CM Introduction Physique Moderne
La physique quantique : ça sert à quoi ?
Par exemple, expliquer le rayonnement des corps noirs (selon la température)
Chat de Schrödinger
Semi-conducteurs
Chapitre 1 : Quanta de lumière
I. Description ondulatoire de la lumière
a. Diffraction et interférences
On considère un faisceau de rayons parallèles entre eux et perpendiculaires à la surface.
Soit $\lambda$ la longueur d’onde, $S$ la source de lumière à l’infini, $a$ la taille de l’ouverture.
Cas n°1 : $\lambda \ll a$
On observe une tâche lumineuse de la taille de l’ouverture.
Cas n°2 : $\lambda\ \sim\ a$
On obtient de la lumière même en dehors de la forme de l’ouverture.
On considère, dans le cas n°2, deux ouvertures de taille $a\sim\lambda$, séparées d’une distance $d$ négligeable devant la distance $L$ entre la surface et l’écran.
b. Diffraction et interférences
Equations de Maxwell dans le vide :
\[div\ \overrightarrow{E} = 0,\ \ div\ \overrightarrow{B} = 0,\ \ \overrightarrow{rot}\ \overrightarrow{B} = \varepsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t},\ \ \overrightarrow{rot}\ \overrightarrow{E} = - \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\] \[\overrightarrow{E} = E_{x}\overrightarrow{e_{x}} + E_{y}\overrightarrow{e_{y}} + E_{z}\overrightarrow{e_{z}}\] \[\overrightarrow{B} = B_{x}\overrightarrow{e_{x}} + B_{y}\overrightarrow{e_{y}} + B_{z}\overrightarrow{e_{z}}\]Hypothèse : On exprime $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{B}$ comme fonctions de $x$ et $t\ $:
\[rot\ \overrightarrow{E} = - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}\overrightarrow{e_{y}} + \frac{\partial E_{y}}{\partial x}\overrightarrow{e_{z}} = - \frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\] \[\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \frac{\partial B_{x}}{\partial t} = 0 \\ \frac{\partial B_{y}}{\partial t} = \frac{\partial E_{z}}{\partial x}(1) \\ - \frac{\partial B_{z}}{\partial t} = \frac{\partial E_{y}}{\partial x}(2) \end{array} \right\rbrace\] \[div\ \overrightarrow{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} = 0 \Rightarrow E_{x}(t) = cte\] \[div\ \overrightarrow{B} = \frac{\partial B_{x}}{\partial x} = 0 \Rightarrow B_{x}(t) = cte\] \[rot\ \overrightarrow{B} = - \frac{\partial B_{z}}{\partial x}\overrightarrow{e_{y}} + \frac{\partial B_{y}}{\partial x}\overrightarrow{e_{z}} = \varepsilon_{0}\mu_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}\] \[\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{r} \frac{\partial E_{x}}{\partial t} = 0 \\ \frac{\partial E_{y}}{\partial t} = - \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial B_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial E_{z}}{\partial t} = \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial B_{y}}{\partial x}(4) \end{array}(3) \right\rbrace\] \[\frac{\partial}{\partial t}\ \text{pour}\ (3):\] \[\Rightarrow \frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} = - \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial^{2}B_{z}}{\partial x\partial t}\] \[\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} = - \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial}{\partial x}\left( - \frac{\partial E_{y}}{\partial x} \right)\] \[\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} = \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}\] \[\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} - c^{2}\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}} = 0\ \text{où}\ c^{2} = \frac{1}{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\]Idem pour $B_{z}$
Cette équation est une équation d’onde.
Les solutions de cette équation sont de la forme :
$E_{y}(x,t) = E_{0}\cos(\omega t - kx)$ où
$\omega = 2\pi\nu$ où $\omega$ désigne la pulsation et $\nu$ la fréquence.
\[k = \frac{2\pi}{\lambda}\ \text{ο}\text{ù}\ k\ \text{désigne le nombre d'ondes,}\ \lambda\ \text{la longueur d'onde}\]On a : $c = \lambda\nu$
- Pour deux sources de lumières identiques :
Champ électrique total :
\[E = E_{1} + E_{2} = 2E_{0}\cos(\omega t - kx) = 2E_{1}\]- Interférences constructives
- Pour source 2 allumée avec un retard $\tau = \frac{1}{2\nu}$
\(= E_{0}\cos\left( \omega t - kx + \frac{\omega}{2\nu} \right)\) \(= E_{0}\cos\left( \omega t - kx + \frac{\omega}{2\nu} + \pi \right)\) \(= - E_{0}\cos(\omega t - kx)\)
$\Rightarrow E_{1} + E_{2} = 0$.
- Interférences destructives
Interférences constructives :
\[\frac{2\pi\theta d}{\lambda} = 2n\pi\ \left( n\mathbb{\in N} \right) \Leftrightarrow \theta d = n\lambda\]Interférences destructives :
\[\frac{2\pi\theta d}{\lambda} = (2n + 1)\pi\ \left( n\mathbb{\in N} \right) \Leftrightarrow \theta d = \left( n + \frac{1}{2} \right)\lambda\]II. Insuffisance du modèle ondulatoire
a. Effet photoélectrique
On considère un morceau de métal (dans le vide) éclairé avec une lumière monochromatique (1 seule $\lambda/\nu$).
On observe qu’au-dessus d’une fréquence $\nu_{s}$, la lumière arrache des électrons au métal.
Si $\nu \geq \nu_{s} \Longrightarrow$ électron arraché
$\Longrightarrow$ courant électrique
Si $\nu < \nu_{s} \Longrightarrow$ pas d’électron arraché,
Pas de courant électrique
Si la tension fournie par le générateur est positive $(V > 0)$, le passage des électrons cathode $\rightarrow$ anode est facilité.
Si $V < 0\ $: le circuit s’oppose au passage des électrons.
Remarque : L’intensité $i$ du courant est proportionnelle au nombre d’électrons qui circulent.
D’après le graphique 1 :
L’énergie des électrons arrachés est indépendante de l’intensité de la source lumineuse
$i$ est proportionnel à $I$ $\Leftrightarrow$ le nombre d’électrons arrachés est proportionnel à $I$
D’après le graphique 2 :
Le nombre d’électrons arrachés est proportionnel à la fréquence $\nu$
L’énergie des électrons arrachés est proportionnelle à $\nu\ $: le potentiel d’arrêt $V_{0}$ est proportionnel à $\nu$
Remarques :
L’effet s’observe quel que soit l’intensité de la lumière si $\nu \geq \nu_{s}$
Les électrons sont arrachés en quelques nanosecondes
Conservation de l’énergie des électrons :
Si $\nu \geq \nu_{s}\ $:
Les seuls électrons qui arrivent sur l’anode sont ceux qui vérifient :
\[E_{c} > e\vert V\vert\]Si $V = V_{0}$, par conservation de l’énergie :
\[\Delta E_{m} = 0 \Leftrightarrow \Delta E_{c} + \Delta E_{p} = 0\] \[\left( 0 - \frac{1}{2}mv_{0}^{2} \right) + \left( 0 - eV_{0} \right) = 0\]$\frac{1}{2}mv_{0}^{2} = - eV_{0}$ où $e = 1.6 \times 10^{- 19}C$
$V_{0}$ est indépendant de l’intensité de $I$. $V_{0}$ diminue lorsque $\nu$ augmente.
c. Interprétation dans le cadre du modèle ondulatoire
Dans le modèle ondulatoire, on s’attend à ce que :
les électrons soient arrachés $\forall\nu$ (pas de fréquence seuil)
les électrons soient arrachés pour $I$ donnée en une durée $\tau$ donnée $\pm$ longue.
l’électron soit arraché après quelques secondes
- en contradiction avec l’observation
d. Nouvelle interprétation
Hypothèse de Planck, reprise par Einstein :
l’énergie de la lumière est proportionnelle à la fréquence : $E = h\nu$
Relation de Planck-Einstein.
\[\text{Or}\ \nu = \frac{\omega}{2\pi} \Longrightarrow E = \frac{h\omega}{2\pi} = \hslash\omega\] \[c = \lambda\nu \Rightarrow \nu = \frac{c}{\lambda} \Rightarrow E = \frac{hc}{\lambda}\]Bilan d’énergie :
\[E_{\text{photon}} = W + \frac{1}{2}mv^{2}\]Où $W$ est le travail d’extraction dépendant du métal
\[h\nu = W + \frac{1}{2}mv^{2}\]Si $\nu = \nu_{s}$, $E_{c} = \frac{1}{2}mv^{2} = 0$ (l’énergie fournie est minimale)
\[W = h\nu_{s}\]Si $\nu > \nu_{s}$, $E_{c} > 0\ $:
\[h\nu = W + \frac{1}{2}mv^{2}\] \[h\nu = h\nu_{s} + \frac{1}{2}mv^{2}\] \[\frac{1}{2}mv^{2} = h\left( \nu - \nu_{s} \right)\] \[- eV_{0} = h\left( \nu - \nu_{s} \right)\] \[- V_{0} = \frac{h}{c}\left( \nu - \nu_{s} \right) \rightarrow \ \text{expérience de Milikan} \Rightarrow \ \text{détermination de}\ h\]Attention : Ici, $V_{0} < 0$
On peut montrer, via la relativité restreinte, que $m_{\text{photon}} = 0$
III. La lumière : particule, onde, les deux ou aucun des deux ?
a. Interféromètre de Mach-Zehnder
On considère une source de lumière monochromatique.
$L_{1}$ et $L_{2}$ sont des lames séparatrices, réfléchissent 50% de la lumière et transmettent les 50% restants
$M_{1}$ et $M_{2}$ sont des miroirs parfaits
$D_{x}$ et $D_{y}$ sont des détecteurs de lumière.
On a $L_{1}M_{1} = L_{1}M_{2} = L_{2}M_{1} = L_{2}M_{2}$
Arrivée en $D_{x}$ si $T_{1} \rightarrow R \rightarrow R_{2}$ ou $R_{1} \rightarrow R \rightarrow T_{2}$
Arrivée en $D_{y}$ si $T_{1} \rightarrow R \rightarrow T_{2}$ ou $R_{1} \rightarrow R \rightarrow R_{2}$ $\Rightarrow$ pas le même nombre de réflexions.
Soit $I$ l’intensité de la lumière. $I$ est proportionnelle à $\vert E\vert ^{2}$ où $E$ est l’amplitude du champ électrique.
e. Analyse en termes d’onde
Lors d’une réflexion, l’amplitude $Ε$ est multipliée par $e^{\frac{i\pi}{2}}$
En $L_{1}\ $: Transmission $\Longrightarrow$ aucune modification du champ électrique
Réflexion sur $\overrightarrow{E}$.
Idem en $L_{2}$
En $M_{1}$ et $M_{2}\ $: réflexion uniquement
En $D_{x}$, 2 réflexions et 1 transmission $\Rightarrow \overrightarrow{E}$ est inchangé
En $D_{y}$, nombre de réflexions différent $\Rightarrow \overrightarrow{E} = \overrightarrow{0}$
Remarque :
Il ne faut pas raisonner sur l’intensité $I$, car pas d’interférence mais sur $\overrightarrow{E}$. $I \propto \left \vert \overrightarrow{E} \right \vert $
f. Analyse en termes de photons
Raisonnement naïf :
$D_{x}$ si $T_{1}RR_{2}$ ou $R_{1}RT_{2}$
$D_{y}$ si $R_{1}RR_{2}$ ou $T_{1}RT_{2}$
Probabilité d’une réflexion sur $L_{1}$ ou $L_{2}\ $: $p_{1} = \frac{1}{2}$. Idem pour transmission
Arrivée en $D_{x}\ $:
Probabilité $P_{x}$ d’arriver en $D_{x}\ $:
\[P_{x} = p_{1} \times p_{1} + p_{1} \times p_{1} = \frac{1}{2}\]Arrivée en $D_{y}\ $:
Idem : $P_{y} = \frac{1}{2}$
$\Longrightarrow$ Pour le raisonnement naïf, la lumière arrive en $D_{x}$ et $D_{y}$.
g. Conclusion
Si le chemin emprunté par le photon n’est pas connu, on observe des interférences. Or, ceci est en contradiction avec une théorie purement corpusculaire classique.
Si le chemin est connu, il n’y a plus d’interférences. Le modèle ondulatoire n’est plus pertinent.
Le photon n’est ni une onde ni une particule.
Conséquences :
- Le photon n’est ni une onde ni une particule mais un nouvel objet physique qui pourra avoir des propriétés corpusculaires ou ondulatoires selon l’expérience. On parle de quanton.
(ex : ornithorynque n’est ni une taupe ni un canard).
- Pour les ondes, le raisonnement sur $\overrightarrow{E}$ fonctionne
La lumière est détectée en $D_{x}$ uniquement, probabilité de détection en $D_{x} = 1$.
Or, en termes de particule, $P_{x} = \frac{1}{2}$
La probabilité observée est $1 \neq \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow$ la somme de probabilité n’est pas pertinente.
Le raisonnement par probabilité ne permet pas d’expliquer les interférences.
Ondes : $I$, $\overrightarrow{E}$
Corpuscules : $p$, ?
Nécessité d’introduire une nouvelle quantité.
Chapitre 2 : Ondes de matière
Matière $\Rightarrow$ $m \neq 0$. $\neq$ photon.
I. Hypothèse de Louis de Broglie
Louis de « Breuille »
De Broglie associe une onde aux particules :
$\psi\left( \overrightarrow{r},t \right) = \psi_{0}\exp\left\lbrack i\left( \omega t - \overrightarrow{k}\overrightarrow{r} \right) \right\rbrack$ Onde plane monochromatique.
Il reprend l’hypothèse de Planck-Einstein : $E = \hslash\omega$ où $\hslash = \frac{h}{2\pi}$
Il utilise le résultat d’Einstein dans la relativité restreinte : la grandeur
\[\left( \frac{E}{c} \right)^{2} - {\overrightarrow{p}}^{2}\ \text{est invariante par changement de référentiel galiléen}\]De Broglie montre que $\overrightarrow{p} = \hslash\overrightarrow{k}$
Où $\overrightarrow{p}$ est la quantité de mouvement et $\overrightarrow{k}$ est le vecteur d’onde.
Conséquence :
On peut associer une quantité de mouvement à la lumière, ce qui est impossible en physique classique car $\overrightarrow{p} = \overrightarrow{0}$.
Conséquence 2 :
On peut associer des propriétés ondulatoires ($\lambda$ et $f$) aux particules :
\[f = \frac{\omega}{2\pi},\ \ \lambda = \frac{2\pi}{\left \vert \overrightarrow{k} \right \vert }\]Longueur d’onde $\lambda_{dB} = \frac{2\pi}{\left \vert \overrightarrow{k} \right \vert }$ associée aux particules : longueur d’onde de de Broglie.
De plus, $\overrightarrow{p} = \hslash\overrightarrow{k}$, $\left \vert \overrightarrow{p} \right \vert = \hslash\left \vert \overrightarrow{k} \right \vert $.
\[mv = \hslash\frac{2\pi}{\lambda_{dB}}\] \[\lambda_{dB} = \frac{2\pi\hslash}{mv}\] \[\lambda_{dB} = \frac{h}{mv}\]II. Confirmation expérimentale
En 1927, expériences de Davisson et Germer.
Quelle taille de « fente » ? On observe des interférences si la longueur d’onde est de l’ordre de la taille des fentes.
Estimons $\lambda_{dB}$ d’un électron de vitesse $v \approx 7 \times 10^{4}\ m.s^{- 1} \ll c$
\[\lambda_{dB} \approx \frac{7 \times 10^{- 34}}{9 \times 10^{- 31} \times 7 \times 10^{4}} = \frac{1}{9}10^{- 7} \approx 10^{- 8}m\]III. Deux postulats de la mécanique quantique
Un système quantique (particule, …) possède un ensemble de propriétés (position, vitesse, spin) qui constitue l’état du système.
1^er^ postulat
L’état d’un système quantique est entièrement défini par sa fonction d’onde $\psi\left( \overrightarrow{r},t \right)$. L’ensemble de ces fonctions d’ondes appartiennent à un espace vectoriel (de Hilbert).
Les fonctions d’ondes sont des vecteurs de cet espace.
On peut faire des CL de vecteurs, donc des CL de fonctions d’onde et d’états
Ex : Pour le chat de Schrödinger, son état serait la somme d’une fonction d’onde « vivant » et d’une fonction d’onde « mort ».
En mécanique quantique, un système peut être dans une CL d’états.
2^e^ postulat
Lors d’un processus de mesure/détection, l’état d’un système quantique passe d’un état initial à un état final.
Au passage de l’état initial à l’état final, on associe une amplitude de probabilité $\mathbb{\in C}$.
La probabilité de passer d’un état à l’autre est donné par $\left\vert \text{amplitude de probabilité} \right\vert ^{2}$.
Dans le cas d’une particule de masse $m \neq 0$
Si on ne s’intéresse qu’au « déplacement » de la particule, l’état initial est la position initiale ${\overrightarrow{r}}{1}$ et l’état final est la position finale ${\overrightarrow{r}}{2}$.
$\psi\left( \overrightarrow{r},t \right)$ est l’amplitude de probabilité pour que la particule soit en $\overrightarrow{r}$.
$\left\vert \psi\left( \overrightarrow{r},t \right) \right\vert ^{2}$ est la distribution des positions de la particule dans l’espace
Complément :
Complément 2 :
En mécanique quantique :
\[P\left( r_{0} \leq r \leq r_{1} \right) = \int_{M_{0}}^{M_{1}}{\left\vert \psi\left( \overrightarrow{r},t \right) \right\vert ^{2}dxdydz}\] \[P = \int_{\begin{array}{r} \text{espace} \\ \text{accessible} \end{array}}^{}{\left\vert \psi\left( \overrightarrow{r},t \right) \right\vert ^{2}dV}\]Dimension de $\psi$
\[\left\lbrack \text{proba} \right\rbrack = \left\lbrack \int_{}^{}{\vert \varphi\vert ^{2}dV} \right\rbrack\] \[1 = \left\lbrack \vert \psi\vert ^{2} \right\rbrack\lbrack dV\rbrack\] \[\left\lbrack \vert \psi\vert ^{2} \right\rbrack = \frac{1}{L^{3}} \Rightarrow \lbrack\psi\rbrack = \frac{1}{L^{\frac{3}{2}}}\]Si la particule se déplace dans l’espace 3D
Ex : Fonction d’onde d’un électron autour du noyau d’un atome d’hydrogène
Si l’espace disponible est en 1D, $\lbrack\psi\rbrack = \frac{1}{L^{\frac{1}{2}}}$
On peut utiliser les fonctions d’onde pour expliquer le modèle de l’atome de Bohr.
$\vert \psi\vert ^{2}$ est lié à la probabilité de présence.
\[P = \int_{}^{}{\vert \psi\vert ^{2}dV}\] \[P = \int_{\text{tout le volume disponible}}^{}{\vert \psi\vert ^{2}dV} = 1\]Limite de la solution de de Broglie :
En 1D, avec $\psi(x,t) = \cos(\omega t - kx)$
\[\int_{- \infty}^{+ \infty}{\vert \psi\vert ^{2}dx} = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\cos^{2}(\omega t - kx)dx} \neq 1\]- L’onde plane monochromatique n’est pas une solution physique possible
Autre exemple de solution non physique :
\[\left\vert \psi(x,t) \right\vert = e^{kx - \omega t}\]Si la particule se propage dans tout l’espace,
\[\int_{- \infty}^{+ \infty}{e^{2kx}e^{- 2\omega t}dx} = e^{- 2\omega t}\int_{- \infty}^{+ \infty}e^{2kx} \rightarrow + \infty\]IV. Paquet d’ondes
a. Motivation
Certaines fonctions d’onde comme l’onde plane ne sont pas normalisables à 1.
- Interprétation probabiliste impossible
h. Superposition d’un nombre infini d’ondes
\[y_{1}(x) = A\cos\left( k_{1}x \right) = A\cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{1}} \right)\] \[y_{2}(x) = A\cos\left( k_{2}x \right) = A\cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{2}} \right)\] \[y(x) = y_{1}(x) + y_{2}(x) = A\left\lbrack \cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{1}} \right) + \cos\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{2}} \right) \right\rbrack\] \[y^{'}(x) = - A\left\lbrack \frac{2\pi}{\lambda_{1}}\sin\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{1}} \right) + \frac{2\pi}{\lambda_{2}}\sin\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{2}} \right) \right\rbrack\] \[\frac{1}{\lambda_{1}}\sin\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{1}} \right) = - \frac{1}{\lambda_{2}}\sin\left( \frac{2\pi x}{\lambda_{2}} \right)\] \[\cos p + \cos q = 2\cos\left( \frac{p + q}{2} \right)\cos\left( \frac{p - q}{2} \right)\] \[y(x) = 2A\cos\left\lbrack \pi x\left( \frac{1}{\lambda_{1}} + \frac{1}{\lambda_{2}} \right) \right\rbrack\cos\left\lbrack \pi x\left( \frac{1}{\lambda_{1}} - \frac{1}{\lambda_{2}} \right) \right\rbrack\] \[y(x) = 2A\cos\left( \pi x\frac{\lambda_{1} + \lambda_{2}}{\lambda_{1}\lambda_{2}} \right)\cos\left( \pi x\frac{\lambda_{2} - \lambda_{1}}{\lambda_{1}\lambda_{2}} \right)\] \[\lambda_{m} ≔ \frac{\lambda_{1} + \lambda_{2}}{2}\ \text{et}\ \delta\lambda = \frac{\lambda_{2} - \lambda_{1}}{2}\] \[y(x) = 2A\cos\left\lbrack \frac{2\pi x\lambda_{m}}{\lambda_{1}\lambda_{2}} \right\rbrack\cos\left\lbrack \frac{2\pi x\delta\lambda}{\lambda_{1}\lambda_{2}} \right\rbrack\] \[\lambda_{m} \gg \delta\lambda\]
Limites :
Toujours pas physique car oscillations d’amplitude (enveloppe)
La particule ne serait pas localisée
Probabilité totale $\neq 1$
i. Combinaison « infinie » d’ondes
Forme d’un paquet d’ondes
Pas de répétition d’enveloppe : localisation dans un certain intervalle.