 \times 6 + 5 \times 5 - 2 \times 4 = 53\]

Proposition : Positivité et croissance

Soient $D \subset \mathbb{R}^{2}$, $D_{1} \subset \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$.

• Si $f \geq 0$ sur $D$ alors $\iint_{D}^{}f \geq 0$

• Si $f \leq g$ sur $D$ alors $\iint_{D}^{}f \leq \iint_{D}^{}g$

• $Aire(D)\inf_{D}f \leq \iint_{D}^{}f \leq Aire(D)\sup_{D}f$

• Si $f \geq 0$ sur $D$ et $D_{1} \subset D$ alors $\iint_{D_{1}}^{}f \leq \iint_{D}^{}f$

• Si $f$ est continue sur $D$ alors $\vert f\vert $ aussi et :

\[\left\vert \iint_{D}^{}f \right\vert \leq \iint_{D}^{}\vert f\vert\]

Propriété : Inégalité de Cauchy-Schwartz

Soient $D \in \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$.

\[\left( \iint_{D}^{}{fg} \right)^{2} \leq \left( \iint_{D}^{}f^{2} \right)\left( \iint_{D}^{}g^{2} \right)\]

2. Intégration par piles et par tranches

Théorème : Fubini par piles

Soient $a,b \in \mathbb{R}$, $a < b$, $\left\lbrace \begin{array}{r} \varphi_{1}\ :\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R}
\varphi_{2}\ :\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R} \end{array} \right. $ avec $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ continues telle que $\forall x \in \lbrack a,b\rbrack,\ \varphi_{1}(x) \leq \varphi_{2}(x)$

On note $D$ l’ensemble :

\[D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ a \leq x \leq b\ \text{et}\ \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x) \right\rbrace\]

Alors, pour $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D$, on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{a}^{b}{\left( \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}{f(x,y)dy} \right)dx}\]

Exemple :

Soit $D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ 0 \leq x \leq 2,\ e^{- x} \leq y \leq e^{x} \right\rbrace $

Soit $f\ :(x,y) \rightarrow xy$

On peut calculer par piles :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{0}^{2}{\left( \int_{e^{- x}}^{e^{x}}{xydy} \right)dx} = \int_{0}^{2}{x\left\lbrack \frac{1}{2}y^{2} \right\rbrack_{y = e^{- x}}^{y = e^{x}}dx} = \int_{0}^{2}{\frac{x}{2}\left( e^{2x} - e^{- 2x} \right)dx} = \left\lbrack \frac{x\left( e^{2x} + e^{- 2x} \right)}{4} \right\rbrack_{0}^{2} - \int_{0}^{2}{\frac{e^{2x} + e^{- 2x}}{4}dx} = \frac{e^{4} - e^{- 4}}{2} - \left\lbrack \frac{e^{2x} - e^{- 2x}}{8} \right\rbrack_{0}^{2} = \ldots = 3\frac{e^{4} - e^{- 4}}{4}\]

Remarque :

On ne peut pas intégrer par piles sur des domaines du type :

On ne peut pas intégrer une droite $\left\lbrace x = cst \right\rbrace $ dans $\mathbb{R}^{2}$ qui coupe $D$ en plus de deux points (mais pas une infinité).

Théorème : Fubini par tranches

Soient $c,d\mathbb{\in R}$, $c < d$, $\left\lbrace \begin{array}{r} \psi_{1}\ :\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R}
\psi_{2}\ :\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R} \end{array} \right. $ avec $\psi_{1}$ et $\psi_{2}$ continues telle que $\forall y \in \lbrack c,d\rbrack,\ \psi_{1}(x) \leq \psi_{2}(x)$

On note $D$ l’ensemble :

\[D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ c \leq y \leq d\ \text{et}\ \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(x) \right\rbrace\]

Alors, pour $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D$, on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{c}^{d}{\left( \int_{\psi_{1}(x)}^{\psi_{2}(x)}{f(x,y)dx} \right)dy}\]

Corollaire :

Si $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ alors on peut intégrer par piles et par tranches, et on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{a}^{b}{\left( \int_{c}^{d}{f(x,y)dy} \right)dx} = \int_{c}^{d}{\left( \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} \right)dy}\]

Exercice :

Calculer

\[I = \iint_{\lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack 1,3\rbrack}^{}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dxdy}\]

Par piles :

\[I = \int_{0}^{2}{\left( \int_{1}^{3}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dy} \right)dx} = \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2x^{2}\frac{y^{2}}{2} - 3xy \right\rbrack_{y = 1}^{y = 3}dx} = \int_{0}^{2}{\left( 9x^{2} - 9x \right) - \left( x^{2} - 3x \right)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 8x^{2} - 6x \right)dx} = \left\lbrack \frac{8}{3}x^{3} - 3x^{2} \right\rbrack_{0}^{2} = \frac{64}{3} - 12 = \frac{28}{3}\]

Par tranches :

\[I = \int_{1}^{3}{\left( \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dx} \right)dy} = \int_{1}^{3}{\left\lbrack \frac{2}{3}x^{2}y - \frac{3x^{2}}{2} \right\rbrack_{x = 0}^{x = 2}dy} = \int_{1}^{3}{\left( \frac{16}{3}y - 6 \right)dy} = \left\lbrack \frac{8}{3}y^{2} - 6y \right\rbrack_{1}^{3} = (24 - 18) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = 12 - \frac{10}{3} = \frac{28}{3}\]

Corollaire :

Si $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ et $f$ est une fonction à variables séparées, càd $f(x,y) = u(x)v(y)$, avec $u:\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R,\ }v:\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R}$ continues.

Alors :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \left( \int_{a}^{b}{u(x)dx} \right)\left( \int_{c}^{d}{v(y)dy} \right)\]

Exercice :

\[\int_{\lbrack - 1,1\rbrack \times \lbrack 0,3\rbrack}^{}{y^{2}e^{x}dxdy} = \left( \int_{- 1}^{1}{e^{x}dx} \right)\left( \int_{0}^{3}{y^{2}dy} \right)\]

3. Changement de variables

Théorème :

Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb{R}^{2}$ et $\varphi:U \rightarrow V$ un $C^{1} -$ difféomorphisme.

Soient $D$ une partie bornée incluse dans $U\ $: $D \subset U$ et $f\ :\varphi(D)\mathbb{\rightarrow R}$

Alors :

\[\iint_{\varphi(D)}^{}{f(x,y)dxdy} = \iint_{D}^{}{f\left( \varphi(u,v) \right)\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert dxdy}\]

Où $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \det\left( J_{\varphi}(u,v) \right)$

Où $J_{\varphi}$ est la jacobienne.

Corollaire : Changement de variables affines

Soit le $C^{1} -$ difféomorphisme $\varphi$ donné par :

\[\varphi:(u,v) \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = au + bv \\ y = cu + dv \end{array} \right.\]

On a :

$J_{\varphi}(u,v) = \begin{bmatrix} a & b
c & d \end{bmatrix},\ \left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = ad - bc$ avec $ad - bc \neq 0$ car $\varphi$ est un $C^{1} -$ difféomorphisme.

Exemple :

1.

\[\Delta = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ 0 \leq x + y \leq 4,\ \ x \leq y,\ \ xy \geq 1 \right\rbrace\]

Calculer :

\[\iint_{\Delta}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy}\]

Avec le changement de variables : $\left\lbrace \begin{array}{r} u = x + y
v = x - y \end{array} \right. $

Le difféomorphisme est $\varphi\ :(u,v) \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = \frac{u + v}{2}
y = \frac{u - v}{2} \end{array} \right. $

Donc $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \frac{1}{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

Déterminons $\varphi^{- 1}(\Delta)$

\[0 \leq x + y \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq u \leq 4\] \[x \leq y \Leftrightarrow x - y \leq 0 \Leftrightarrow v \leq 0\] \[xy \geq 1 \Leftrightarrow \left( \frac{u + v}{2} \right)\left( \frac{u - v}{2} \right) \geq 1 \Leftrightarrow u^{2} - v^{2} \geq 4\] \[2 \leq u \leq 4\] \[- \sqrt{u^{2} - 4} \leq v \leq 0\] \[\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} 2 \leq u \leq 4 \\ - \sqrt{u^{2} - 4} \leq v \leq 0 \end{array} \right.\]

Calcul de $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert $ avec $\varphi(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{u + v}{2}
\frac{u - v}{2} \end{pmatrix}$

\[J_{\varphi}(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\ \text{donc}\ \left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = - \frac{1}{2}\]

Le changement de variable donne donc :

\[x^{2} - y^{2} = \left( \frac{u + v}{2} \right)^{2} - \left( \frac{u - v}{2} \right)^{2} = \frac{u^{2} + 2uv + v^{2} - u^{2} + 2uv - v^{2}}{4} = uv\] \[\iint_{D}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy} = \int_{2}^{4}{\left( \int_{- \sqrt{u^{2} - 4}}^{0}{uv\cos\left( \frac{u^{2} - v^{2}}{4} \right)dv} \right)du}\] \[= \int_{2}^{4}{u\left( \left\lbrack - 2\sin\left( \frac{u^{2} - v^{2}}{4} \right) \right\rbrack_{v = - \sqrt{u^{2} - 4}}^{0} \right)du} = \int_{2}^{4}{u\left( - 2\sin\left( \frac{u^{2}}{4} \right) + 2\sin(1) \right)du}\] \[= \left\lbrack 4\cos\left( \frac{u^{2}}{4} \right) + 2\sin(1)\frac{u^{2}}{2} \right\rbrack_{2}^{4}\] \[\iint_{D}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy} = 4\cos(4) + 16\sin(1) - 4\cos(1) - 4\sin(1)\]

Exemple :

\[I_{2} = \iint_{\Delta}^{}{\frac{y}{x + 1}dxdy}\]

Avec $\Delta = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x \geq 0,\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \right\rbrace $

On propose comme changement de variables :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} u = x \\ v = - y \end{array} \right.\]

$\varphi(u,v) = \begin{pmatrix} u
v \end{pmatrix}$ d’où $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \left\vert \left\vert \begin{matrix} 1 & 0
0 & - 1 \end{matrix} \right\vert \right\vert = 1$

Et :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} x \geq 0 \\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} u \geq 0 \\ u^{2} + v^{2} \leq 1 \end{array} \right.\] \[I_{2} = \iint_{\Delta}^{}{- \frac{v}{u^{2} + 1}dudv} = - \iint_{\Delta}^{}{\frac{v}{u^{2} + 1}dudv} = - I_{2}\]

Donc $I_{2} = 0$

Changement de variables polaires :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} x = \rho\cos(\theta) \\ y = \rho\sin(\theta) \end{array} \right.\] \[\varphi:(\rho,\theta) \rightarrow \begin{pmatrix} \rho\cos\theta \\ \rho\sin\theta \end{pmatrix}\] \[J_{\varphi}(\rho,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{pmatrix}\] \[\det\left( J_{\varphi} \right) = \rho\cos^{2}\theta + \rho\sin^{2}\theta = \rho\] \[dxdy \rightarrow \rho d\rho d\theta\]

Exemple :

Calculer $I = \iint_{D}^{}{x^{2}y^{2}dxdy}$ avec $D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \right\rbrace $

Changement de variables polaire :

\[x^{2} + y^{2} \leq 1 \Leftrightarrow \rho \leq 1\]

Donc le domaine d’intégration devient $\Delta = \lbrack 0,1\rbrack \times \lbrack 0,2\pi\rbrack$

Le changement de variables donne donc :

\[I = \iint_{\Delta}^{}{\left( \rho\cos\theta \right)^{2}\left( \rho\sin\theta \right)^{2}\rho d\rho d\theta}\]

On reconnait une fonction à variables séparées :

\[I = \left( \int_{0}^{1}{\rho^{5}dt} \right)\left( \int_{0}^{2\pi}{\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta d\theta} \right)\] \[I = \left( \int_{0}^{1}{\rho^{5}dt} \right)\left( \int_{0}^{2\pi}{\left( \frac{\sin(2\theta)}{2} \right)^{2}d\theta} \right)\] \[I = \left\lbrack \frac{\rho^{6}}{6} \right\rbrack_{0}^{1}\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1 - \cos(4\theta)}{2}d\theta}\] \[I = \frac{1}{24}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4\theta)d\theta} = \frac{1}{48}\left\lbrack \theta - \frac{\sin(4\theta)}{4} \right\rbrack_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{24}\]

Chapitre 2 : Probabilités

I. Dénombrement et Espace de probabilité

Exemple 1 : On lancer un dé noir et un dé blanc (à 6 faces)

Le résultat de l’expérience aléatoire est la donnée de 2 informations : le chiffre du dé noir et le chiffre du dé blanc.

Exemple 2 : On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules dans une urne qui contient 10 boules numérotées de 1 à 10.

Le résultat de l’expérience aléatoire est la donnée des deux numéros tirés.

Définition : On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté $\Omega$, l’ensemble des résultats possibles d’une expérience.

Exemple 1 : $\Omega = \left\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),\ldots,(6,6) \right\rbrace $

\[\Omega = \left\lbrace (a,b)\mathbb{\in N,}\ 1 \leq a,b \leq 6 \right\rbrace\]

Exemple 2 :

\[\Omega = \left\lbrace (n,m)\mathbb{\in N,}\ 1 \leq n,m \leq 10,\ n \neq m \right\rbrace\]

Définition : On appelle cardinal d’un ensemble $Ε$ le nombre d’éléments qu’il contient. Ιl est noté $Card(E)$ ou $\vert E\vert $

Définition : On dit qu’un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre une partie de $\mathbb{Z}$ et lui.

1. Dénombrement

Principe du dénombrement : Si on considère un couple d’expériences telles que la première admet $n$ issues possibles et la seconde en admet $m$, alors le coupe d’expérience admet $n \times m$ issues.

Exemple 1 :

Le couple d’expérience (lancer du dé noir (6 issues), lancer du dé blanc (6 issues)) donne :

\[\vert \Omega\vert = 6 \times 6 = 36\]

Exemple 2 :

Le couple d’expérience (tirage de la 1^ère^ boule (10 issues), tirage de la 2^nde^ boule (9 issues)) donne :

\[\vert \Omega\vert = 10 \times 9 = 90\]

Pour définir les notions fondamentales du dénombrement, on considère les types de tirage suivant :

• Tirage avec remise et avec ordre

• Tirage sans remise et avec ordre

• Tirage sans remise et sans ordre

• (Tirage avec remise et sans ordre)

On tire $k$ boules dans une urne de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$.

A. Tirage avec remise et avec ordre

On tire $k$ fois une boule parmi les $n$ boules numérotées.

• 1^er^ tirage : $n$ issues possibles

• 2^e^ tirage : $n$ issues possibles (car remise)

• …

• $k^{e}$ tirage : $n$ issues possibles

Principe du dénombrement :

\[\vert \Omega\vert = n \times n \times \ldots \times n = n^{k}\]

B. Tirage sans remise et sans ordre

On tire $k$ fois une boule dans une urne de $n$ boules sans remise.

• 1^er^ tirage : $n$ issues possibles

• 2^e^ tirage : $n - 1$ issues possibles

• …

• $k^{e}$ tirage : $n - k + 1$ issues possibles

Principe du dénombrement :

\[\vert \Omega\vert = n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}\]

Définition :

Soit $E$ un ensemble. On appelle $k -$ arrangement de $E$ tous les $k -$ uplets d’éléments de $E$.

Si $\vert E\vert = n$, alors un note $A_{n}^{k}$ le nombre de $k -$ arrangements de $E$ et on a :

\[A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}\]

C. Tirage sans remise et sans ordre

On tire $k$ boules sans remise mais on ne distingue pas l’ordre.

Par exemple, tirer Bleu-Rouge-Vert est identique à tirer Rouge-Bleu-Vert.

Pour savoir combien d’issues j’ai identifiées, on se demande combien il y a de façon d’ordonner un $k -$ uplet.

Définition : On appelle permutations les ordonnements d’un $k -$ uplet.

Il y a $k!$ permutations d’un $k -$ uplet.

Pour le tirage sans remise et sans ordre, on a donc :

\[\vert \Omega\vert = \frac{A_{n}^{k}}{\text{nombre de permutations de }k - \text{uplets}}\] \[\vert \Omega\vert = \frac{n!}{k!(n - k)!}\]

On note $\begin{pmatrix} n
k \end{pmatrix}$ et on appelle coefficient binomial ce facteur :

\[\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\]

Proposition : Rappel sur les coefficients binomiaux

• $\begin{pmatrix} n + 1
  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n
  k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n
  k - 1 \end{pmatrix}$

• $\begin{pmatrix} n
  0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n
  n \end{pmatrix} = 1$

• $\begin{pmatrix} n
  1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n
  n - 1 \end{pmatrix} = n$

• $\begin{pmatrix} n
  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n
  n - k \end{pmatrix}$

• $\forall a,b\mathbb{\in R,\forall\ }n\mathbb{\in N,\ }(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n}{\begin{pmatrix} n
  k \end{pmatrix}a^{k}b^{n - k}}$

2. Evénements

Définition : On appelle événement toute partie de $\Omega$.

En principe, un événement est une propriété (ou qualité) qui sera satisfaire par certaines issues de l’expérience.

On note $\mathcal{P}(\Omega)$ l’ensemble des parties de $\Omega$.

Remarque : On préfère dire « Soit un évènement $A \in \mathcal{P}(\Omega)$ » plutôt que « Soit un événement $A \subset \Omega$ ».

Définition : On définit deux opérations élémentaires sur les événements

Soient $A$ et $B$ deux évènements de $\mathcal{P}(\Omega)$

• L’union $A \cup B\ $: « $A$ ou $B$ »

• L’union $A \cap B\ $: « $A$ et $B$ »

On appelle :

• Evènement certain : un évènement vérifié par toutes les issues : $A = \Omega$

• Evènement impossible : un évènement vérifié par aucune issue : $A = \varnothing$

• Evènement complémentaire de $A \in \mathcal{P}(\Omega)$, noté $\overline{A}$, l’évènement « non $A$ » : $\overline{A} = \Omega\backslash A$

• Evènement élémentaire un élément vérifié par une seule issue : $A = \left\lbrack \omega \right\rbrack ,\ \omega \in \Omega$

• Deux évènements incompatibles si $A \cap B = \varnothing$

• Un système complet d’évènements est une suite finie d’évènements $A_{1},\ldots,\ A_{p}$ incompatibles deux à deux tels que toute issue de l’expérience satisfait un (et un seul) de ces évènements

\[\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{array}{r} \forall j \neq k:A_{j} \cap A_{k} = \varnothing \\ \bigcup_{i = 1}^{p}A_{i} = \Omega \end{array} \right.\]

Propositions : Lois de de Morgan

• $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

• $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

3. Probabilités sur un univers fini

Dans cette section, $\Omega$ est un univers fini : $\vert \Omega\vert < + \infty$

Définition : Probabilité sur un univers fini

Une probabilité sur l’univers fini $\Omega$ est une application $\mathbb{P:}\mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \lbrack 0,1\rbrack$ telle que :

• $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega),\ 0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1$

• $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

• $\forall A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$, si $A \cap B = \varnothing$, alors $\mathbb{P}(A \cup B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{+ P}(B)$

Pour tout évènement $A \in \mathcal{P}(A)\mathbb{,\ P}(A)$ est appelé probabilité de $A$.

Exemples :

• On lance un dé équilibré à 6 faces. On a : $\Omega = \left. ⟦1,6 \right.⟧$

On définit une probabilité $\mathbb{P\ :}\mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \lbrack 0,1\rbrack$ telle que $\forall\omega \in \Omega\mathbb{,P}\left( \left\lbrack \omega \right\rbrack \right) = \frac{1}{6}$

• On fait un pile ou face avec une pièce déséquilibrée. On note $P$ l’issue pile et $F$ l’issue face.

On a : $\Omega = \left\lbrack P,F \right\rbrack $ et pour une pièce déséquilibrée, on pourrait avoir $\mathbb{P}\left( \left\lbrack P \right\rbrack \right) = \frac{1}{4}$

On a nécessairement $\mathbb{P}\left( \left\lbrack F \right\rbrack \right) = 1 - \mathbb{P}\left( \left\lbrack P \right\rbrack \right) = \frac{3}{4}$

Remarque : Abus de notation

Pour les évènements élémentaires, on s’autorisé à noter $\mathbb{P}(\omega)$ à la place de $\mathbb{P}\left( \left\lbrack \omega \right\rbrack \right)$

Proposition :

Soit $A \in \mathcal{P}(\Omega)$ et $\mathbb{P}$ une probabilité sur $\Omega$

Si $A = \left\lbrack \omega_{1},\ldots,\ \omega_{n} \right\rbrack $ alors $\mathbb{P}(A) = \sum_{k = 1}^{n}{\mathbb{P}\left( \omega_{k} \right)}$

Elément de preuve : Les évènements sont incompatibles deux à deux.

Définition : Probabilité uniforme

On dit que $\mathbb{P}$ est uniforme sur l’univers $\Omega$ si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité.

Si $\Omega = \left\lbrack \omega_{1},\ldots,\ \omega_{n} \right\rbrack $, alors $\forall i,j \in \left. ⟦1,n \right.⟧\mathbb{,\ P}\left( \omega_{i} \right)\mathbb{= P}\left( \omega_{j} \right)$

Proposition :

Soit $\mathbb{P}$ la probabilité uniforme sur $\Omega\ $:

• $\forall\omega \in \Omega\mathbb{,\ P}(\omega) = \frac{1}{\vert \Omega\vert }$

• $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega)\mathbb{,\ P}(A) = \frac{\vert A\vert }{\vert \Omega\vert }$

Proposition :

Soit $\Omega$ un univers fini, $\mathbb{P}$ une probabilité sur $\Omega$ et $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$

• $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$

• $\mathbb{P}\left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P}(A)$

• $\mathbb{P}(A \cup B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{+ P}(B)\mathbb{- P}(A \cap B)$

• $A \subseteq B$ alors $\mathbb{P}(A)\mathbb{\leq P}(B)$

Démonstration :

• $\varnothing \cup \varnothing = \varnothing$ et $\varnothing \cap \varnothing = \varnothing$, donc $\varnothing$ est incompatible avec $\varnothing$

Alors $\mathbb{P}(\varnothing \cup \varnothing)\mathbb{= P}(\varnothing)$ et $\mathbb{P}(\varnothing \cup \varnothing)\mathbb{= P}(\varnothing)\mathbb{+ P}(\varnothing)$ (d’après la propriété 3).

Donc $\mathbb{P}(\varnothing) = 0$

• Par définition, $A \cap \overline{A} = \varnothing$ donc $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles et $A \cup \overline{A} = \Omega$

Donc $1 = \mathbb{P}(\Omega)\mathbb{= P}\left( A \cup \overline{A} \right)\mathbb{= P}(A)\mathbb{+ P}\left( \overline{A} \right)$, donc $P\left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P}(A)$

• $\forall A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$,

\[A \cup B = \left( A \cap \overline{B} \right) \cup \left( B \cap \overline{A} \right) \cup (A \cap B)\]

Ces trois évènements sont incompatibles 2 à 2 donc $\mathbb{P}(A \cup B)\mathbb{= P}(A \cap B)\mathbb{+ P}\left( B \cap \overline{A} \right)\mathbb{+ P}\left( A \cap \overline{B} \right)$

De plus, $A = (A \cap B) \cup \left( A \cap \overline{B} \right)$, ces deux évènements sont incompatibles.

$\mathbb{P}(A)\mathbb{= P}(A \cap B)\mathbb{+ P}\left( A \cap \overline{B} \right)$, $P\left( A \cap \overline{B} \right)\mathbb{= P}(A)\mathbb{- P}(A \cap B)$

Idem, $\mathbb{P}\left( B \cap \overline{A} \right)\mathbb{= P}(B)\mathbb{- P}(A \cap B)$

On en déduit que $\mathbb{P}(A \cup B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{- P}(A \cap B)\mathbb{+ P}(B)\mathbb{- P}(A \cap B)\mathbb{+ P}(A \cap B)$

• Si $A \subseteq B$ alors $B = A \cup \left( B \cap \overline{A} \right)$ où $A$ et $B \cap \overline{A}$ sont incompatibles, donc $\mathbb{P}(B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{+ P}\left( B \cap \overline{A} \right)$ donc $\mathbb{P}(B)\mathbb{\geq P}(A)$

Exemple :

On tire une carte d’un jeu de 32 cartes, $\mathbb{P}$ est la probabilité uniforme sur $\Omega$ (8 cartes de chaque couleur, numérotées ici de 1 à 8).

On définit un évènement :

$A =$ « la carte tirée est un trèfle »

$B =$ « la carte tirée est un 2 »

On peut calculer :

• $\mathbb{P}(A) = \frac{\vert A\vert }{\vert \Omega\vert } = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

• $\overline{A}\ $: « la carte tirée n’est pas un trèfle »

Donc $\mathbb{P}\left( \overline{A} \right) = \frac{\left\vert \overline{A} \right\vert }{\vert \Omega\vert } = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

Et $\mathbb{P}\left( \overline{A} \right) = 1 - \mathbb{P}(A)$

• $A \cup B\ $: « la carte tirée est un trèfle ou un 2 »

\[\mathbb{P}(A \cup B) = \frac{\vert A \cup B\vert }{\vert \Omega\vert } = \frac{11}{32}\] \[\mathbb{P}(A \cup B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{+ P}(B)\mathbb{- P}(A \cap B) = \frac{8}{32} + \frac{4}{32} - \frac{1}{32} = \frac{11}{32}\]

Définition :

Soit $\mathbb{P}$ une probabilité sur $\Omega$.

Un évènement $A$ est dit :

• Négligeable si $\mathbb{P}(A) = 0$

• $\mathbb{P}$-presque sûr si $\mathbb{P}(A) = 1$

1. Probabilités sur un univers infini (dénombrable)

Soit $\Omega$ un univers infini dénombrable.

Définition : Probabilité sur un univers infini dénombrable

Une probabilité $\mathbb{P}$ sur $\Omega$ est une fonction $\mathbb{P:}\mathcal{P}(\Omega)\mathbb{\rightarrow R}$ telle que :

• $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega),\ 0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1$

• $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

• Pour toute suite d’évènements $\left( A_{n} \right)$ ($\forall n\mathbb{\in N,\ }A_{n}\mathcal{\in P}(\Omega)$) disjoints deux à deux : $\forall i,j\mathbb{\in N,\ }i \neq j,\ A_{i} \cap A_{j} = \varnothing$, on a

\[\mathbb{P}\left( \bigcup_{n\mathbb{\in N}}^{}A_{n} \right) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{\mathbb{P}\left( A_{n} \right)}\ \text{(}\text{σ}\text{-additivité)}\]

4. Probabilités conditionnelles et indépendance

Dans cette section, on considère un espace de probabilité $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$

Exemple :

On considère un jeu de 52 cartes sans les têtes (jeu de 40 cartes). On tire une carte au hasard dans ce jeu.

On s’intéresse aux évènements :

• $A =$ « La carte tirée est rouge »

• $B =$ « La carte tirée est paire »

• $C =$ « La carte tirée est $\geq 8$ »

Univers $\Omega = \left\lbrack \text{40 cartes} \right\rbrack $

$\mathbb{P}$ est la probabilité uniforme sur $\Omega$

Probabilités des trois évènements :

• $\mathbb{P}(A) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(B) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

• $\mathbb{P}(C) = \frac{12}{40} = \frac{3}{10}$

Question 1 : $Tapez\ une\ équation\ ici.$

Si on sait que $A$ est réalisé, quelle est la probabilité que $B$ se réalise aussi ?

• Si $A$ est réalisée, cela signifie qu’on a tiré l’une des 20 cartes rouges du jeu.

• La probabilité que $B$ se réalise aussi est la probabilité que la carte rouge est aussi paire

• $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

On retrouve $\frac{1}{2}\mathbb{= P}(B)$ donc le fait que $A$ ait été réalisé n’a pas impacté la probabilité que $B$ se réalise.

Question 2 :

Si $B$ est réalisé, quelle est la probabilité que $C$ se réalise ?

\[\frac{8}{20} = \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}\mathbb{= P}(C)\]

Probabilités conditionnelles

Définition : Probabilité conditionnelle

Soient $A$ et $B$ deux évènements tels que $\mathbb{P}(B) \neq 0$.

On appelle probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$, notée $\mathbb{P}\left( A \middle\vert B \right)$ ou $\mathbb{P}_{B}(A)$ la probabilité :

\[\mathbb{P}\left( A \middle\vert B \right) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}\]

Exemple :

\[\mathbb{P}\left( B \middle\vert A \right) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{10/40}{1/2} = \frac{1}{2}\] \[\mathbb{P}\left( C \middle\vert B \right) = \frac{\mathbb{P}(B \cap C)}{\mathbb{P}(B)} = \frac{8/40}{1/2} = \frac{2}{5}\]

Théorème : Formule des probabilités totales

Cas particulier : Soient $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$

\[\mathbb{P}(A)\mathbb{= P}\left( A \middle\vert B \right)\mathbb{+ P}\left( A \middle\vert \overline{B} \right)\]

Cas général : Soient \(A \in \mathcal{P}(\Omega)$ et $\left( C_{i} \right)_{i \in I}\) un système complet d’évènements (\(\forall i \neq j \in I,\ C_{i} \cap C_{j} = \varnothing,\ \bigcup_{i \in I}^{}C_{i} = \Omega\))

\[\mathbb{P}(A) = \sum_{i \in I}^{}{\mathbb{P}\left( A \middle\vert C_{i} \right)\mathbb{P}\left( C_{i} \right)}\]

Théorème : Formule de Bayes

Cas particulier : Soient $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$

\[\mathbb{P}\left( A \middle\vert B \right)\mathbb{P}(B)\mathbb{= P}\left( B \middle\vert A \right)\mathbb{P}(A)\]

Cas général : Soient $A \in \mathcal{P}(\Omega)$ et $\left( C_{i} \right)_{i \in I}$ un système complet d’évènements

\[\forall i \in I\mathbb{,\ P}\left( C_{i} \middle\vert A \right) = \frac{\mathbb{P}\left( A \middle\vert C_{i} \right)\mathbb{P}\left( C_{i} \right)}{\sum_{j \in I}^{}{\mathbb{P}\left( A \middle\vert C_{j} \right)\mathbb{P}\left( C_{j} \right)}}\]

Indépendance

Définition : Evènements indépendants

On dit que deux évènements $A$ et $B$ sont indépendants si $\mathbb{P}\left( A \middle\vert B \right)\mathbb{= P}(A)$, ou, de façon équivalente, $\mathbb{P}\left( B \middle\vert A \right)\mathbb{= P}(B)$

Proposition : Deux évènements $A,B \in \mathcal{P}(\Omega)$ sont indépendants si et seulement si $\mathbb{P}(A \cap B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{P}(B)$

Attention : L’indépendance n’est pas une notion ensembliste. La notion d’incompatibilité n’a rien à voir avec la notion d’indépendance.

Remarque : Si $A \cap B = \varnothing$, alors ils sont indépendants si et seulement si $\mathbb{P}(A) = 0$ ou $\mathbb{P}(B) = 0$

Exemple : Voir exemple en début de section

• $\mathbb{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}\mathbb{= P}(A)\mathbb{P}(B)$

Donc $A$ et $B$ sont indépendants.

• $\mathbb{P}\left( C \middle\vert B \right) = \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}\mathbb{= P}(C)$

Donc $B$ et $C$ ne sont pas indépendants.

• $\mathbb{P}(A \cap C) = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}\mathbb{= P}(A)\mathbb{\times P}(C)$

Donc $A$ et $C$ sont indépendants.

Proposition :

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors :

• $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants

• $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants

• $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants

Définition :

Une suite d’évènements \(\left( A_{i} \right)_{i \in I}\) est dite indépendante si \(\mathbb{P}\left( A_{i_{1}} \cap \ldots \cap A_{i_{k}} \right)\mathbb{= P}\left( A_{i_{1}} \right)\mathbb{\times \ldots \times P}\left( A_{i_{k}} \right)\)

Pour tout sous-ensemble d’indice $\left( i_{1},\ldots,i_{k} \right) \in I$

Cas particulier pour un triplet $(A,B,C)\ $:

\[\left\lbrack \begin{array}{r} \mathbb{P}(A \cap B \cap C)\mathbb{= P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C) \\ \mathbb{P}(A \cap B)\mathbb{= P}(A)\mathbb{P}(B) \\ \mathbb{P}(B \cap C)\mathbb{= P}(B)\mathbb{P}(C) \\ \mathbb{P}(C \cap A)\mathbb{= P}(C)\mathbb{P}(A) \end{array} \right.\]

Exemple :

On considère un lancer de deux dés.

On s’intéresse uniquement à la somme de deux dés.

\[X:\Omega \rightarrow \left. ⟦2,12 \right.⟧\]

On s’intéresse à la probabilité des événements « $X = k$ », $k \in ⟦2,12⟧$.

$X$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Probabilité	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Exemple :

On considère une urne avec 3 boules bleues, 5 boules vertes et 4 boules rouges.

On joue au jeu suivant : on tire 3 boules sans remise :

• Pour chaque boule bleue : on gagne 1€

• Pour chaque boule verte : pas d’effet

• Pour chaque boule rouge : on perd 1€

On pose :

$X:\Omega \rightarrow X(\Omega)$ le gain final. Gain final : $X : \Omega \rightarrow X(\Omega)$

$X$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
Probabilité	$\frac{4}{220}$	$\frac{30}{220}$	$\frac{58}{220}$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\frac{1}{220}$

Exemple :

On considère une urne avec 7 boules vertes et 3 boules rouges.

On joue au jeu suivant : on fait des tirages successifs sans remise :

• Si on tire une boule verte, on gagne un point

• Si on tire une boule rouge, le jeu est fini

On pose $X:\Omega \rightarrow X(\Omega)$ le nombre de points obtenus.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Probabilité	$\frac{3}{10}$	$\frac{7}{30}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{40}$	$\frac{1}{120}$

IV. Variables aléatoires réelles discrètes

Dans toute cette section, $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ est un espace de probabilité dénombrable.

1. Variable aléatoire

Voir exemples introductifs.

Définition :

On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application $X:\Omega\mathbb{\rightarrow R}$.

On dit qu’une variable $X$ est discrète si l’ensemble des valeurs possible de $X\ $: $X(\Omega)$ est dénombrable.

Remarque :

Si $\Omega$ est dénombrable, alors toute v.a.r. sur $\Omega$ est discrète.

Définition :

Soit $X$ une variable aléatoire sur $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$.

Pour tout $k \in X(\Omega)$, on note « $X = k$ » l’évènement $X^{- 1}(k)\mathcal{\in P}(\Omega)$

Où $X^{- 1}(k) = \left\lbrack \omega \in \Omega,\ X(\omega) = k \right\rbrack $

On définit de façon analogue les évènements « $X \leq k$ », « $X < k$ », « $X \geq k$ », « $X > k$ ».

Exemple :

Pour l’exemple où on regarde la somme de deux dés :

\[X^{- 1}(6) = \left\lbrack (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) \right\rbrack\]

Définition :

Soit $X$ une v.a.r. sur \(\left( \Omega\mathbb{,P} \right)\). On note \(\mathbb{P}_{X}\mathcal{:P}\left( X(\Omega) \right)\mathbb{\rightarrow R}\) définie par \(\forall B \in \mathcal{P}(\Omega),\ \mathbb{P}_{X}(B)\mathbb{= P}\left( X^{- 1}(B) \right)\mathbb{= P}\left( \left\lbrack \omega \in \Omega,\ X(\omega) \in B\ \right\rbrack \right)\)

On l’appelle loi de la variable aléatoire $X$. $\mathbb{P}_{x}$ est une probabilité sur $X(\Omega)$

Donner la loi d’une variable $X$, c’est donner 2 informations :

• Toutes les valeurs possibles de $X(\Omega)$

• La probabilité de chaque évènement « $X = k$ », $k \in X(\Omega)$

Voir tableaux donnés en exemples

Proposition :

Soit $X$ une v.a.r. sur $\Omega$ avec $X(\Omega) = \left\lbrack a_{i} \right\rbrack _{i \in I}$

Comme \(\mathbb{P}_{x}\) est une probabilité sur $X(\Omega)$ et l’ensemble des évènements « \(X = a_{i}\) » ($i \in I$) est un système complet d’évènements, on a :

\[\sum_{i \in I}^{}{\mathbb{P}\left( X = a_{i} \right)} = 1\]

2. Espérance

On appelle espérance d’une v.a.r. sa valeur moyenne sur un grand nombre d’itérations de l’expérience.

Définition :

Si $\Omega$ est fini et $X$ est une v.a.r. sur $\Omega$, on définit l’espérance de $X$ notée $\mathbb{E}(X)$ par :

\[\mathbb{E}(X) = \sum_{a \in X(\Omega)}^{}{a\mathbb{P}(X = a)}\]

En d’autres termes, si $\Omega = \left\lbrack a_{1},\ldots,a_{n} \right\rbrack $, alors :

\[\mathbb{E}(X) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{i}\mathbb{P}\left( X = a_{i} \right)}\]

Exemple :

1. Somme de deux dés :

\[\mathbb{E}(X) = 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + \ldots\] \[\mathbb{E}(X) = 7\]

1. Tirage de trois boules

\[\mathbb{E}(X) = - \frac{1}{4}\]

1. Tirages de boules vertes et rouges

\[\mathbb{E}(X) = 1.75\]

Définition :

Si $\Omega$ est infini dénombrable, et $X$ une v.a.r sur $\Omega$.

Si la série numérique $\sum_{\omega \in \Omega}^{}{\mathbb{P}\left( \left\lbrack \omega \right\rbrack \right)\left\vert X(\omega) \right\vert }$ converge, alors on dit que $X$ admet une espérance, ou encore que $X$ est intégrable.

On note $L^{1}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ l’ensemble des v.a.r. intégrables sur $\Omega$ pour la probabilité $\mathbb{P}$.

Si $X \in L^{1}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ alors

\[\mathbb{E}(X) = \sum_{a \in X(\Omega)}^{}{a\mathbb{P}(X = a)}\]

Proposition :

Soient $X$ et $Y$ deux v.a.r. sur $\Omega$ et $\lambda,\nu$ deux réels.

• Linéarité

Si $X$ et $Y$ sont intégrables, alors $\mathbb{E}(\lambda X + \mu y) = \lambda\mathbb{E}(X) + \mu\mathbb{E}(y)$

• $X \in L^{1} \Leftrightarrow \vert X\vert \in L^{1}$ et $\left\vert \mathbb{E}(X) \right\vert \mathbb{\leq E}\left( \vert X\vert \right)$

• Si $\forall\omega \in \Omega,\ X(\omega) \geq 0$, alors $\mathbb{E}(X) \geq 0$

• Si $\forall\omega \in \Omega,\ X(\omega) \leq Y(\omega)$ alors $\mathbb{E}(X)\mathbb{\leq E}(y)$

• Si $X$ est bornée, càd $\exists M \in \mathbb{R}_{+},\ \forall\omega \in \Omega,\ \left\vert X(\omega) \right\vert \leq M$, alors $X$ est intégrable

• Si $X$ est constante, càd $\exists k\mathbb{\in R}$, $\forall\omega \in \Omega,\ X(\omega) = k$, alors $\mathbb{E}(X) = k$

Remarque : En général, $\mathbb{E}(XY)\mathbb{\neq E}(X)\mathbb{E}(Y)$

Théorème : Théorème du transfert

Soient $(\Omega\mathbb{,P)}$ un espace de probabilité dénombrable, $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$ et $f\mathbb{:R \rightarrow R}$.

Si $X$ est intégrable et si la variable $Y = f(X)$ est aussi intégrable ($f \in L^{1}\left( X(\Omega),\mathbb{P}_{X} \right)$) ; alors :

\[\mathbb{E}\left( f(x) \right) = \sum_{a \in X(\Omega)}^{}{f(a)\mathbb{P}(X = a)}\]

4. Variance et écart-type

L’écart-type est une propriété qui « synthétise » le caractère dispersé/condensé des valeurs prises par $X$.

Définition :

On note $L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ l’ensemble des v.a.r. de carré intégrable, càd telle que $X^{2} \in L^{1}\left( \Omega\mathbb{,R} \right)$

Propriété :

$L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ est un s.e.v. de $L^{1}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$

Définition :

Soit $X \in L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$.

On appelle variance de $X$, notées $\mathbb{V}(X)$, la quantité :

\[\mathbb{V}(X)\mathbb{= E}\left( \left( X - \mathbb{E}(X) \right)^{2} \right)\]

Par le théorème du transfert, une définition équivalente est :

\[\mathbb{V}(X) = \sum_{a \in X(\Omega)}^{}{\left( a - \mathbb{E}(X) \right)^{2}\mathbb{P}(X = a)}\]

On appelle écart-type et on note $\sigma(X) = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$

Théorème : Théorème de Koenig-Huygens

Soit $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ un espace de probabilité dénombrable et $X$ une variable aléatoire $X \in L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$. On a :

\[\mathbb{V}(X)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right) - \left( \mathbb{E}(X) \right)^{2}\]

Par le théorème du transfert :

\[\mathbb{E}\left( X^{2} \right) = \sum_{a \in X(\Omega)}^{}{a^{2}\mathbb{P}(x = a)}\]

Proposition :

Soit $X \in L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$

• $\mathbb{V}(X) \geq 0$

• $\mathbb{V}(X) = 0 \Leftrightarrow \mathbb{P}\left( X = \mathbb{E}(X) \right) = 1$

La variance est nulle si et seulement si $X$ ne prend qu’une seule valeur (qui est donc son espérance)

Proposition :

Soient $X \in L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$, $\lambda,\mu\mathbb{\in R}$

• $\mathbb{V}(\lambda X) = \lambda^{2}\mathbb{V}(X)$ (homogénéité de degré 2)

• $\mathbb{V}(X + \mu)\mathbb{= V}(X)$ (invariance par translation)

La variance n’est pas linéaire. En général, $\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{\neq V}(X)\mathbb{+ V}(Y)$

Corollaire :

Soient $X \in L^{2}\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$, $\lambda,\mu\mathbb{\in R}$

\[\sigma(\lambda Χ + \mu) = \vert \lambda\vert \sigma(X)\]

Exemple :

1. Somme de deux dés

\[\sigma(X) \approx 2.4\]

1. Tirage de 3 boules

\[\sigma(X) \approx 1.19\]

1. Tirage de boules vertes et rouges

\[\sigma(X) \approx 1.67\] \[\sigma(X) \approx 1.67\]

V. Couple de variables aléatoires

On peut être amené à considérer deux variables aléatoires réelles pour une même expérience aléatoire

Exemple :

On considère un lancer de deux dés à 6 faces.

Soit $X$ la variable qui rend la somme des deux dés, $Y$ la variable qui rend le plus grand des deux dés.

\[X(\Omega) = \left. ⟦2,12 \right.⟧,\ Y(\Omega) = \left. ⟦1,6 \right.⟧\] \[(X,Y):\Omega \rightarrow \left. ⟦2,12 \right.⟧ \times \left. ⟦1,6 \right.⟧\] \[\omega \rightarrow \left( X(\omega),Y(\omega) \right)\]

Définition :

Soit $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ un espace de probabilité, $X$ et $Y$ deux v.a.r. sur $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$.

On appelle couple de v.a.r., et on note $(X,Y)$ la v.a.r. sur $\Omega$ donnée par

\[(X,Y):\Omega \rightarrow X(\Omega) \times Y(\Omega)\] \[\omega \rightarrow \left( X(\omega),Y(\omega) \right)\]

• Donner la loi de $Z = (X,Y)$, c’est donner $X(\Omega) \times Y(\Omega)$, soit toutes les valeurs que peut prendre $Z$, et

$\forall k \in X(\Omega),\forall j \in Y(\Omega)$, donner $\mathbb{P}\left( Z = (k,j) \right)$ soit $\mathbb{P}\left( X = k\ \text{et}\ Y = j \right)$

\(Y \backslash X\)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	\(\frac{1}{36}\)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)	0	0	0	0	0	0
4	0	0	0	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)	0	0	0	0
5	0	0	0	0	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)	0	0
6	0	0	0	0	0	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{18}\)	\(\frac{1}{36}\)

\[k\left( \begin{array}{r} n \\ k \end{array} \right) = \frac{kn!}{k!(n - k)!} = \frac{n}{k} \times k \times \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!} = n\left( \begin{array}{r} n - 1 \\ k - 1 \end{array} \right)\]

Définition :

Soit $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ un espace de probabilité et $(X,Y)$ un couple de variable distinctes sur $\Omega$.

On appelle lois marginales du couple $(X,Y)$ les lois de $X$ et $Y$.

\[\forall x \in X(\Omega)\mathbb{,\ P}(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)}^{}{\mathbb{P}\left( (X,Y) = (x,y) \right)}\] \[\forall y \in Y(\Omega)\mathbb{,P}(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)}^{}{\mathbb{P}\left( (X,Y) = (x,y) \right)}\]

Remarques :

• La définition d’une loi marginale repose sur le fait que $\left\lbrack \text{“}Y = y\text{“},\ y \in Y(\Omega) \right\rbrack $ forme un système complet d’évènements.

• Connaitre la loi du couple $(X,Y)$ suffit pour connaitre les lois de $X$ et de $Y$ mais l’inverse est faux.

Définition :

Soient $X$ et $Y$ deux variables distinctes sur $\Omega$ avec $\left( \Omega\mathbb{,P} \right)$ un espace de probabilité.

On dit que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes si :

$\forall x \in X(\Omega)$ et $\forall y \in Y(\Omega)$, $\mathbb{P}\left( (X,Y) = (x,y) \right)\mathbb{= P}(X = x)\mathbb{\times P}(Y = y)$

Proposition :

Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes, alors :

• $\mathbb{E}(XY)\mathbb{= E}(X)\mathbb{\times E}(Y)$

• $\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= V}(X)\mathbb{+ V}(Y)$

Preuve :

\[\mathbb{E}(XY) = \sum_{x \in X(\Omega),y \in Y(\Omega)}^{}{xy\mathbb{P}\left( X = x\ \text{et}\ Y = y \right)}\] \[\mathbb{E}(XY) = \sum_{x \in X(\Omega),y \in Y(\Omega)}^{}{xy\mathbb{P}(X = x)\mathbb{P}(Y = y)}\] \[\mathbb{E}(XY) = \left( \sum_{x \in X(\Omega)}^{}{x\mathbb{P}(X = x)} \right)\left( \sum_{y \in Y(\Omega)}^{}{y\mathbb{P}(Y = y)} \right)\] \[\mathbb{E}(XY)\mathbb{= E}(X)\mathbb{E}(Y)\]

Pour déterminer $\mathbb{V}(X + Y)$, calculons d’abord $\mathbb{E}\left( (X + Y)^{2} \right)$

\[\mathbb{E}\left( (X + Y)^{2} \right)\mathbb{= E}\left( X^{2} + 2XY + Y^{2} \right)\] \[\mathbb{E}\left( (X + Y)^{2} \right)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right) + 2\mathbb{E}(XY)\mathbb{+ E}\left( Y^{2} \right)\] \[\mathbb{E(}(X + Y)^{2}\mathbb{)) = E(}X²) + 2\mathbb{E(}X)\mathbb{E(}Y) + \mathbb{E(}Y²)\]

On en déduit que :

\[\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= E}\left( (X + Y)^{2} \right)\mathbb{- E}(X + Y)^{2}\] \[\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right) + 2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{+ E}\left( Y^{2} \right) - \left( \mathbb{E}(X)^{2} + 2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{+ E}(Y)^{2} \right)\] \[\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= E}\left( X^{2} \right)\mathbb{- E}(X)^{2}\mathbb{+ E}\left( Y^{2} \right)\mathbb{- E}(Y)^{2}\] \[\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= V}(X)\mathbb{+ V}(Y)\]

Remarque :

La réciproque est fausse.

Définition :

Soient $X$ et $Y$ deux variables distinctes sur $\Omega$.

La covariance de $X$ et $Y$, notée $Cov(X,Y)$, est :

\[Cov(X,Y)\mathbb{= E}\left( \left( X - \mathbb{E}(X) \right)\left( Y - \mathbb{E}(Y) \right) \right)\]

Propositions :

Soient $X$ et $Y$ deux variables distinctes sur $\Omega$.

• $Cov(X,Y)\mathbb{= E}(XY)\mathbb{- E}(X)\mathbb{E}(Y)$

• $Cov(X,X)\mathbb{= V}(X)$

• $\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= V}(X) + 2Cov(X,Y)\mathbb{+ V}(Y)$

• Si $X$ et $Y$ sont indépendantes alors $Cov(X,Y) = 0$

Remarque :

• Comme Koenig – Huygens pour la variance, la formule $Cov(X,Y)\mathbb{= E}(XY)\mathbb{- E}(X)\mathbb{E}(Y)$ est plus pratique pour les calculs.

• La réciproque de la quatrième proposition est fausse, on peut avoir $Cov(X,Y) = 0$ mais $X$ et $Y$ non indépendantes

Preuve :

• \[Cov(X,Y)\mathbb{= E}\left( \left( X - \mathbb{E}(X) \right)\left( Y - \mathbb{E}(Y) \right) \right)\mathbb{= E}\left( XY - \mathbb{E}(X)Y - \mathbb{E}(Y)X + \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \right)\mathbb{= E}(XY)\mathbb{- E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{- E}(Y)\mathbb{E}(X)\mathbb{+ E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{= E}(XY)\mathbb{- E}(X)\mathbb{E}(Y)\]

• Corollaire de la première proposition

• \[\mathbb{V}(X + Y)\mathbb{= E}\left( (X + Y)^{2} \right)\mathbb{- E}(X + Y)^{2}\mathbb{= E}\left( X^{2} \right) + 2\mathbb{E}(XY)\mathbb{+ E}\left( Y^{2} \right)\mathbb{- E}(X)^{2} - 2\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)\mathbb{- E}(Y)^{2}\mathbb{= V}(X) + 2Cov(X,Y)\mathbb{+ V}(Y)\]
• Corollaire de la proposition précédente

VI. Probabilités continues

1. Généralités

On appelle variable aléatoire continue une variable aléatoire qui prend un nombre indénombrable de valeurs, en particulier des variables telles que $X(\Omega) = I$ intervalle de $\mathbb{R}$ ou $X(\Omega) = \lbrack a,b\rbrack\mathbb{\subset R}$.

Définition :

On dit qu’une variable aléatoire réelle est continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle (borné ou non) de $\mathbb{R}$.

Pour définir la loi d’une v.a.r. continue, on introduit d’abord la notion de densité.

Définition :

Soit $f:\mathbb{R \rightarrow R}$, on dit que $f$ est une densité si elle vérifie :

• $\forall x \in \mathbb{R,\ }f(x) \geq 0$

• $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$

• $\int_{\mathbb{R}}^{}{f(t)dt} = 1$

Définition :

On dit que $X$ est une variable aléatoire continue de densité $f$ si $\forall a,b \in \mathbb{R,\ }a \leq b,\ $

\[\mathbb{P}(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b}{f(t)dt}\]

Cas particuliers :

\[\mathbb{P}(X \geq a) = \int_{a}^{+ \infty}{f(t)dt}\] \[\mathbb{P}(X \leq b) = \int_{- \infty}^{b}{f(t)dt}\]

Définition :

Soit $X$ une v.a.r. continue de densité $f$.

On appelle fonction de répartition de $X$ la fonction $F$ donnée par

\[\forall x \in \mathbb{R,\ }F(x) = P(X \leq x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t)dt}\]

Proposition :

Soit $X$ une variable aléatoire réelle de densité $f$ et de fonction de répartition $F$

• $F$ est continue et dérivable, avec $F^{‘} = f$

• \[\forall x\mathbb{\in R,\ }F(x) \geq 0\ \text{et}\ \left\lbrack \begin{array}{r} \lim_{x \rightarrow - \infty}{F(x)} = 0 \\ \lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x)} = 1 \end{array} \right.\]

• $F$ est croissante sur $\mathbb{R}$

• $\forall a,b\mathbb{\in R,\ P}(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$

Preuve :

• Corollaire de la définition de $F$

• Corollaire de la définition de $F$

• Déduit de la positivité de $f$

• Théorème fondamental de l’analyse

Définition :

Soit $X$ une v.a.r. continue.

• L’espérance de $X$, si elle existe, est donnée par :

\[\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}}^{}{tf(t)dt}\]

• La variance de $X$, si elle existe, est donnée par :

\[\mathbb{V}(X) = \int_{\mathbb{R}}^{}{t^{2}f(t)dt} - \left( \int_{\mathbb{R}}^{}{tf(t)dt} \right)^{2}\]

Et on écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{\mathbb{V}(X)}$

2. Variables aléatoires continues usuelles

A. Loi uniforme

Définition :

On dit qu’une v.a.r $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $\lbrack a,b\rbrack$, noté $X \hookrightarrow \mathcal{U}_{\lbrack a,b\rbrack}$, si la densité $f$ de $X$ est :

\[f:t \rightarrow \left\lbrack \begin{array}{r} \frac{1}{b - a}\ \text{si}\ t \in \lbrack a,b\rbrack \\ 0\ \text{sinon} \end{array} \right.\]

Proposition :

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}_{\lbrack a,b\rbrack},\ a < b\mathbb{\in R}$

• $\forall c,d\mathbb{\in R,\ }a \leq c < d \leq b$,

\[\mathbb{P}(c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d}{f(t)dt} = \int_{c}^{d}{\frac{1}{b - a}dt} = \frac{d - c}{b - a}\]

• $X$ admet une espérance et

\[\mathbb{E}(X) = \frac{a + b}{2}\]

• $X$ admet une variance et

\[\mathbb{V}(X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}\]

Preuve :

• Par définition :

\[\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}}^{}{tf(t)dt} = \int_{a}^{b}{tf(t)dt} = \int_{a}^{b}{t\frac{1}{b - a}dt} = \frac{1}{b - a}\left\lbrack \frac{1}{2}t^{2} \right\rbrack_{a}^{b} = \frac{b^{2} - a^{2}}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2}\]

• Commençons par calculer $\int_{a}^{b}{t^{2}f(t)dt}$

\[\int_{\mathbb{R}}^{}{t^{2}f(t)dt} = \int_{a}^{b}{t^{2}\frac{1}{b - a}dt} = \frac{1}{b - a}\left\lbrack \frac{1}{3}t^{3} \right\rbrack_{a}^{b} = \frac{b^{3} - a^{3}}{3(b - a)} = \frac{a^{2} + ab + b^{2}}{3}\] \[\text{Donc}\mathbb{\ V}(X) = \frac{a^{2} + ab + b^{2}}{3} - \left( \frac{a + b}{2} \right)^{2} = \frac{4a^{2} + 4ab + 4b^{2} - 3a^{2} - 6ab - 3b^{2}}{12} = \frac{b^{2} - 2ab + a^{2}}{12} = \frac{(b - a)^{2}}{12}\]

B. Loi exponentielle de paramètre $\lambda$

La loi exponentielle sert à modéliser des phénomènes « sans mémoire », par exemple, la durée de vie de phénomène sans usure et sans vieillissement (par exemple, ampoule, radioactivité).

Le paramètre $\lambda$ est tel que la durée de vie moyenne du phénomène est $\frac{1}{\lambda}$

Définition :

On dit qu’une v.a.r. continue $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$, notée $X\mathcal{\hookrightarrow E}(\lambda)$, si la densité de $X$ est :

\[f:t \rightarrow \left\lbrack \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ t < 0 \\ \lambda e^{- \lambda t}\ \text{si}\ t \geq 0 \end{array} \right.\]

Remarque :

On a bien défini une densité puisque $\forall\lambda > 0$, $\int_{\mathbb{R}}^{}{f(t)dt} = \int_{0}^{+ \infty}{\lambda e^{- \lambda t}dt} = \lambda\left\lbrack \frac{e^{- \lambda t}}{- \lambda} \right\rbrack_{0}^{+ \infty} = 1$

Proposition :

Soit $X\mathcal{\hookrightarrow E}(\lambda),\ \lambda > 0$

• La fonction de répartition de $X$ est :

\[F(x) = 1 - e^{- \lambda x}\]

• $X$ admet une espérance et $\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}$

• $X$ admet une variance et $\mathbb{V}(X) = \frac{1}{\lambda^{2}}$

Preuve :

• Calcul de l’espérance

\[\mathbb{E}(X) = \int_{\mathbb{R}}^{}{tf(t)dt} = \int_{0}^{+ \infty}{t\lambda e^{- \lambda t}dt} =^{IPP}\lambda\left( \left\lbrack \frac{te^{- \lambda t}}{- \lambda} \right\rbrack_{0}^{+ \infty} - \int_{0}^{+ \infty}{\frac{e^{- \lambda t}}{- \lambda}dt} \right) = \int_{0}^{+ \infty}{e^{- \lambda t}dt} = \left\lbrack \frac{e^{- \lambda t}}{- \lambda} \right\rbrack_{0}^{+ \infty} = \frac{1}{\lambda}\]

• Calcul de $\int_{\mathbb{R}}^{}{t^{2}f(t)dt}$

\[\int_{\mathbb{R}}^{}{t^{2}f(t)dt} = \int_{0}^{+ \infty}{t^{2}\lambda e^{- \lambda t}dt} = \lambda\left( \left\lbrack \frac{t^{2}e^{- \lambda t}}{- \lambda} \right\rbrack_{0}^{+ \infty} - \int_{0}^{+ \infty}{\frac{2te^{- \lambda t}}{- \lambda}dt} \right) = 2\int_{0}^{+ \infty}{te^{- \lambda t}dt} = \frac{2}{\lambda}\mathbb{E}(X) = \frac{2}{\lambda^{2}}\]

Donc :

\[\mathbb{V}(X) = \frac{2}{\lambda^{2}} - \left( \frac{1}{\lambda} \right)^{2} = \frac{1}{\lambda^{2}}\]

Proposition :

Soit $X\mathcal{\hookrightarrow E}(\lambda),\ \lambda > 0$

Pour tout $T$ et $x\mathbb{\in R}$,

\[\mathbb{P}\left( X \leq T + x \middle\vert X \geq T \right)\mathbb{= P}(X \leq x)\]

(La loi est sans mémoire).

Preuve :

Par la définition des probabilités conditionnelles :

\[\mathbb{P}\left( X \leq T + x \middle\vert X \geq T \right) = \frac{\mathbb{P}(X \leq T + x \cap X \geq T)}{\mathbb{P}(X \geq T)} = \frac{\mathbb{P}(T \leq X \leq T + x)}{\mathbb{P}(X \geq T)}\] \[\mathbb{P}\left( X \leq T + x \middle\vert X \geq T \right) = \frac{F(T + x) - F(T)}{1 - F(T)} = \frac{1 - e^{- \lambda(T + x)} - \left( 1 - e^{- \lambda T} \right)}{1 - \left( 1 - e^{- \lambda T} \right)} = \frac{e^{- \lambda T} - e^{- \lambda T - \lambda x}}{e^{- \lambda T}} = 1 - e^{- \lambda x} = F(x)\mathbb{= P}(X \leq x)\]

C. Loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^{2}$

Omniprésente dans les sciences naturelles, elle modélise des phénomènes qui sont conséquences d’une multitude de mécanismes élémentaires.

Définition :

On dit qu’une variable $X$ suit une loi Normale de paramètres $\mu$ et $\sigma^{2}$, $\mu\mathbb{\in R}$ et $\sigma\mathbb{\in R}$, notée $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu,\sigma^{2} \right)$ si la densité de $X$ est :

\[f:t \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{- \frac{(t - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\]

Cas particulier : On appelle loi normale centrée réduite la loi $\mathcal{N}(0,1)$ de densité gaussienne :

\[f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- t^{2}}\]

Proposition :

Si $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu,\sigma^{2} \right)$ alors :

• $X$ admet une espérance et $\mathbb{E}(X) = \mu$

• $X$ admet une variance et $\mathbb{V}(X) = \sigma^{2}$

Proposition :

• Si $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu,\sigma^{2} \right)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu^{‘},{\sigma^{‘}}^{2} \right)$, alors la variable $Z = X + Y$ suit une loi normale et :

\[Z \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu + \mu^{'},\ \sigma^{2} + {\sigma^{'}}^{2} \right)\]

• Si $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left( \mu,\sigma^{2} \right)$ alors la variable $Y = \frac{X - \mu}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite.

• Si $X \hookrightarrow \mathcal{N}(0,1)$ et $\varphi$ est sa fonction de répartition :

• $\forall x\mathbb{\in R,\ }\varphi(x) + \varphi( - x) = 1$

• $\forall x > 0,\ \mathbb{P}\left( \vert X \vert \leq x \right) = 2\varphi(x) - 1$