CM Ondes

Evaluation : 3 CC, majoritairement (voire complètement) en question ouvertes.

2 grandes parties :

I. Oscillations

II. Ondes

• Un oscillateur est un système physique présentant un comportement périodique en temps autour d’une position d’équilibre stable.

• Couplage d’oscillateurs. Limite continue : onde, traduit la propagation d’une perturbation dans l’espace ($\overrightarrow{r}$) et dans le temps ($t$), périodique dans l’espace et dans le temps.

Partie I : Oscillateurs

Chapitre 1 : Oscillateur individuel

I. Oscillateur harmonique

Oscillateur non-amorti et non-forcé.

1. Exemple : Le système masse-ressort

Dans un référentiel galiléen, on considère un ressort idéal horizontal de raideur $k$ et de longueur à vide $l_{0}$.

À l’une des extrémités est placé un point matériel $M$ de masse $m$.

À l’autre extrémité est placé le point $H$ fixe dans ce référentiel.

On ne considère aucun frottement.

On cherche à résoudre l’équation du mouvement.

Rappel : Force exercée par le ressort sur $M$.

\[{\overrightarrow{F}}_{\rightarrow M} = - k \left( l - l_{0} \right){\overrightarrow{u}}_{HM} = - \overrightarrow{\nabla} \left( E_{p} \right)\ \text{où}\ E_{p} = \frac{1}{2}k \left( l - l_{0} \right)^{2} + \text{cte}\] \[{\overrightarrow{F}}_{\rightarrow M} = - k \left( \left\vert x - x_{H} \right\vert - \left\vert x_{0} - x_{H} \right\vert \right)\overrightarrow{u_{x}}\] \[{\overrightarrow{F}}_{M} = - k \left( x - x_{0} \right)\overrightarrow{u_{x}}\]

D’après le PFD sur $M\ $projeté sur $(Ox)$.

\[m\ddot{x} = - k \left( x - x_{0} \right)\]

Changement de variable : $X = x - x_{0},\ \dot{X} = \dot{x},\ \ddot{X} = \ddot{x}$

\[\Rightarrow \ddot{X} + \frac{k}{m}X = 0\]

Equation différentielle aux dérivées ordinaires linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre.

Dérivées ordinaires : pas de dérivées partielles

Equation différentielle linéaire : $\forall n,\frac{d^{n}x}{dt^{n}}\ \text{sont à la puissance 1}$

2. Linéarité et superposition

Une équation est dite linéaire si pour toutes solutions $f$ et $g$ de cette équation, $\alpha f + \beta g$ (avec $\alpha$ et $\beta$ constantes) est aussi solution. Dans ce cas, $\alpha f + \beta g$ est appelée superposition de $f$ et $g$.

$\Rightarrow$ L’ensemble des solutions de l’équation forme un espace vectoriel (EV).

Pour trouver l’ensemble des solutions, on peut chercher une base de cet EV : $ \left\lbrace f_{i} \right\rbrace_{i = 1,\ldots,\dim(EV)}$

On peut alors exprimer la solution générale de l’équation linéaire comme la superposition (ou combinaison linéaire CL) des $f_{i}$.

\[f = \sum_{i}^{\dim(EV)}{\alpha_{i}f_{i}}\ \text{où}\ \left\lbrace \alpha_{i} \right\rbrace = \text{ctes}\]

Prenons une équation aux dérivées ordinaires (EDO) d’ordre $n$ de la forme :

\[S(t) + \sum_{i = 0}^{n}{\beta_{i}\frac{d^{i}f}{dt^{i}}} = 0\]

Si $\forall t,\ S(t) = 0$, l’équation est homogène et linéaire.

Si $\exists t,\ S(t) \neq 0$, l’équation est inhomogène et non linéaire (au sens de la superposition).

On s’intéresse au cas homogène.

Cas $S(t) = 0\ \forall t$

*Ansatz *: On « tente le coup »

Cherchons les fonctions de base de l’EV des solutions sous la forme :

$\widetilde{f}(t) = e^{rt}\ \text{où}\ r\mathbb{\in C}$ $\rightarrow$ Ansatz

Notation : $\widetilde{f}\ $: fonction complexe.

Solution physique : $f(t)\mathfrak{= Re} \left\lbrack \widetilde{f}(t) \right\rbrack$ (par linéarité).

On injecte l’Ansatz dans l’EDO avec $S(t) = 0$

\[\sum_{i = 0}^{n}{\beta_{i}\frac{d^{i} \left( e^{rt} \right)}{dt^{i}}} = 0\] \[\left( \sum_{i = 0}^{n}{\beta_{i}r^{i}} \right)e^{rt} = 0\ \forall t\] \[\Rightarrow \sum_{i = 0}^{n}{\beta_{i}r^{i}} = 0\ \text{polynôme caractéristique de degré}\ n\ \text{en}\ r\] \[\Rightarrow \ \text{au plus}\ n\ \text{racines distinctes}\]

Or la dimension de l’espace vectoriel des solutions d’une EDO d’ordre $n$ est $n\ $:

• Si $n$ racines distinctes et les $f$ sont linéairement indépendantes, alors l’ensemble des $\widetilde{f}$ forme la base recherchée.

• Si moins de $n$ racines distinctes, alors il faut compléter avec un autre Ansatz.

Solution générale :

\[\widetilde{f}(t) = \sum_{j = 1}^{n}{\widetilde{\alpha_{j}}e^{r_{j}t}}\] \[\text{Solution physique }:f(t)\mathfrak{= Re} \left\lbrack \widetilde{f}(t) \right\rbrack\]

1. Résolution de l’exemple de la masse attachée au ressort

\[\ddot{X} + \frac{k}{m}X = 0\ \text{où}\ X = x - x_{0}\]

Ansatz : $\widetilde{X}(t) = e^{rt}$

\[r^{2} + \frac{k}{m} = 0\] \[r^{2} = - \frac{k}{m} = i^{2}\frac{k}{m}\] \[\Rightarrow r_{\pm} = \pm i\sqrt{\frac{k}{m}} = \pm i\omega_{0}\]

$ \left\lbrack \omega_{0} \right\rbrack = T^{- 1}$ : pulsation

• Solution générale :

\[\widetilde{X}(t) = \widetilde{\alpha_{+}}e^{r_{+}t} + \widetilde{\alpha_{-}}e^{r_{-}t}\]

Les fonctions sont bien linéairement indépendantes.

\[X(t) = Re\lbrack\widetilde{X}(t)\rbrack\] \[X(t) = Re \left( \widetilde{\alpha_{+}}e^{i\omega_{0}t} + \widetilde{\alpha_{-}}e^{- i\omega_{0}t} \right)\] \[X(t) = Re \left( \widetilde{\alpha_{+}} \right)\cos \left( \omega_{0}t \right) - Im \left( \widetilde{\alpha_{+}} \right)\sin \left( \omega_{0}t \right) + Re \left( \widetilde{\alpha_{-}} \right)\cos \left( \omega_{0}t \right) + Im \left( \widetilde{\alpha_{-}} \right)\sin \left( \omega_{0}t \right)\] \[X(t) = \left\lbrack Re \left( \widetilde{\alpha_{+}} \right) + Re \left( \widetilde{\alpha_{-}} \right) \right\rbrack\cos \left( \omega_{0}t \right) + \left\lbrack - Im \left( \widetilde{\alpha_{+}} \right) + Im \left( \alpha_{-} \right) \right\rbrack\sin \left( \omega_{0}t \right)\] \[\Rightarrow X(t) = \alpha_{c}\cos \left( \omega_{0}t \right) + \alpha_{s}\sin \left( \omega_{0}t \right),\ \text{où}\ \alpha_{c}\ \text{et}\ \alpha_{s}\ \text{sont des réels}\] \[\dot{X}(t) = \omega_{0} \left\lbrack - \alpha_{c}\sin \left( \omega_{0}t \right) + \alpha_{s}\cos \left( \omega_{0}t \right) \right\rbrack\]

$\alpha_{c}$ et $\alpha_{s}$ déterminés par l’état du système $ \left\lbrace X,\dot{X} \right\rbrace$ à $t$ donné.

Exemple : à $t = 0$

$X(t = 0) = \alpha_{c}$, $\dot{X}(t = 0) = \omega_{0}\alpha_{s}$

N.B. :

\[X(t) = \alpha_{c}\cos \left( \omega_{0}t \right) + \alpha_{s}\sin \left( \omega_{0}t \right)\] \[X(t) = \alpha\cos \left( \omega_{0}t + \varphi_{c} \right) = \alpha\sin \left( \omega_{0}t + \varphi_{s} \right)\]

Avec :

\[\alpha^{2} = \alpha_{c}^{2} + \alpha_{s}^{2}\] \[\varphi_{c} = \arctan \left( - \frac{\alpha_{s}}{\alpha_{c}} \right)\] \[\varphi_{s} = \arctan \left( \frac{\alpha_{c}}{\alpha_{s}} \right)\]

$X(t)$ est une fonction :

• oscillante autour d’un équilibre stable

\[\frac{dE_{p}}{dX} \left. \ \right\vert _{X = 0} = 0\ \text{et}\frac{d^{2}Ep}{dX^{2}} \left. \ \right\vert _{X = 0} > 0\]

• d’amplitude constante

• de période $T_{0}\ $: plus courte durée entre deux états identiques du système

\[\forall t,\ X \left( t + T_{0} \right) = X(t)\] \[\alpha\cos \left\lbrack \omega_{0} \left( t + T_{0} \right) + \varphi_{c} \right\rbrack = \alpha\cos \left( \omega_{0}t + \varphi_{c} \right)\] \[\alpha\cos \left\lbrack \omega_{0}t + \omega_{0}T_{0} + \varphi_{c} \right\rbrack = \alpha\cos \left( \omega_{0}t + \varphi_{c} \right)\]

Or $\cos\ $est $2\pi$-périodique.

• $\omega_{0}T_{0} = 2\pi$

• $\omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} = \text{pulsation (temporelle)}$

\[f_{0} = \frac{1}{T_{0}} = \text{fréquence (temporelle)}\] \[\omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} = 2\pi f_{0}\]

4. Généralisation

On appelle oscillateur harmonique tout système dont la dynamique satisfait à une équation différentielle de la forme :

\[\ddot{q} + \omega_{0}^{2}q = 0\]

Avec $q\ $: coordonnée généralisée (n’importe quelle grandeur physique) et $\omega_{0}^{2} \geq 0$

\[\Leftrightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} E = \text{cte} \\ E_{p} \propto q^{2} \end{array} \right.\]

Les solutions sont des fonctions périodiques d’amplitude constante et de périodicité dépendant uniquement des caractéristiques du système, indépendantes de l’état du système.

Ex : Dans le système masse-ressort,

\[\omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} = 2\pi f_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

II. Oscillateur amorti non-forcé

On reprend le système masse + ressort horizontal et on ajoute un frottement fluide $\overrightarrow{F} = - \alpha\overrightarrow{v}$, où $\alpha > 0$ et $\overrightarrow{v}$ est la vitesse de $M$ par rapport au fluide.

\[\overrightarrow{F} = - \alpha\dot{x}\overrightarrow{u_{x}}\]

D’après le PFD sur $M$ projeté sur $\overrightarrow{u_{x}}\ $:

\[m\ddot{x} = - k \left( x - x_{0} \right) - \alpha\dot{x}\]

On pose $X = x - x_{0}$ et on obtient :

\[\ddot{X} + \frac{\alpha}{m}\dot{X} + \frac{k}{m}X = 0\]

On note $\frac{k}{m} = \omega_{0}^{2}$ et $\frac{\alpha}{m} = \Gamma$

\[\lbrack\Gamma\rbrack = \left\lbrack \omega_{0} \right\rbrack = T^{- 1}\]

Ansatz : $\widetilde{X}(t) = e^{rt}$

\[r^{2} + \Gamma r + \omega_{0}^{2} = 0\] \[r_{\pm} = - \frac{\Gamma}{2} \pm \sqrt{ \left( - \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} - \omega_{0}^{2}} = - \frac{\Gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}}\]

• Le nombre et la nature des solutions dépend du signe de $\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}$

3 régimes :

• $\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2} > 0 \Rightarrow \frac{\Gamma}{2} > \omega_{0} \geq 0$

\[\Rightarrow r_{\pm}\mathbb{\in R}\] \[\text{De plus, }r_{\pm} = - \frac{\Gamma}{2} \pm \sqrt{\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}}\ \text{où}\ \sqrt{\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}} < \frac{\Gamma}{2}\]

$\Rightarrow X(t) = \alpha_{+}e^{r_{+}t} + \alpha_{-}e^{r_{-}t}$ sont deux exponentielles décroissantes, retour à l’équilibre sans osciller.
\(X(t) = e^{- \frac{\Gamma}{2}} \left( \alpha_{+}e^{\sqrt{\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}}} + \alpha_{-}e^{- \sqrt{\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2}}} \right)\)

Régime sur-amorti

• $\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2} < 0 \Rightarrow \omega_{0} > \frac{\Gamma}{2} \geq 0$

\[\Rightarrow r_{\pm}\mathbb{\in C}\] \[r_{\pm} = - \frac{\Gamma}{2} \pm i\sqrt{\omega_{0}^{2} - \frac{\Gamma^{2}}{4}}\ \text{où}\ \sqrt{\omega_{0}^{2} - \frac{\Gamma^{2}}{4}} = \omega \in \mathbb{R}_{+},\ \omega < \omega_{0}\]

Ce $\omega$ est appelé pseudo-pulsation.

\[\widetilde{X}(t) = \widetilde{\alpha_{+}}e^{r_{+}t} + \widetilde{\alpha_{-}}e^{r_{-}t}\] \[X(t) = e^{- \frac{\Gamma}{2}t} \left\lbrack \alpha_{c}\cos(\omega t) + \alpha_{s}\sin(\omega t) \right\rbrack\]

$\Rightarrow$ oscillation harmonique avec enveloppe en exponentielle décroissante

Régime sous-amorti

• $\frac{\Gamma^{2}}{4} - \omega_{0}^{2} = 0 \Rightarrow \omega_{0} = \frac{\Gamma}{2}$

\[\Rightarrow r_{\pm} = - \frac{\Gamma}{2}\]

Il manque une fonction pour la base de dimension 2 des solutions. Il faut un autre *Ansatz *:

\[X(t) = te^{- \frac{\Gamma}{2}t}\] \[\Rightarrow X(t) = e^{- \frac{\Gamma}{2}t}(\alpha + \beta t)\]

Pas d’oscillation, retour à l’équilibre sans osciller.

Régime critique

On peut montrer que c’est le régime qui revient le plus vite à l’équilibre.

III. Oscillateur non-amorti forcé

Traité en TD.

IV. Oscillateur amorti forcé

1. Résolution générale

On reprend l’oscillateur amorti du II. auquel on rajoute une force extérieure de la forme :

\[\overrightarrow{F}(t) = F_{x}(t)\overrightarrow{u_{x}}\]

On se place dans un référentiel galiléen. On applique le PFD sur $M\ $:

\[\ddot{X} + \Gamma\dot{X} + \omega_{0}^{2}X = \frac{F_{x}(t)}{m}\ \ (1)\]

Solution de $(1)\ $:

Soit $X$ la solution générale de $(1)$.

On cherche d’abord $X_{p}$ une solution particulière de $(1)$ avec second membre $ \left( \frac{F_{x}(t)}{m} \right)$.

Alors $X - X_{p} = X_{h}$ avec $X_{h}$ solution générale de $(1)$ sans second membre, solution de l’équation homogène.

• $X = X_{p} + X_{h}$

Or $X_{h}$ est déjà connue (voir II.)

$X_{h}$ est proportionnel à $e^{- \frac{\Gamma}{2}} \rightarrow_{t \rightarrow + \infty}0$

On a un régime transitoire qui devient un régime permanent en $t \rightarrow + \infty$

\[X \rightarrow X_{p}\]

• Ici, on se limite à l’étude du régime permanent avec $F_{x}(t) = F_{0}\cos \left( \omega_{d}t \right) = Re \left\lbrack {\widetilde{F}}_{x}(t) \right\rbrack$

\[{\widetilde{F}}_{x}(t) = F_{0}e^{i\omega_{d}t}\]

Ansatz : ${\widetilde{X}}{p} = \widetilde{A}e^{i\omega{d}t}$ : mouvement oscillant de même pulsation que le forçage.

En replaçant dans $(1)\ $:

\[\left( - \omega_{d}^{2} + i\Gamma\omega_{d} + \omega_{0}^{2} \right)\widetilde{A}e^{i\omega_{d}t} = \frac{F_{0}}{m}e^{i\omega_{d}t}\] \[\Rightarrow \widetilde{A} = \frac{F_{0}}{m \left( - \omega_{d}^{2} + i\Gamma\omega_{d} + \omega_{0}^{2} \right)}\] \[\Rightarrow \widetilde{A} = \frac{F_{0}}{m} \times \frac{1}{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right) + i\Gamma\omega_{d}}\] \[\Rightarrow \widetilde{A} = \frac{F_{0}}{m} \times \frac{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right) - i\Gamma\omega_{d}}{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)^{2} + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2}}\] \[\Rightarrow \widetilde{A} = A_{él} - iA_{abs}\] \[\text{Où}\ A_{él}:\ A\ \text{élastique},\ A_{él} = \frac{F_{0}}{m} \times \frac{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)}{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)^{2} + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2}}\] \[\text{Où}\ A_{abs}:\ A\ \text{absorbant},\ A_{él} = \frac{F_{0}}{m} \times \frac{\Gamma\omega_{d}}{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)^{2} + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2}}\] \[\Rightarrow {\widetilde{X}}_{p} = \left( A_{él} - iA_{abs} \right)e^{i\omega_{d}t}\] \[\Rightarrow {\widetilde{X}}_{p} = \left\vert \widetilde{A} \right\vert e^{i\theta}e^{i\omega_{d}t}\] \[\text{Avec}\ \left\lbrace \begin{array}{r} \left\vert \widetilde{A} \right\vert = \sqrt{A_{él}^{2} + A_{abs}^{2}} \\ \tan(\theta) = - \frac{A_{abs}}{A_{él}} \end{array} \right\rbrace\] \[\Rightarrow {\widetilde{X}}_{p} = \sqrt{A_{él}^{2} + A_{abs}^{2}}e^{i \left( \omega_{d}t + \theta \right)} = \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert e^{i \left( \omega_{d}t + \theta \right)}\]

Déphasage par rapport à $\overrightarrow{F}$ si $\theta \neq 0$

5. Résonnance d’amplitude

Quel est le $\omega_{d}$ tel que l’amplitude du mouvement $ \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert $ soit maximale ?

\[\left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert = \sqrt{A_{él}^{2} + A_{abs}^{2}} = \frac{F_{0}}{m} \left( \frac{ \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)^{2} + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2}}{ \left\lbrack \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right)^{2} + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2} \right\rbrack^{2}} \right)^{\frac{1}{2}}\]

Posons $\Delta \left( \omega_{d} \right) = \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right) + \left( \Gamma\omega_{d} \right)^{2}$

\[\left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert = \frac{F_{0}}{m} \left( \frac{\Delta \left( \omega_{d} \right)}{\Delta^{2} \left( \omega_{d} \right)} \right)^{\frac{1}{2}}\] \[\left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert = \frac{F_{0}}{m}\Delta^{- \frac{1}{2}} \left( \omega_{d} \right)\] \[\frac{d \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert }{d\omega_{d}} = \frac{F_{0}}{m} \left( - \frac{1}{2} \right)\frac{d\Delta}{d\omega_{d}}\frac{1}{\Delta^{\frac{3}{2}} \left( \omega_{d} \right)}\] \[\frac{d \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert }{d\omega_{d}} = 0\ \text{si}\ \frac{d\Delta}{d\omega_{d}} = 0\] \[\frac{d\Delta}{d\omega_{d}} = 2 \left( - 2\omega_{d} \right) \left( \omega_{0}^{2} - \omega_{d}^{2} \right) + 2\Gamma^{2}\omega_{d} = 0\] \[\frac{d\Delta}{d\omega_{d}} = 4\omega_{d} \left( \omega_{d}^{2} - \left\lbrack \omega_{0}^{2} - 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \right\rbrack \right)\] \[\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \omega_{d} = 0 \Rightarrow \ \text{forçage n'est pas oscillant} \Rightarrow \ \text{pas gardé} \\ \omega_{d} = \pm \left\lbrack \omega_{0}^{2} - 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}} \end{array} \right\rbrace\]

$\omega_{d}\mathbb{\in R}$ si $\omega_{0}^{2} \geq 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \Leftrightarrow \omega_{0} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\Gamma$

\[\text{On vérifie que}\ \frac{d^{2} \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert }{d\omega_{d}^{2}} < 0\ \text{pour}\ \omega_{d} = \left\lbrack \omega_{0}^{2} - 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}}\]

• $ \left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert $ est maximal

\[\left\lbrack \omega_{0}^{2} - 2 \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}}\ \text{est noté}\ \omega_{r}\]

$\omega_{r}$ est appelé pulsation de résonnance d’amplitude.

\[\left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert \left( \omega_{d} = \omega_{r} \right) = \frac{F_{0}}{m} \times \frac{1}{\Gamma \left\lbrack \omega_{0}^{2} - \left( \frac{\Gamma}{2} \right)^{2} \right\rbrack^{\frac{1}{2}}}\]

Si $\Gamma \rightarrow 0$, $\omega_{r} \rightarrow \omega_{0}$,

\[\left\vert {\widetilde{X}}_{p} \right\vert \left( \omega_{d} = \omega_{r} \right) \rightarrow + \infty\]

Chapitre II : Oscillateurs couplés

• Interactions entre oscillateurs

• Interactions linéaires dans ce cours

I. Deux oscillateurs couplés : non-amortis et non-forcés

On se place dans un référentiel galiléen.

(Schéma 5)

Remarque : $ \left\lbrace M_{1} + M_{2} \right\rbrace$ est un système isolé

• Soit $I$ le centre d’inertie de $ \left\lbrace M_{1},\ M_{2} \right\rbrace$, alors ${\overrightarrow{a}}_{I} = \overrightarrow{0}$ dans tout référentiel galiléen.

\[{\overrightarrow{F}}_{1 \rightarrow 2} = - k \left( l - l_{0} \right)\overrightarrow{u_{M_{1}M_{2}}}\] \[{\overrightarrow{F}}_{1 \rightarrow 2} = - k \left( \left\vert x_{2} - x_{1} \right\vert - l_{0} \right)\overrightarrow{u_{x}}\] \[{\overrightarrow{F}}_{1 \rightarrow 2} = - k \left( x_{2} - x_{1} - l_{0} \right)\overrightarrow{u_{x}}\] \[{\overrightarrow{F}}_{1 \rightarrow 2} = - {\overrightarrow{F}}_{2 \rightarrow 1}\]

par $3^e$ loi de Newton.

On applique le PFD sur chaque masse, projeté sur $\overrightarrow{u_{x}}\ $:

Sur $M_{1}\ $: $m_{1}\ddot{x_{1}} = k \left( x_{2} - x_{1} - l_{0} \right)\ (1)$

Sur $M_{2}\ $: $m_{2}\ddot{x_{2}} = - k \left( x_{2} - x_{1} - l_{0} \right)\ (2)$

\[(1) \text{ à l'équilibre : } 0 = k \left( {x_{2}}_{eq} - {x_{1}}_{eq} - l_{0} \right)\] \[(2) \text{ à l'équilibre : } 0 = - k \left( {x_{2}}_{eq} - {x_{1}}_{eq} - l_{0} \right)\] \[(1) - (1)_{eq}:m_{1}\ddot{x_{1}} = k \left\lbrack \left( x_{2} - {x_{2}}_{eq} \right) - \left( x_{1} - {x_{1}}_{eq} \right) \right\rbrack\] \[(2) - (2)_{eq}:m_{2}\ddot{x_{2}} = - k \left\lbrack \left( x_{2} - {x_{2}}_{eq} \right) - \left( x_{1} - {x_{1}}_{eq} \right) \right\rbrack\]

Soit $X_{1} = x_{1} - {x_{1}}_{eq}$,

$X_{2} = x_{2} - {x_{2}}_{eq}$

\[\left\lbrace \begin{array}{r} m_{1}\ddot{X_{1}} = k \left( X_{2} - X_{1} \right) \\ m_{2}\ddot{X_{2}} = - k \left( X_{2} - X_{1} \right) \end{array} \right\rbrace\] \[\left\lbrace \begin{array}{r} m_{1}\ddot{X_{1}} + k \left( X_{1} - X_{2} \right) = 0 \\ m_{2}\ddot{X_{2}} + k \left( X_{2} - X_{1} \right) = 0 \end{array} \right.\] \[\left\lbrace \begin{array}{r} \ddot{X_{1}} + \frac{k}{m_{1}X_{1}} \left( X_{1} - X_{2} \right) = 0 \\ \ddot{X_{2}} + \frac{k}{m_{2}} \left( X_{2} - X_{1} \right) = 0 \end{array} \right\rbrace\]

• $\omega_{1}^{2} = \frac{k}{m_{1}}$, $\omega_{2}^{2} = \frac{k}{m_{2}}$

En notation matricielle :

\[\Leftrightarrow \begin{pmatrix} m_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} \end{pmatrix}\ddot{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} + \begin{pmatrix} k & - k \\ - k & k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Leftrightarrow M\ddot{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} + K\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

$\det M \neq 0$ donc $M$ est inversible.

\[\Rightarrow \ddot{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} + \begin{pmatrix} \omega_{1}^{2} & - \omega_{1}^{2} \\ - \omega_{2}^{2} & \omega_{2}^{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (3)\]

Où \(\begin{pmatrix} \omega_{1}^{2} & - \omega_{1}^{2} \\ - \omega_{2}^{2} & \omega_{2}^{2} \end{pmatrix} = M^{- 1}K\)

Résolution du système :

Ansatz : $\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \ X_{2} \end{pmatrix}} = e^{i\omega t}\begin{pmatrix} A_{1} \ A_{2} \end{pmatrix}$

• Mode propre ou normal du système, les deux oscillateurs oscillent avec la même pulsation $\omega$ (mais pas forcément la même amplitude).

• $\omega$ est appelé la pulsation propre du système

On injecte l’Ansatz dans $(3)\ $:

\[- \omega^{2}\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} + M^{- 1}K\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Leftrightarrow \left( M^{- 1}K - \omega^{2}I_{2} \right)\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Donc $\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \ X_{2} \end{pmatrix}}$ est vecteur propre $ \left( \overrightarrow{vp} \right)$ de $M^{- 1}K$ de valeur propre $(vp)$ de $\omega^{2}$.

Recherche des $vp\ $:

\[\det \left( M^{- 1}K - \omega^{2}I_{2} \right) = 0\] \[\left\vert \begin{matrix} \omega_{1}^{2} - \omega^{2} & - \omega_{1}^{2} \\ - \omega_{2}^{2} & \omega_{2}^{2} - \omega^{2} \end{matrix} \right\vert = 0\] \[\left( \omega_{1}^{2} - \omega^{2} \right) \left( \omega_{2}^{2} - \omega^{2} \right) - \omega_{1}^{2}\omega_{2}^{2} = 0\] \[\omega_{1}^{2}\omega_{2}^{2} - \left( \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2} \right)\omega^{2} + \left( \omega^{2} \right)^{2} = \omega_{1}^{2}\omega_{2}^{2}\] \[\omega^{2} \left\lbrack \omega^{2} - \left( \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2} \right) \right\rbrack = 0\]

• Deux solutions :

\[\left\lbrace \begin{array}{r} \omega^{2} = 0 ≔ \omega_{-}^{2} = vp_{-} \\ \omega^{2} = \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2} ≔ \omega_{+}^{2} = vp_{+} \end{array} \right.\]

On a 4 $\omega$ différents : $\pm \omega_{\pm}$

Recherche des $\overrightarrow{vp}\ $:

• $\overrightarrow{vp}_{-}$
• associée à $vp_{-} = \omega_{-}^{2}$

\[\left( M^{- 1}K - \omega_{-}^{2}I \right)\widetilde{\begin{pmatrix} {X_{1}}_{-} \\ {X_{1}}_{+} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\left( M^{- 1}K - \omega_{-}^{2}I \right)e^{\pm i\omega_{-}t}\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{-} \\ {A_{2}}_{-} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\left( M^{- 1}K - \omega_{-}^{2}I \right)\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{-} \\ {A_{2}}_{-} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} \omega_{1}^{2} & - \omega_{1}^{2} \\ - \omega_{2}^{2} & \omega_{2}^{2} \end{pmatrix}\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{-} \\ {A_{2}}_{-} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \omega_{1}^{2} \left( \widetilde{A_{1-}} - \widetilde{A_{2-}} \right) = 0 \\ - \omega_{2}^{2} \left( \widetilde{A_{1-}} - \widetilde{A_{2-}} \right) = 0 \end{array} \right.\] \[\Rightarrow \widetilde{A_{1-}} = \widetilde{A_{2-}}\]

$\Rightarrow$ mouvement à pulsation $\pm \omega_{-} = 0\ $: pas d’oscillation.

$ \left\lbrace M_{1} + M_{2} \right\rbrace$ est bien tel que $\overrightarrow{a_{I}} = \overrightarrow{0}$ dans tout référentiel galiléen.

• $\overrightarrow{vp}_{+}$
• associé à $vp_{+}$
• $= \omega_{+}^{2} = \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2}$

\[\left( M^{- 1}K - \omega_{+}^{2}I \right)\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{+} \\ {A_{2}}_{+} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} - \omega_{2}^{2} & - \omega_{1}^{2} \\ - \omega_{2}^{2} & - \omega_{1}^{2} \end{pmatrix}\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{+} \\ {A_{2}}_{+} \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\] \[\Rightarrow \omega_{2}^{2}\widetilde{A_{1+}}\omega_{1}^{2}\widetilde{A_{2+}} = 0\] \[\frac{k}{m_{2}}\widetilde{A_{1+}} + \frac{k}{m_{1}}\widetilde{A_{2+}} = 0\] \[\frac{\widetilde{A_{1+}}}{m_{2}} + \frac{\widetilde{A_{2+}}}{m_{1}} = 0\] \[\widetilde{A_{1+}} = - \frac{m_{2}}{m_{1}}\widetilde{A_{2+}} \rightarrow (4)\] \[m_{1}\widetilde{A_{1+}} + m_{2}\widetilde{A_{2+}} = 0\]

• Mouvement oscillant à pulsation $\omega_{+} = \sqrt{\omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2}}$ où les masses oscillent en opposition de phase (4) et $ \left\lbrace M_{1} + M_{2} \right\rbrace$ est bien tel que $\overrightarrow{a_{I}} = \overrightarrow{0}$ dans tout référentiel galiléen.

Solution générale :

Combinaison linéaire des modes propres :

\[\widetilde{\begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \end{pmatrix}} = \left( {\widetilde{\alpha}}_{+ +}e^{+ i\omega_{+}t} + {\widetilde{\alpha}}_{+ -}e^{- i\omega_{+}t} \right)\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{+} \\ {A_{2}}_{+} \end{pmatrix}} + \left( {\widetilde{\alpha}}_{- +}e^{i\omega_{-}t} + {\widetilde{\alpha}}_{- -}e^{- i\omega_{-}t} \right)\widetilde{\begin{pmatrix} {A_{1}}_{-} \\ {A_{2}}_{-} \end{pmatrix}}\]

Solution physique :

\[\overrightarrow{X} = {Re} \left( \widetilde{\overrightarrow{X}} \right)\]

$ \left\lbrace \alpha_{\pm \pm} \right\rbrace$ sont fixés par la connaissance de l’état du système $ \left( \overrightarrow{X},\dot{\overrightarrow{X}} \right)$ à $t$ donné.