CM Intégration et probabilités

Chapitre 1 : Intégration

I. Intégrale généralisée

1. Notion d’intégrale généralisée

Définition :

Soient $- \infty \leq a < b \leq + \infty$ et $f$ une fonction continue (ou continue par morceaux) sur $\rbrack a,b\lbrack$. On appelle intégrale impropre (ou généralisée) de $f$ sur $\rbrack a,b\lbrack$ l’intégrale :

\[\int_{a}^{b}{f(t)dt}\]

Notations :

\[\int_{a}^{b}{f(t)dt}\ \text{ou}\ \int_{a}^{b}f\]

Intégrale généralisée : Borne supérieure

On considère les intervalles $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack$

Toutes les définitions et propriétés peuvent être définies de façon analogue dans le cas d’un intervalle $\rbrack a,b\rbrack$ avec $a \in \lbrack - \infty\ ;b\lbrack$

Définition :

Soit $f$ une fonction continue de $\lbrack a,b\lbrack$ dans $\mathbb{R}$. Soit $F$ la fonction définie par :

\[F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}\]

Si $\lim_{x \rightarrow b^{-}}{F(x)}$ existe, alors on dit que $\int_{a}^{b}f$ est convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Donner la nature d’une intégrale est dire si elle est convergente ou divergente.

Exemple :

1. Déterminer la nature de $\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$

Pour tout $x \in \lbrack 0,1\lbrack$, on note $F:x \rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$.

On a $F(x) = \int_{0}^{x}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt} = \left\lbrack - 2\sqrt{1 - t} \right\rbrack_{0}^{x} = - 2\sqrt{1 - x} + 2$ et $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}{F(x)} = 2$

$F$ admet une limite quand $x \rightarrow 1^{-}$ donc $\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt}$ est convergente

\[\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - t}}dt} = 2\]

1. Déterminer la nature $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$

Pour tout $x \in \rbrack 1\ ; + \infty\lbrack$, on pose $F\ :x \rightarrow \int_{1}^{x}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$

On a $F(x) = \int_{1}^{x}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt} = \left\lbrack 2\sqrt{t} \right\rbrack_{1}^{x} = 2\sqrt{x} - 2$ et $\lim_{x \rightarrow + \infty}{F(x)} = + \infty$ donc l’intégrale $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{\sqrt{t}}dt}$ est divergente.

Proposition :

Soit $f$ une fonction continue sur $\lbrack a,b\lbrack$.

\[\forall c \in \lbrack a,b\lbrack,\ \text{la nature de}\ \int_{c}^{b}f\ \text{ne dépend pas de}\ c\]

Remarque :

La nature ne dépend pas de $c$ mais en cas de convergence la valeur en dépend.

Intégrale généralisée : Intervalle quelconque

Définition :

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ ($\overline{\mathbb{R}}\mathbb{= R \cup}\left\lbrace - \infty, + \infty \right\rbrace $).

Soit $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$

On dit que l’intégrale généralisée $\int_{a}^{b}f$ converge s’il existe un $c \in \rbrack a,b\lbrack$ tel que $\int_{a}^{c}f$ et $\int_{c}^{b}f$ convergent.

Dans le cas contraire, on dit que $\int_{a}^{b}f$ diverge.

La nature de l’intégrale ne dépend pas du $c$.

Remarque :

On définit par convention $\forall a\mathbb{\in R,}\int_{a}^{a}f = 0,\ \int_{b}^{a}f = - \int_{a}^{b}f$

Exemples :

…

Remarque :

Si $f$ est continue sur $\lbrack a,c\lbrack \cup \rbrack c,b\rbrack$ et $\int_{a}^{c}f$ et $\int_{c}^{b}f$ convergent alors $\int_{a}^{b}f$ converge.

Propriété : Linéarité de l’intégration

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\rbrack a,b\lbrack$ ($a,b\mathbb{\in R,\ }a < b$). Soit $\lambda\mathbb{\in R}$

Si $\int_{a}^{b}{\ f}$ et $\int_{a}^{b}g$ convergent alors $\int_{a}^{b}{\lambda f + g}$ converge et

\[\int_{a}^{b}{\lambda f + g} = \lambda\int_{a}^{b}f + \int_{a}^{b}g\]

Remarque :

La réciproque est fausse. On peut avoir $\int_{a}^{b}{\lambda f + g}$ convergente mais $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{a}^{b}g$ divergentes.

Proposition : Prolongement par continuité

Soit $a,b\mathbb{\in R}$ et $f$ une fonction continue sur $\lbrack a,b\lbrack$

Si $f$ admet un prolongement par continuité en $b$, càd il existe une fonction $\widetilde{f}$ continue sur $\lbrack a,b\lbrack$ telle que :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} \forall x \in \lbrack a,b\lbrack,\ f(x) = \widetilde{f}(x) \\ \lim_{x \rightarrow b^{-}}{f(x)} = \widetilde{f}(b) \end{array} \right.\]

Alors $\int_{a}^{b}f$ converge et $\int_{a}^{b}f = \int_{a}^{b}\widetilde{f}$

Exemple :

\[\int_{0}^{1}{\frac{\sin(t)}{t}dt}\]

$f:t \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}$ est continue sur $\rbrack 0,1\rbrack$ et $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{\sin(t)}{t} = 1$ donc $f$ est prolongeable par continuité en

\[\widetilde{f}:t \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \frac{\sin(t)}{t}\ \text{si}\ t \in \text{[}0,1\text{[} \\ 1\ \text{si}\ t = 0 \end{array} \right.\]

2. Intégrales généralisées usuelles

Proposition : Intégrale de Riemann

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$

\[\text{L'intégrale}\ \int_{0}^{1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\] \[\text{L'intégrale}\ \int_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha > 1\]

Démonstration :

…

Corollaire :

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$. Soit $a,b \in \mathbb{R}_{+}^{*}$

\[\int_{a}^{b}{\frac{1}{(t - a)^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\] \[\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b - t)^{\alpha}}dt}\ \text{converge si et seulement si}\ \alpha < 1\]

Proposition : Intégrale logarithmique

L’intégrale $\int_{0}^{1}{\ln(t)dt}$ converge et $\int_{0}^{1}{\ln(t)dt} = - 1$

L’intégrale $\int_{1}^{+ \infty}{\ln(t)dt}\ \text{diverge}$

Démonstration :

Calcul direct. Une primitive de $t \rightarrow \ln(t)$ est $t \rightarrow t\ln(t) - t$

Proposition : Intégrale exponentielle

Soit $\alpha\mathbb{\in R}$

L’intégrale $\int_{0}^{+ \infty}{e^{- \alpha t}dt}$ converge si et seulement si $\alpha > 0$

Démonstration : Calcul direct

3. Intégrales de fonctions de signe constant

Dans toute cette partie, on considère un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack$, $a\mathbb{\in R}$

Toutes les propositions peuvent être écrites de façon analogue pour des intervalles $\rbrack a,b\rbrack$ ou $\rbrack a,b\lbrack$

Proposition : Monotonie de l’intégrale de fonctions positives

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\lbrack a,b\lbrack$.

L’intégrale $\int_{a}^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $F\ :x \rightarrow \int_{a}^{x}f$ est majorée sur $\lbrack a,b\lbrack$

Démonstration :

…

Théorème : Comparaison des intégrales de fonctions positives

Soit un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack,$ $a\mathbb{\in R}$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $\lbrack a,b\lbrack$

Si $\forall t \in \lbrack a,b\lbrack,\ f(t) \leq g(t)$, alors :

• Si $\int_{a}^{b}g$ converge alors $\int_{a}^{b}f$ converge

• Si $\int_{a}^{b}f$ diverge alors $\int_{a}^{b}g$ diverge

Démonstration :

…

Remarque :

• Si $f$ et $g$ sont négatives sur $\lbrack a,b\lbrack$, alors la propriété reste vraie en inversant les inégalités

• Le résultat reste vrai si les hypothèses sont vérifiées sur un voisinage de $b$

Exemples :

…

Lemme de Riemann :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

S’il existe $\alpha < 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l\mathbb{\in R}$, alors $\int_{0}^{1}f$ converge.

S’il existe $\alpha \geq 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)}$ existe et $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l \neq 0$, alors $\int_{0}^{1}f$ diverge.

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\lbrack 1\ ; + \infty\lbrack$

S’il existe $\alpha > 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow + \infty}{t^{\alpha}f(t)} = l\mathbb{\in R}$, alors $\int_{1}^{+ \infty}f$ converge.

S’il existe $\alpha \leq 1$ tel que $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)}$ existe et $\lim_{t \rightarrow 0}{t^{\alpha}f(t)} = l \neq 0$, alors $\int_{1}^{+ \infty}f$ diverge.

Théorème : Equivalence par l’intégrale de fonction de signe constant

Soit un intervalle $\lbrack a,b\lbrack$ avec $b \in \rbrack a\ ; + \infty\rbrack,\ a\mathbb{\in R}$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\lbrack a,b\lbrack$, de signe constant et non-nulles au voisinage de $b$.

Si $f(t)\ \sim_{t \rightarrow b}\ g(t)$, alors $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{a}^{b}g$ sont de même nature.

Corollaire du théorème de comparaison : Condition nécessaire de convergence

Soit $f$ une fonction continue sur $\lbrack a, + \infty\lbrack$ et $a\mathbb{\in R}$

Si $\lim_{t \rightarrow + \infty}{f(t)} \neq 0$, alors $\int_{a}^{+ \infty}f$ diverge.

Exemple :

\[\int_{1}^{+ \infty}{\left( e^{6} - \left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t} \right)dt}\] \[\text{Posons}\ f:t \rightarrow e^{6} - \left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t}\]

Cherchons un équivalent de $f$ lorsque $t \rightarrow + \infty$.

\[\left( 1 + \frac{3}{t} \right)^{2t} = e^{2t\ln\left( 1 + \frac{3}{t} \right)} = e^{2t\left( \frac{3}{t} - \frac{1}{2}\left( \frac{3}{t} \right)^{2} + o\left( \frac{1}{t^{2}} \right) \right)} = e^{6 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)}\] \[f(t) = e^{6} - e^{6 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)} = e^{6}\left( 1 - e^{- \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)} \right) = e^{6}\left( 1 - \left( 1 - \frac{9}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right) \right) \right) = \frac{9e^{6}}{t} + o\left( \frac{1}{t} \right)\] \[\text{On en déduit que}\ f(t)\sim_{t \rightarrow + \infty}\frac{9e^{6}}{t} = g(t)\ \text{où}\ g\ \text{est une fonctions de signe constant}\ ( > 0)\text{ et non-nulle}\]

Or $\int_{1}^{+ \infty}g$ diverge car intégrale de Riemann avec $\alpha = 1 \leq 1$

Donc, d’après le théorème d’équivalence.

4. Calcul intégral

Proposition : Relation de Chasles

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Si $\int_{a}^{b}f$ converge, alors $\forall c \in \rbrack a,b\lbrack,\ \int_{a}^{b}f = \int_{a}^{c}f + \int_{c}^{b}f$

Proposition : Changement de variable

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et $f$ une fonction continue sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Soit $\varphi:\rbrack\alpha,\beta\lbrack,\ \rbrack a,b\lbrack$ est une bijection de classe $C^{1}$ sur $\rbrack a,b\lbrack$

Alors $\int_{a}^{b}f$ et $\int_{\alpha}^{\beta}{f\left( \varphi(u) \right)\varphi^{‘}(u)du}$ sont de même nature. En cas de convergence,

\[\int_{a}^{b}f = \int_{\alpha}^{\beta}{f\left( \varphi(u) \right)\varphi^{'}(u)du}\]

Remarque :

Si $\varphi$ est strictement monotone sur $\rbrack\alpha,\beta\lbrack$, alors elle est bijective.

Si $\varphi$ est croissante ($\varphi^{‘}(u) > 0$), $\varphi(\alpha) = a$ et $\varphi(\beta) = b$

Si $\varphi$ est décroissante ($\varphi^{‘}(u) < 0$), $\varphi(\alpha) = b$ et $\varphi(\beta) = a$

Exercice :

\[\text{Calculer}\ \int_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt}\]

Avec le changement de variable $u = t^{2}$

La fonction $\varphi\ :u \rightarrow \sqrt{u}$ est bien bijective est $C^{1}$ sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

\[\varphi^{'}(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}},\ \varphi(0) = 0,\ \varphi(1) = 1\]

On s’intéresse à l’intégrale :

\[\int_{0}^{1}{\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{1 - u}} \times \frac{1}{2\sqrt{u}}du} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - u}}du}\]

On reconnait une intégrale de Riemann en 0 avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ donc $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1 - u}}$ converge.

Alors :

\[\int_{0}^{1}{\frac{t}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt} = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{1 - u}}du} = \left\lbrack - \sqrt{1 - u} \right\rbrack_{0}^{1} = 1\]

Proposition : Intégration par parties

Soient $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$ et deux fonctions $f$ et $g$ deux fonctions $C^{1}$ sur $\rbrack a,b\lbrack$.

Si le produit $fg$ admet des limites en $a$ et $b\ $:

$\lim_{t \rightarrow a^{+}}{f(t)g(t)} = l_{a}\mathbb{\in R}$ et $\lim_{t \rightarrow b^{-}}{f(t)g(t)} = l_{b}\mathbb{\in R}$, alors :

Alors $\int_{a}^{b}{f^{‘}g}$ et $\int_{a}^{b}{fg^{‘}}$ sont de même nature et

\[\int_{a}^{b}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{fg^{'}}\]

Démonstration :

Soient $\alpha,\beta\mathbb{\in R}$ tels que $a < \alpha < \beta < b$.

Les fonctions $f$ et $g$ sont $C^{1}$ sur $\lbrack\alpha,\beta\rbrack$ donc on peut faire une intégration par parties sur ce segment :

\[\int_{\alpha}^{\beta}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{\alpha}^{\beta} - \int_{\alpha}^{\beta}{fg^{'}}\]

Si $\lim_{\alpha \rightarrow a^{+}}{f(\alpha)g(\alpha)}$ et $\lim_{\beta \rightarrow b^{-}}{f(\beta)g(\beta)}$ existent toutes les deux, alors $\int_{a}^{b}{f^{‘}g}$ et $\int_{a}^{b}{fg^{‘}}$ ont la même nature puisque leur somme est un nombre réel $( < + \infty)$.

Si elles convergent, on peut passer à la limite dans l’égalité :

\[\int_{a}^{b}{f^{'}g} = \lbrack fg\rbrack_{a}^{b} - \int_{a}^{b}{fg^{'}}\]

Exemple :

\[\int_{0}^{+ \infty}{te^{- t}dt}\]

5. Fonctions intégrables

Dans cette section, $I$ est un intervalle, $a$ et $b$ sont ses bornes inférieures et supérieures ($\in \overline{\mathbb{R}}$).

Définition :

Soit $f$ une fonction continue sur $I$.

On dit que $f$ est intégrable sur $I$ si $\int_{a}^{b}\vert f\vert $ converge.

Attention :

$\int_{a}^{b}f$ convergente n’implique pas que $f$ est intégrable.

Proposition : Inégalité triangulaire

Soit $I$ un intervalle et $f$ continue et intégrable sur $I$. On a :

\[\left\vert \int_{I}^{}f \right\vert \leq \int_{I}^{}\vert f\vert\]

Démonstration :

On peut décomposer toute fonction continue $f$ de manière unique en sa partie positive $f_{+}$ et sa partie négative $f_{-}\ $: $f = f_{+} - f_{-}$ avec $f_{\pm} > 0$

\[\left\vert \int_{I}^{}f \right\vert = \left\vert \int_{I}^{}f_{+} - \int_{I}^{}f_{-} \right\vert \leq \left\vert \int_{I}^{}f_{+} \right\vert + \left\vert \int_{I}^{}f_{-} \right\vert = \int_{I}^{}f_{+} + \int_{I}^{}f_{-} = \int_{I}^{}{f_{+} + f_{-}} = \int_{I}^{}\vert f\vert\]

Exemples :

$t \rightarrow e^{- t}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_{+}$

$t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}$ est intégrable sur $\lbrack 1\ ; + \infty\lbrack$ et non-intégrable sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$

$t \rightarrow \frac{\sin\left( e^{t} \right)}{1 + t^{2}}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ par équivalence avec une inégalité de Riemann convergente.

Proposition :

Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Si $f$ est intégrable, alors $\int_{I}^{}f$ converge.

Attention : La réciproque est fausse.

Proposition :

L’ensemble des fonctions continues et intégrables sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel noté $L^{1}\left( I,\mathbb{K} \right)$

Proposition :

Soient $f$ et $g \in L^{1}\left( I\mathbb{,R} \right)$.

• Si $f$ est positive sur $I$, alors $\int_{I}^{}f \geq 0$

• Si $\forall t\mathbb{\in R}$, $f(t) \leq g(t)$, alors $\int_{I}^{}f \leq \int_{I}^{}g$

Proposition : Stricte positivité

Soit $f \in L^{1}\left( I\mathbb{,R} \right)$.

$\int_{I}^{}\vert f\vert = 0 \Leftrightarrow f(t) = 0\ \forall t\mathbb{\in R}$ (f est la fonction nulle).

Démonstration : Par l’absurde

Supposons qu’il existe $f$ qui n’est pas la fonction nulle sur $I$ mais telle que $\int_{I}^{}\vert f\vert = 0$

Alors $\exists c \in I,\ f(c) = m \neq 0$

Par continuité, $\forall\varepsilon > 0,\exists\delta > 0,\ \vert t - c\vert < \delta \Rightarrow f(t) \geq m - \varepsilon$

\[\int_{I}^{}\vert f\vert = \int_{c - \delta}^{c + \delta}\vert f\vert + \int_{I\backslash\lbrack c - \delta,c + \delta\rbrack}^{}\vert f\vert\] \[\int_{I}^{}\vert f\vert \geq \int_{c - \delta}^{c + \delta}{(m - \varepsilon)dt} = 2\delta(m - \varepsilon) > 0\ \text{(pour}\ \varepsilon\ \text{assez petit})\ \text{donc}\] \[\int_{I}^{}\vert f\vert > 0\]

Ce qui est absurde.

Théorème de comparaison :

Soient $a\mathbb{\in R,}b \in \rbrack a, + \infty\rbrack$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Si $g$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$ et $f(t) = Ο_{t \rightarrow b^{-}}\left( g(t) \right)$ alors $f$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Si $g$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$ et $f(t) = o_{t \rightarrow b^{-}}\left( g(t) \right)$ alors $f$ est intégrable sur $\lbrack a,b\lbrack$.

Remarque : On peut écrire en analyse ce théorème sur un intervalle de la forme $\rbrack a,b\rbrack,b\mathbb{\in R,}a \in \lbrack - \infty,b\rbrack$.

Exemple :

\[\text{Etudions l’intégrabilité de}\ t \rightarrow \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}}\] \[\text{Notons}\ f:t \rightarrow \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}}\]

$f$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule jamais.

On peut remarquer que $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}} = \lim_{t \rightarrow 0}\frac{t^{2}}{t^{2}} = 1$ car $\sin(t)\ \sim_{t \rightarrow 0}\ t$

Donc $f$ est prolongeable par continuité en 0 donc intégrable au voisinage de 0.

De plus, pour $t$ grand,

\[\left\vert \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{t^{2}}\ \text{donc}\ f(t) =_{t \rightarrow + \infty}Ο\left( \frac{1}{t^{2}} \right)\] \[\text{Or}\ t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}\ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\ \text{comme intégrale de Riemann avec}\ \alpha = 2 > 1\]

Par le théorème de comparaison, on en déduit que $f$ est intégrable.

Exemple :

\[\text{Etudions l'intégrabilité de}\ f:t \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}\ \text{sur}\ \rbrack 0; + \infty\lbrack.\]

$f$ est prolongeable par continuité en 0 : $\lim_{t \rightarrow 0^{+}}{f(t)} = 1$

Donc $f$ est intégrable au voisinage de 0.

Pour $t \in \left\lbrack \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4} \right\rbrack,$

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \sin(t) \leq 1\] \[\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{3\pi}{4}\] \[\frac{4}{3\pi\sqrt{2}} \leq \frac{\sin(t)}{t} \leq \frac{4}{\pi}\] \[\int_{0}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} + \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}\] \[\int_{0}^{\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} \geq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt} \geq \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{4}{3\pi\sqrt{2}}dt} = \frac{4}{3\pi\sqrt{2}}\left( \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

Généralisation : Soit $k\mathbb{\in N}$ et $t \in \left\lbrack k\pi + \frac{\pi}{4};k\pi + \frac{3\pi}{4} \right\rbrack$

\[\frac{1}{\sqrt{2}} \leq \left\vert \sin(t) \right\vert \leq 1\] \[k\pi + \frac{\pi}{4} \leq t \leq k\pi + \frac{3\pi}{4}\] \[\frac{4}{\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)} \leq \left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert\]

Ainsi, $\forall N\mathbb{\in N}$

\[\int_{0}^{N\pi}\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert = \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi}^{(k + 1)\pi}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}} \geq \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi + \frac{\pi}{4}}^{k\pi + \frac{3\pi}{4}}{\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert dt}} \geq \sum_{k = 0}^{N - 1}{\int_{k\pi + \frac{\pi}{4}}^{k\pi + \frac{3\pi}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)}dt}} = \sum_{k = 0}^{N - 1}\frac{\pi}{2\sqrt{2}\left( k\pi + \frac{3\pi}{4} \right)}\]

On reconnait un équivalent de la série harmonique, qui diverge.

Donc $\lim_{N \rightarrow + \infty}{\int_{0}^{N\pi}\left\vert \frac{\sin(t)}{t} \right\vert } = + \infty$

On en conclut que $f$ n’est pas intégrable sur $\rbrack 0\ ; + \infty\lbrack$

Etudions la nature de $\int_{0}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$

\[f(t) \rightarrow \frac{\sin(t)}{t}\ \text{est prolongeable par continuité en}\ 0\ \text{donc son intégrale au voisinage de 0}\ \text{converge}\]

• Intégration par parties sur $\lbrack 1; + \infty\lbrack$

\[u^{'}(t) = \sin(t),\ \ u(t) = - \cos(t)\] \[v(t) = \frac{1}{t},\ \ v^{'}(t) = - \frac{1}{t^{2}}\]

On a :

\[\lim_{t \rightarrow 1}{- \frac{\cos(t)}{t}} = - \cos(1)\mathbb{\in R,}\lim_{t \rightarrow + \infty}{- \frac{\cos(t)}{t}} = 0 \in \mathbb{R}\]

On en déduit que $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ et $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\cos(t)}{t^{2}}dt}$ sont de même nature.

\[\text{Or}\ \left\vert \frac{\cos(t)}{t^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{t^{2}}\ \text{et}\ t \rightarrow \frac{1}{t^{2}}\ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\ \text{donc par comparaison}\ t \rightarrow \left\vert \frac{\cos(t)}{t^{2}} \right\vert \ \text{est intégrable sur}\ \lbrack 1; + \infty\lbrack\]

On en déduit que $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\cos(t)}{t^{2}}dt}$ converge donc $\int_{1}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ converge.

Comme $\int_{0}^{1}{\frac{\sin(t)}{t}dt}$ converge par prolongement par continuité, on en conclut que :

\[\int_{0}^{+ \infty}{\frac{\sin(t)}{t}dt}\ \text{converge}\]

II. Intégrale à paramètre

Définition : On appelle intégrale à paramètre les intégrales du type :

\[\int_{I}^{}{f(t,x)dt}\]

Où $f\mathbb{:R \times}A\mathbb{\rightarrow R}$, $x \in A$ est appelé paramètre de l’intégrale.

On s’intéresse aux propriétés de la fonction $x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$

Le domaine de définition de cette fonction est l’ensemble des $x$ tels que $\int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ converge.

Théorème : Convergence dominée pour une limite

Soient $I$ et $A$ deux intervalles, $a \in \overline{A},\ f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall x \in A,$ la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $I$

• $\forall t \in I,\lim_{x \rightarrow a}{f(t,x)} = l(t)\mathbb{\in R}$

• La fonction $t \rightarrow l(t)$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction intégrable $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ telle que $\forall(t,x) \in I \times A,\ \left\vert f(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors $l$ est intégrable sur $I$ et $\lim_{x \rightarrow a}{\int_{I}^{}{f(t,x)dt}} = \int_{I}^{}{l(t)dt}\left( = \int_{I}^{}{\lim_{x \rightarrow a}{f(t,x)dt}} \right)$

Corollaire : Convergence dominée pour les suites de fonctions

Soient $I$ intervalle de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I\mathbb{\rightarrow R}$. Soit $f:I\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ est continue sur $I$

• $\left( f_{n} \right)$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $I$

• $f$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction intégrable $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ telle que $\forall t \in I,\ \forall n\mathbb{\in N,}\left\vert f_{n}(t) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors $f$ est intégrable sur $I$ et $\lim_{n \rightarrow + \infty}{\int_{I}^{}{f_{n}(t)dt}} = \int_{I}^{}{f(t)dt\ }$

Exemple :

\[\text{Calculer}\lim_{x \rightarrow 1}{\int_{0}^{2}{\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}dt}}\]

Utilisons le théorème de convergence dominée : soit $f\ :(t,x) \rightarrow \frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}$ définie sur $\lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack 0,1\rbrack$

Pour $x \in \lbrack 0,1\rbrack$ fixé, la fonction $t \rightarrow \frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}$ est continue sur $\lbrack 0,1\rbrack$ car l’exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$.

Pour $t \in \lbrack 0,2\rbrack$ fixé, $\lim_{x \rightarrow 1}{f(t,x)} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}} = \frac{e^{- t}}{2} = l(t)\mathbb{\in R}$

La fonction $l\ :t \rightarrow \frac{e^{- t}}{2}$ est continue sur $\lbrack 0,2\rbrack$

Posons $\varphi\ :t \rightarrow 1$. $\phi$ est intégrable sur $\lbrack 0,2\rbrack$ et $\forall t \in \lbrack 0,2\rbrack,\forall x \in \lbrack 0,1\rbrack,$

\[\left\vert f(t,x) \right\vert = \frac{e^{- tx}}{1 + x^{2}} \leq 1 \leq \varphi(t)\]

Conclusion : la fonction $l:t \rightarrow \frac{e^{- t}}{2}$ est intégrable et :

\[\lim_{x \rightarrow 1}{\int_{0}^{2}{\frac{e^{- tx^{2}}}{1 + x^{2}}dt}} = \int_{0}^{2}{\frac{e^{- t}}{2}dt} = \frac{1}{2}\left\lbrack - e^{- t} \right\rbrack_{0}^{2} = \frac{1 - e^{- 2}}{2}\]

Théorème : Convergence dominée pour la continuité

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$

\[f\mathbb{:R \times}A\mathbb{\rightarrow R}\]

Si :

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $\mathbb{R}$

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est continue sur $A$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable sur $I$ telle que $\forall x \in A,\forall t\mathbb{\in R}$, $\left\vert f(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

• Alors la fonction $x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est définie et continue sur $A$.

Exemple :

Soit $g:x \rightarrow \int_{0}^{+ \infty}{e^{- t}\sin(tx)}$.

Montrer que $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Utilisons le théorème de convergence dominée pour la continuité des intégrales à paramètre. On note $f(t,x) = e^{- t}\sin(tx)$

$\forall x\mathbb{\in R}$, la fonction $t \rightarrow e^{- t}\sin(tx)$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$ comme produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}^{+}$

$\forall t\mathbb{\in R,}$ la fonction $x \rightarrow e^{- t}\sin(tx)$ est continue sur $\mathbb{R}$ par continuité du sinus.

La fonction $\varphi\ :t \rightarrow e^{- t}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+}$ (intégrale généralisée de référence) et $\forall x\mathbb{\in R,\forall}t \in \mathbb{R}_{+}$, $\left\vert f(t,x) \right\vert = \left\vert e^{- t}\sin(tx) \right\vert \leq e^{- t}$ car $\sin(tx) \leq 1$

Donc $g$ est continue sur $\mathbb{R}$

Théorème : Convergence dominée pour la dérivation d’une intégrale à paramètre

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est $C^{1}$ sur $A$

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow f(t,x)$ est intégrable sur $I$

• $\forall x \in A$, la fonction $\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)$ est continue sur $\mathbb{R}$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable telle que $\forall x \in A,\forall t\mathbb{\in R}$, $\left\vert \frac{\partial f}{\partial x}(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors la fonction $g:x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est $C^{1}$ sur $A$ et $\forall x \in A,\ g^{‘}(x) = \int_{I}^{}{\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)dt}$

Corollaire : extension à la classe $C^{k}$

Soient $I$ et $A$ deux intervalles de $\mathbb{R}$, $f\ :I \times A\mathbb{\rightarrow R}$

Si :

• $\forall t \in I$, la fonction $x \rightarrow f(t,x)$ est $C^{k}$ sur $A$

• $\forall j \in \left. ⟦0,\ k - 1 \right.⟧,\ \forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow \frac{\partial^{j}f}{\partial x^{j}}$ est intégrable sur $I$

• $\forall x \in A$, la fonction $t \rightarrow \frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}$ est continue sur $I$

• Il existe une fonction $\varphi\ :I\mathbb{\rightarrow R}$ intégrable telle que $\forall x \in A,\ \forall t \in I,\ \left\vert \frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}(t,x) \right\vert \leq \varphi(t)$

Alors la fonction $g = x \rightarrow \int_{I}^{}{f(t,x)dt}$ est $C^{k}$ sur $A$ et $\forall x \in A,\ g^{(k)}(x) = \int_{I}^{}{\frac{\partial^{k}f}{\partial x^{k}}(t,x)dt}$

III. Intégrales doubles

Objectif :

Soit $D \subset \mathbb{R}^{2}$ et $f\ :D\mathbb{\rightarrow R}$

On veut définir et calculer $\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \iint_{D}^{}f$

1. Définitions et propriétés

Introduction :

Soit $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ et $f$ une fonction constante sur $D$.

\[\forall x,y \in D,\ f(x,y) = \lambda\mathbb{\in R}\]

Alors le volumen entre la surface (plan) de $f$ et le plan $(Oxy)$ est le volume d’un parallélépipède rectangle : $(b - a)(d - c)\lambda$

Définition :

Soit $D$ une partie de $\mathbb{R}^{2}$ et $f:D\mathbb{\rightarrow R}$ continue.

On appelle intégrale double de $f$ sur $D$, et on note $\iint_{D}^{}f$ ou $\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy}$ le volume (algébrique) de la partie de $\mathbb{R}^{3}$ délimitée par $D$ et la surface d’équation $z = f(x,y)$

Proposition :

Soit $D \in \mathbb{R}^{2},\ \iint_{D}^{}{dxdy} = Aire(D)$

Exemple :

Si $D = D(0,R)$ disque de centre $(0,0)$ et de rayon $R$, alors $\iint_{D}^{}{dxdy} = \pi R^{2}$

Proposition :

Soient $D \subset \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

\[\iint_{D}^{}{\lambda f + g} = \lambda\iint_{D}^{}f + \iint_{D}^{}g\]

Proposition :

Soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux ensembles de $\mathbb{R}^{2}$.

Soit $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D_{1}$ et $D_{2}$

\[\iint_{D_{1} \cup D_{2}}^{}f = \iint_{D_{1}}^{}f + \iint_{D_{2}}^{}f - \iint_{D_{1} \cap D_{2}}^{}f\]

Exemple :

Soient $C_{1} = \lbrack - 4,2\rbrack \times \lbrack - 2,4\rbrack$, $C_{2} = \lbrack 0,5\rbrack \times \lbrack - 3,2\rbrack$

\[\text{Calculer}\iint_{C_{1} \cup C_{2}}^{}{dxdy}\] \[= \iint_{C_{1}}^{}{dxdy} + + \iint_{C_{2}}^{}{dxdy} - \iint_{C_{1} \cap C_{2}}^{}{dxdy}\]

Où $C_{1} \cap C_{2} = \lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack - 2,2\rbrack$

\[= 6 \times 6 + 5 \times 5 - 2 \times 4 = 53\]

Proposition : Positivité et croissance

Soient $D \subset \mathbb{R}^{2}$, $D_{1} \subset \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$.

• Si $f \geq 0$ sur $D$ alors $\iint_{D}^{}f \geq 0$

• Si $f \leq g$ sur $D$ alors $\iint_{D}^{}f \leq \iint_{D}^{}g$

• $Aire(D)\inf_{D}f \leq \iint_{D}^{}f \leq Aire(D)\sup_{D}f$

• Si $f \geq 0$ sur $D$ et $D_{1} \subset D$ alors $\iint_{D_{1}}^{}f \leq \iint_{D}^{}f$

• Si $f$ est continue sur $D$ alors $\vert f\vert $ aussi et :

\[\left\vert \iint_{D}^{}f \right\vert \leq \iint_{D}^{}\vert f\vert\]

Propriété : Inégalité de Cauchy-Schwartz

Soient $D \in \mathbb{R}^{2}$, $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $D$.

\[\left( \iint_{D}^{}{fg} \right)^{2} \leq \left( \iint_{D}^{}f^{2} \right)\left( \iint_{D}^{}g^{2} \right)\]

2. Intégration par piles et par tranches

Théorème : Fubini par piles

Soient $a,b \in \mathbb{R}$, $a < b$, $\left\lbrace \begin{array}{r} \varphi_{1}\ :\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R}
\varphi_{2}\ :\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R} \end{array} \right. $ avec $\varphi_{1}$ et $\varphi_{2}$ continues telle que $\forall x \in \lbrack a,b\rbrack,\ \varphi_{1}(x) \leq \varphi_{2}(x)$

On note $D$ l’ensemble :

\[D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ a \leq x \leq b\ \text{et}\ \varphi_{1}(x) \leq y \leq \varphi_{2}(x) \right\rbrace\]

Alors, pour $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D$, on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{a}^{b}{\left( \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}{f(x,y)dy} \right)dx}\]

Exemple :

Soit $D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ 0 \leq x \leq 2,\ e^{- x} \leq y \leq e^{x} \right\rbrace $

Soit $f\ :(x,y) \rightarrow xy$

On peut calculer par piles :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{0}^{2}{\left( \int_{e^{- x}}^{e^{x}}{xydy} \right)dx} = \int_{0}^{2}{x\left\lbrack \frac{1}{2}y^{2} \right\rbrack_{y = e^{- x}}^{y = e^{x}}dx} = \int_{0}^{2}{\frac{x}{2}\left( e^{2x} - e^{- 2x} \right)dx} = \left\lbrack \frac{x\left( e^{2x} + e^{- 2x} \right)}{4} \right\rbrack_{0}^{2} - \int_{0}^{2}{\frac{e^{2x} + e^{- 2x}}{4}dx} = \frac{e^{4} - e^{- 4}}{2} - \left\lbrack \frac{e^{2x} - e^{- 2x}}{8} \right\rbrack_{0}^{2} = \ldots = 3\frac{e^{4} - e^{- 4}}{4}\]

Remarque :

On ne peut pas intégrer par piles sur des domaines du type :

On ne peut pas intégrer une droite $\left\lbrace x = cst \right\rbrace $ dans $\mathbb{R}^{2}$ qui coupe $D$ en plus de deux points (mais pas une infinité).

Théorème : Fubini par tranches

Soient $c,d\mathbb{\in R}$, $c < d$, $\left\lbrace \begin{array}{r} \psi_{1}\ :\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R}
\psi_{2}\ :\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R} \end{array} \right. $ avec $\psi_{1}$ et $\psi_{2}$ continues telle que $\forall y \in \lbrack c,d\rbrack,\ \psi_{1}(x) \leq \psi_{2}(x)$

On note $D$ l’ensemble :

\[D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ c \leq y \leq d\ \text{et}\ \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(x) \right\rbrace\]

Alors, pour $f:\mathbb{R}^{2}\mathbb{\rightarrow R}$ continue sur $D$, on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{c}^{d}{\left( \int_{\psi_{1}(x)}^{\psi_{2}(x)}{f(x,y)dx} \right)dy}\]

Corollaire :

Si $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ alors on peut intégrer par piles et par tranches, et on a :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \int_{a}^{b}{\left( \int_{c}^{d}{f(x,y)dy} \right)dx} = \int_{c}^{d}{\left( \int_{a}^{b}{f(x,y)dx} \right)dy}\]

Exercice :

Calculer

\[I = \iint_{\lbrack 0,2\rbrack \times \lbrack 1,3\rbrack}^{}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dxdy}\]

Par piles :

\[I = \int_{0}^{2}{\left( \int_{1}^{3}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dy} \right)dx} = \int_{0}^{2}{\left\lbrack 2x^{2}\frac{y^{2}}{2} - 3xy \right\rbrack_{y = 1}^{y = 3}dx} = \int_{0}^{2}{\left( 9x^{2} - 9x \right) - \left( x^{2} - 3x \right)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 8x^{2} - 6x \right)dx} = \left\lbrack \frac{8}{3}x^{3} - 3x^{2} \right\rbrack_{0}^{2} = \frac{64}{3} - 12 = \frac{28}{3}\]

Par tranches :

\[I = \int_{1}^{3}{\left( \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2}y - 3x \right)dx} \right)dy} = \int_{1}^{3}{\left\lbrack \frac{2}{3}x^{2}y - \frac{3x^{2}}{2} \right\rbrack_{x = 0}^{x = 2}dy} = \int_{1}^{3}{\left( \frac{16}{3}y - 6 \right)dy} = \left\lbrack \frac{8}{3}y^{2} - 6y \right\rbrack_{1}^{3} = (24 - 18) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = 12 - \frac{10}{3} = \frac{28}{3}\]

Corollaire :

Si $D = \lbrack a,b\rbrack \times \lbrack c,d\rbrack$ et $f$ est une fonction à variables séparées, càd $f(x,y) = u(x)v(y)$, avec $u:\lbrack a,b\rbrack\mathbb{\rightarrow R,\ }v:\lbrack c,d\rbrack\mathbb{\rightarrow R}$ continues.

Alors :

\[\iint_{D}^{}{f(x,y)dxdy} = \left( \int_{a}^{b}{u(x)dx} \right)\left( \int_{c}^{d}{v(y)dy} \right)\]

Exercice :

\[\int_{\lbrack - 1,1\rbrack \times \lbrack 0,3\rbrack}^{}{y^{2}e^{x}dxdy} = \left( \int_{- 1}^{1}{e^{x}dx} \right)\left( \int_{0}^{3}{y^{2}dy} \right)\]

3. Changement de variables

Théorème :

Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb{R}^{2}$ et $\varphi:U \rightarrow V$ un $C^{1} -$ difféomorphisme.

Soient $D$ une partie bornée incluse dans $U\ $: $D \subset U$ et $f\ :\varphi(D)\mathbb{\rightarrow R}$

Alors :

\[\iint_{\varphi(D)}^{}{f(x,y)dxdy} = \iint_{D}^{}{f\left( \varphi(u,v) \right)\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert dxdy}\]

Où $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \det\left( J_{\varphi}(u,v) \right)$

Où $J_{\varphi}$ est la jacobienne.

Corollaire : Changement de variables affines

Soit le $C^{1} -$ difféomorphisme $\varphi$ donné par :

\[\varphi:(u,v) \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = au + bv \\ y = cu + dv \end{array} \right.\]

On a :

$J_{\varphi}(u,v) = \begin{bmatrix} a & b
c & d \end{bmatrix},\ \left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = ad - bc$ avec $ad - bc \neq 0$ car $\varphi$ est un $C^{1} -$ difféomorphisme.

Exemple :

1.

\[\Delta = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ 0 \leq x + y \leq 4,\ \ x \leq y,\ \ xy \geq 1 \right\rbrace\]

Calculer :

\[\iint_{\Delta}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy}\]

Avec le changement de variables : $\left\lbrace \begin{array}{r} u = x + y
v = x - y \end{array} \right. $

Le difféomorphisme est $\varphi\ :(u,v) \rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} x = \frac{u + v}{2}
y = \frac{u - v}{2} \end{array} \right. $

Donc $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \frac{1}{2} \times \left( - \frac{1}{2} \right) - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

Déterminons $\varphi^{- 1}(\Delta)$

\[0 \leq x + y \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq u \leq 4\] \[x \leq y \Leftrightarrow x - y \leq 0 \Leftrightarrow v \leq 0\] \[xy \geq 1 \Leftrightarrow \left( \frac{u + v}{2} \right)\left( \frac{u - v}{2} \right) \geq 1 \Leftrightarrow u^{2} - v^{2} \geq 4\] \[2 \leq u \leq 4\] \[- \sqrt{u^{2} - 4} \leq v \leq 0\] \[\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} 2 \leq u \leq 4 \\ - \sqrt{u^{2} - 4} \leq v \leq 0 \end{array} \right.\]

Calcul de $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert $ avec $\varphi(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{u + v}{2}
\frac{u - v}{2} \end{pmatrix}$

\[J_{\varphi}(u,v) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\ \text{donc}\ \left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = - \frac{1}{2}\]

Le changement de variable donne donc :

\[x^{2} - y^{2} = \left( \frac{u + v}{2} \right)^{2} - \left( \frac{u - v}{2} \right)^{2} = \frac{u^{2} + 2uv + v^{2} - u^{2} + 2uv - v^{2}}{4} = uv\] \[\iint_{D}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy} = \int_{2}^{4}{\left( \int_{- \sqrt{u^{2} - 4}}^{0}{uv\cos\left( \frac{u^{2} - v^{2}}{4} \right)dv} \right)du}\] \[= \int_{2}^{4}{u\left( \left\lbrack - 2\sin\left( \frac{u^{2} - v^{2}}{4} \right) \right\rbrack_{v = - \sqrt{u^{2} - 4}}^{0} \right)du} = \int_{2}^{4}{u\left( - 2\sin\left( \frac{u^{2}}{4} \right) + 2\sin(1) \right)du}\] \[= \left\lbrack 4\cos\left( \frac{u^{2}}{4} \right) + 2\sin(1)\frac{u^{2}}{2} \right\rbrack_{2}^{4}\] \[\iint_{D}^{}{\left( x^{2} - y^{2} \right)\cos(xy)dxdy} = 4\cos(4) + 16\sin(1) - 4\cos(1) - 4\sin(1)\]

Exemple :

\[I_{2} = \iint_{\Delta}^{}{\frac{y}{x + 1}dxdy}\]

Avec $\Delta = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x \geq 0,\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \right\rbrace $

On propose comme changement de variables :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} u = x \\ v = - y \end{array} \right.\]

$\varphi(u,v) = \begin{pmatrix} u
v \end{pmatrix}$ d’où $\left\vert J_{\varphi}(u,v) \right\vert = \left\vert \left\vert \begin{matrix} 1 & 0
0 & - 1 \end{matrix} \right\vert \right\vert = 1$

Et :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} x \geq 0 \\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} u \geq 0 \\ u^{2} + v^{2} \leq 1 \end{array} \right.\] \[I_{2} = \iint_{\Delta}^{}{- \frac{v}{u^{2} + 1}dudv} = - \iint_{\Delta}^{}{\frac{v}{u^{2} + 1}dudv} = - I_{2}\]

Donc $I_{2} = 0$

Changement de variables polaires :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} x = \rho\cos(\theta) \\ y = \rho\sin(\theta) \end{array} \right.\] \[\varphi:(\rho,\theta) \rightarrow \begin{pmatrix} \rho\cos\theta \\ \rho\sin\theta \end{pmatrix}\] \[J_{\varphi}(\rho,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{pmatrix}\] \[\det\left( J_{\varphi} \right) = \rho\cos^{2}\theta + \rho\sin^{2}\theta = \rho\] \[dxdy \rightarrow \rho d\rho d\theta\]

Exemple :

Calculer $I = \iint_{D}^{}{x^{2}y^{2}dxdy}$ avec $D = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^{2},\ x^{2} + y^{2} \leq 1 \right\rbrace $

Changement de variables polaire :

\[x^{2} + y^{2} \leq 1 \Leftrightarrow \rho \leq 1\]

Donc le domaine d’intégration devient $\Delta = \lbrack 0,1\rbrack \times \lbrack 0,2\pi\rbrack$

Le changement de variables donne donc :

\[I = \iint_{\Delta}^{}{\left( \rho\cos\theta \right)^{2}\left( \rho\sin\theta \right)^{2}\rho d\rho d\theta}\]

On reconnait une fonction à variables séparées :

\[I = \left( \int_{0}^{1}{\rho^{5}dt} \right)\left( \int_{0}^{2\pi}{\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta d\theta} \right)\] \[I = \left( \int_{0}^{1}{\rho^{5}dt} \right)\left( \int_{0}^{2\pi}{\left( \frac{\sin(2\theta)}{2} \right)^{2}d\theta} \right)\] \[I = \left\lbrack \frac{\rho^{6}}{6} \right\rbrack_{0}^{1}\frac{1}{4}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1 - \cos(4\theta)}{2}d\theta}\] \[I = \frac{1}{24}\int_{0}^{2\pi}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4\theta)d\theta} = \frac{1}{48}\left\lbrack \theta - \frac{\sin(4\theta)}{4} \right\rbrack_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{24}\]

Chapitre 2 : Probabilités

I. Dénombrement et Espace de probabilité

Exemple 1 : On lancer un dé noir et un dé blanc (à 6 faces)

Le résultat de l’expérience aléatoire est la donnée de 2 informations : le chiffre du dé noir et le chiffre du dé blanc.

Exemple 2 : On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules dans une urne qui contient 10 boules numérotées de 1 à 10.

Le résultat de l’expérience aléatoire est la donnée des deux numéros tirés.

Définition : On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté $\Omega$, l’ensemble des résultats possibles d’une expérience.

Exemple 1 : $\Omega = \left\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),\ldots,(6,6) \right\rbrace $

\[\Omega = \left\lbrace (a,b)\mathbb{\in N,}\ 1 \leq a,b \leq 6 \right\rbrace\]

Exemple 2 :

\[\Omega = \left\lbrace (n,m)\mathbb{\in N,}\ 1 \leq n,m \leq 10,\ n \neq m \right\rbrace\]

Définition : On appelle cardinal d’un ensemble $Ε$ le nombre d’éléments qu’il contient. Ιl est noté $Card(E)$ ou $\vert E\vert $

Définition : On dit qu’un ensemble est dénombrable s’il existe une bijection entre une partie de $\mathbb{Z}$ et lui.

1. Dénombrement

Principe du dénombrement : Si on considère un couple d’expériences telles que la première admet $n$ issues possibles et la seconde en admet $m$, alors le coupe d’expérience admet $n \times m$ issues.

Exemple 1 :

Le couple d’expérience (lancer du dé noir (6 issues), lancer du dé blanc (6 issues)) donne :

\[\vert \Omega\vert = 6 \times 6 = 36\]

Exemple 2 :

Le couple d’expérience (tirage de la 1^ère^ boule (10 issues), tirage de la 2^nde^ boule (9 issues)) donne :

\[\vert \Omega\vert = 10 \times 9 = 90\]

Pour définir les notions fondamentales du dénombrement, on considère les types de tirage suivant :

• Tirage avec remise et avec ordre

• Tirage sans remise et avec ordre

• Tirage sans remise et sans ordre

• (Tirage avec remise et sans ordre)

On tire $k$ boules dans une urne de $n$ boules numérotées de $1$ à $n$.

A. Tirage avec remise et avec ordre

On tire $k$ fois une boule parmi les $n$ boules numérotées.

• 1^er^ tirage : $n$ issues possibles

• 2^e^ tirage : $n$ issues possibles (car remise)

• …

• $k^{e}$ tirage : $n$ issues possibles

Principe du dénombrement :

\[\vert \Omega\vert = n \times n \times \ldots \times n = n^{k}\]

B. Tirage sans remise et sans ordre

On tire $k$ fois une boule dans une urne de $n$ boules sans remise.

• 1^er^ tirage : $n$ issues possibles

• 2^e^ tirage : $n - 1$ issues possibles

• …

• $k^{e}$ tirage : $n - k + 1$ issues possibles

Principe du dénombrement :

\[\vert \Omega\vert = n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}\]

Définition :

Soit $E$ un ensemble. On appelle $k -$ arrangement de $E$ tous les $k -$ uplets d’éléments de $E$.

Si $\vert E\vert = n$, alors un note $A_{n}^{k}$ le nombre de $k -$ arrangements de $E$ et on a :

\[A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}\]