CM
CM Séries
Pendant les CM : Des QCM à certains CM comptent dans la note de TD.
Introduction
Séries de Fourier
Séries entières
- Série de fonctions $\sum_{n}^{}{f_{n}(x)}$
Pour étudier les séries de fonctions, étudier d’abord les séries numériques et suites de fonctions.
Domaines d’applications : Traitement de signal, étude de convergence (intervalle de confiance)
Outils pour ce module : Développements limités, comparaisons (domination, négligeabilité, équivalence)
EDP : équations à dérivée partielle
EDO : équations différentielles ordinaires
Rappels :
Négligeabilité :
\[f =_{a}o(g) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a}\frac{f}{g} = 0\] \[u_{n} = o\left( v_{n} \right) \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}} = 0\]Soit \(a \in \overline{\mathbb{R}}\mathbb{= R \cup} \left\{ \pm \infty \right\}\)
On appelle voisinage de $a$ toute partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle de la forme :
$\rbrack a - \varepsilon;a + \varepsilon\lbrack,\ \varepsilon > 0\ \text{si}\ a\mathbb{\in R}$
$\rbrack A; + \infty\lbrack\ \text{si}\ a = + \infty$
$\rbrack - \infty;A\lbrack\ \text{si}\ a = - \infty$
$f = o(g)$ et $g = o(h)$ implique $f = o(h)$
\[f = o(g) \Rightarrow \forall\lambda \in \mathbb{R}^{*},\ f = o(\lambda g)\ \text{et}\ \lambda f = o(g)\] \[f_{1} = o(g),\ f_{2} = o(g) \Rightarrow f_{1} + f_{2} = o(g)\] \[f_{1} = o\left( g_{1} \right),\ f_{2} = o\left( g_{2} \right) \Rightarrow f_{1}f_{2} = o\left( g_{1}g_{2} \right)\] \[f = o(g) \Rightarrow fh = o(gh)\]Composition à droite autorisée
Addition et composition à gauche interdites.
Domination :
$f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ si $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$.
On note $f =_{a}\mathcal{O}(g)\ $
Mêmes propriétés que $o$
Equivalence :
\[f\sim_{a}g \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = 1\]Relation d’équivalence.
\[\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = l \Leftrightarrow f\sim_{a}l\] \[f\sim_{a}g \Leftrightarrow f = g + o(g)\]Produit, inverse, puissance (avec $\alpha$ fixe) et composition à droite.
Pas d’addition d’équivalences, pas de composition à gauche.
Exercice :
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{(1 + 6x)} - \sqrt[3]{1 + x}}{3\sin(x) - \ln(1 + x)}\] \[(1 + 6x)^{\frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5}(6x) + o\left( x^{2} \right)\] \[(1 + x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(x) + o\left( x^{2} \right)\] \[N = \frac{6x}{5} - \frac{1}{3}x = \frac{13}{15}x + o\left( x^{2} \right)\] \[3\sin(x) - \ln(1 + x) = 2x + o\left( x^{2} \right)\] \[lim = \frac{13}{30}\]Exercice :
\[\left( \frac{\left( a^{\frac{1}{x}} + b^{\frac{1}{x}} \right)}{2} \right)^{x}\] \[x \rightarrow + \infty,\forall\ a,b > 0\] \[\ln(E) = x\left\lbrack \ln\left( a^{\frac{1}{x}} + b^{\frac{1}{x}} \right) - \ln(2) \right\rbrack\] \[u = \frac{1}{x},\ u \rightarrow 0\] \[\ln\left( a^{u} + b^{u} \right) = \ln\left( 1 + u\ln(a) + o\left( u^{2} \right) + 1 + u\ln(b) \right)\] \[\ln\left( 2 + u\left( \ln(a) + \ln(b) \right) + o\left( u^{2} \right) \right)\] \[\ln\left( 1 + u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + o\left( u^{2} \right) \right) + \ln(2) = u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + \ln(2) + o\left( u^{2} \right)\] \[u\left( \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2} \right) + o\left( u^{2} \right)\] \[\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}\] \[\rightarrow \frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}\] \[R = e^{\frac{\ln(a) + \ln(b)}{2}} = \sqrt{ab}\]Exemple :
\[S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k}\] \[u_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k} - \ln(n + 1)}\] \[v_{n} = \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k} - \ln(n)}\]Montrer que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont adjacentes
\[u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} + \ln\left( \frac{n + 1}{n + 2} \right) = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right) = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)\] \[u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)\]Or $\ln(1 + X) \leq X\ (\forall X > - 1)$
\[u_{n + 1} - u_{n} \geq 0\]$\left( u_{n} \right)$ est croissante.
\[v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{n + 1} - \ln\left( \frac{n + 1}{n} \right)\] \[= \frac{1}{n + 1} - \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)\] \[= \frac{1}{n + 1} - \left( \frac{1}{n} + o\left( \frac{1}{n} \right) \right) < 0\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}{u_{n} - v_{n}} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\ln\left( \frac{n}{n + 1} \right)} = 0\]$(u_{n})$ et $\left( v_{n} \right)$ sont adjacentes et convergent vers la même limite $\gamma$ (constante d’Euler)
\[v_{n} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}\gamma \Rightarrow v_{n} = \gamma + o(1)\] \[v_{n}\sim\gamma\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1) = \ln(n) + O(1)\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k}\sim_{+ \infty}\ln(n)\]Série harmonique.$\ $
Chapitre 1 : Séries numériques
\[S = \sum_{n \geq 0}^{}u_{n} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\sum_{k = 0}^{n}u_{k}}\] \[S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}u_{k}\]Définition :
Soit $\left( u_{n} \right) \in \mathbb{C}^{n}$
$\forall p\mathbb{\in N,}$ on appelle p-ème somme partielle de $\left( u_{n} \right)$ le nombre
\[U_{p} = \sum_{k = 0}^{p}u_{k}\]La suite $\left( U_{n} \right)$ est appelée la série de terme général $u_{n}$ et est notée
\[\sum_{n \geq 0}^{}u_{n}\ \text{ou}\ \sum_{n = 0}^{+ \infty}u_{n}\text{ou}\ \sum_{}^{}u_{n}\]Remarque :
Mais si les séries ne sont que des suites, pourquoi se doter d’une théorie des séries ?
La théorie des suites (préing 1) n’est pas suffisante ?
La réponse : NON
En effet, la théorie des suites : à quelle conditions la suite $(u_{n})$ converge.
La théorie des séries : à quelles conditions sur $(u_{n})$ pour que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
Exemples :
\[\sum_{n \geq 1}^{}\frac{1}{n^{2}},\ \sum_{}^{}\frac{1}{n},\sum_{n \geq 0}^{}a^{n}\left( a\mathbb{\in R} \right)\]Définition :
Soit $(u_{n}) \in \mathbb{C}^{n}$. On suppose que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge
\[\text{Le nombre}\ \sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\sum_{k = 0}^{n}u_{k}}\ \text{est appelé la somme de la série}\ \sum u_{n}\] \[\text{Le reste : }\ \forall n\mathbb{\in N,}R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty}u_{k} = \sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} - \sum_{k = 0}^{n}u_{k}\]Remarque :
On parle du reste d’une série seulement dans le cas où elle converge.
Séries de référence :
Définition-Théorème :
Soit $z\mathbb{\in C,}$ la série $\sum z^{n}$, dite série géométrique de raison $z$, est convergente si et seulement si $ \vert z \vert < 1$
\[\text{Dans ce cas, }\ \sum_{}^{}z^{n} = \frac{1}{1 - z}\]Démonstration : Pour $z\mathbb{\in R}$
\[\text{Soit}\ S_{n} ≔ \sum_{k = 0}^{n}z^{n}\] \[\text{Montrons que},\ \forall \vert z \vert < 1,\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = \frac{1}{1 - z}\]Or $\left( S_{n} \right)$ est la somme d’une suite géométrique de raison $z$
\[S_{n} = \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}\ \text{si}\ z \neq 1,\ n + 1\ \text{sinon}\] \[S_{n} = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z}\ \text{si}\ z \neq 1 \\ n + 1\text{ sinon} \end{array} \right\}\]Si $z \neq 1$,
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}z^{n} = \left\{ \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ \vert z \vert < 1 \\ + \infty\ \text{si}\ z > 1 \\ \text{pas de limite si}\ z \leq 1 \end{array} \right\}\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = \left\{ \begin{array}{r} \frac{1}{1 - z}\ \text{si}\ \vert z \vert < 1 \\ + \infty\ \text{si}\ z \geq 1 \end{array} \right\}\]Exercice :
\[\text{Etudier}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{(série harmonique)}\]On sait que $\ln(1 + X) \leq X\ ;\ \forall X \geq - 1$
\[\frac{1}{k} \geq \ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)\ \forall k \in \mathbb{N}^{*}\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} \geq \sum_{k = 1}^{n}{\ln\left( 1 + \frac{1}{k} \right)} = \sum_{k = 1}^{n}{\ln\left( \frac{k + 1}{k} \right)} = \sum_{k = 1}^{n}\left( \ln(k + 1) - \ln(k) \right) = \ln(n + 1)\] \[S_{n} \geq \ln(n + 1)\ \text{or}\lim_{n \rightarrow + \infty}{\ln(n + 1)} = + \infty\]D’après le théorème de minoration,
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{S_{n}\ } = + \infty\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{diverge}\]Définition :
On dit qu’une série $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge grossièrement si la suite $\left( u_{n} \right)$ ne tend pas vers 0.
Théorème : Condition nécessaire de convergence d’une série
Si $\sum_{}^{}u_{n}$ converge, alors $\left( u_{n} \right) \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0$
Démonstration :
Par hypothèse, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge. Conclusion : $u_{n} \rightarrow 0$
\[\sum_{k = 0}^{+ \infty}u_{k} = S\] \[u_{n} = \sum_{k = 0}^{n}u_{k} - \sum_{k = 0}^{n - 1}u_{k} = S_{n} - S_{n - 1}\]On passe à la limite
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = S - S = 0\]Attention : La réciproque est fausse en général. Se tromper à ce sujet, c’est avouer que vous n’avez absolument rien compris de la théorie des séries.
Exemple : Série harmonique
Théorème : Critère de Cauchy
Une série numérique $\sum_{}^{}u_{n}$ converge si et seulement si elle satisfait le critère de Cauchy :
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }p\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\ \left \vert \sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k} \right \vert \leq \varepsilon\]Démonstration : $\left( S_{n} \right)$ est une suite alors on applique le critère de Cauchy sur la suite.
Exemple : Série harmonique
\[\sum_{k = n + 1}^{2n}\frac{1}{k} \geq \sum_{k = 1}^{2n}\frac{1}{2n} = \frac{1}{2n}n = \frac{1}{2}\]Le critère de Cauchy n’est pas vérifié, donc $\sum_{}^{}\frac{1}{n}$ diverge.
2. Opérations sur les séries
Théorème
Soient $\left( u_{n} \right)$ et $\left( v_{n} \right)$ deux suites de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
- Multiplication par un scalaire
$\forall\lambda \in \mathbb{K}^{*}$, les séries $\sum u_{n}$ et $\sum\lambda u_{n}$ sont de même nature.
- Somme
Si $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ convergent, la série $\sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}$ converge aussi.
Si $\sum_{}^{}u_{n}$ converge et $\sum_{}^{}v_{n}$ diverge, la série $\sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}$ diverge
Dans $\mathbb{C}$, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge $\Leftrightarrow \sum_{}^{}{Re\left( u_{n} \right)}$ et $\sum_{}^{}{Im(u_{n})}$ convergent.
Remarque : L’ensemble des séries est un $\mathbb{K -}e.v.$
En particulier, l’ensemble des séries convergentes est un s.e.v.
Attention :
Si $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ divergent toutes les deux, on ne peux pas conclure en général la nature de $\sum_{}^{}u_{n} + v_{n}$
Exemple :
\[u_{n} = \frac{1}{n},v_{n} = \frac{1}{n},\ \sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}\ \text{diverge}\] \[u_{n} = \frac{1}{n},v_{n} = - \frac{1}{n},\ \sum_{}^{}{u_{n} + v_{n}}\ \text{converge}\]3. Comparaison série-intégrale et série de Riemann
Définition-Théorème
Soit $\alpha\mathbb{\in R}$. La série de Riemann $\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$
\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}} = \zeta(\alpha)\]Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{diverge car}\ \alpha = 1\]Démonstration :
Etudions la convergence de $\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}$
Si $\alpha \leq 0$, $\lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \neq 0$
\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}\ \text{diverge grossièrement}\]Si $\alpha > 0$,
On pose $f\ :t \rightarrow \frac{1}{t^{\alpha}},\ t \in \rbrack 0\ ; + \infty\lbrack$. $f$ est décroissante.
\[\forall k \in \mathbb{N}^{*},\ \forall t \in \lbrack k,k + 1\rbrack,\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \frac{1}{t^{\alpha}} \leq \frac{1}{k^{\alpha}}\] \[\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{k}^{k + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt} \leq \frac{1}{k^{\alpha}}\]On somme sur $k$
\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \sum_{k = 1}^{n}{\int_{k}^{k + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}} \leq \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{t^{\alpha}}\] \[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{1}^{n + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt} \leq \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{t^{\alpha}}\]Si $a \in \rbrack 0\ ;1\lbrack\ $
\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}} \geq \int_{1}^{n + 1}\frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1}{1 - \alpha}\left\lbrack t^{1 - \alpha} \right\rbrack_{1}^{n + 1} = \frac{1}{1 - \alpha}\left( (n + 1)^{1 - \alpha} - 1 \right)\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{1}{1 - \alpha}\left( (n + 1)^{1 - \alpha} - 1 \right)} = + \infty\] \[\text{Donc, d'après le théorème des limites monotones},\ \sum_{}^{}\frac{1}{k^{\alpha}}\ \text{diverge}\]Si $\alpha = 1$
\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k} \geq \int_{1}^{n + 1}\frac{dt}{t} = \ln(n + 1) \rightarrow + \infty\] \[\text{De même},\ \sum_{}^{}\frac{1}{k}\ \text{diverge}\]Si $\alpha > 1$
\[\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq \int_{1}^{n + 1}{\frac{1}{t^{\alpha}}dt}\]Montrons que $\left( S_{n} \right)$ converge en utilisant le théorème de convergence monotone.
\[S_{n + 1} - S_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{\alpha}} \geq 0\ \text{donc}\ S_{n}\ \text{est croissante}\] \[S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k^{\alpha}} = 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{1}{(k + 1)^{\alpha}} \leq 1 + \int_{1}^{n}\frac{dt}{t^{\alpha}} = 1 + \frac{1}{1 - \alpha}\left( n^{1 - \alpha} - 1 \right)\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{n^{1 - \alpha} - 1}{1 - \alpha}\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1} - \frac{1}{\left( n^{\alpha - 1} \right)(\alpha - 1)} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1}\] \[S_{n} \leq 1 + \frac{1}{\alpha - 1}\]$S_{n}$ est croissante et majorée donc elle converge.
Exercice : Série de Bertrand : cas particulier
\[S_{n} = \sum_{}^{}\frac{1}{n\ln n}\]Montrer que cette série diverge.
Théorème : Comparaison : Série-Intégrale
Soient $a\mathbb{\in R}$
$f:\lbrack a\mathbb{; + \infty\lbrack \rightarrow R}$ positive et décroissante.
\[\sum_{}^{}{f(n)}\ \text{avec}\ n \geq a\ \text{et}\ \int_{a}^{+ \infty}{f(t)dt}\ \text{sont de même nature}\]Démonstration : $a = 0$
$f$ est décroissante. Soit $t \in \lbrack k\ ;k + 1\rbrack,k\mathbb{\in N}$
\[f(k + 1) \leq f(t) \leq f(k)\]On intègre entre $k$ et $k + 1$ (par rapport à $t$)
\[f(k + 1) \leq \int_{k}^{k + 1}{f(t)dt} \leq f(k)\]On somme :
\[\sum_{k = 0}^{n}{f(k + 1)} \leq \int_{0}^{n + 1}{f(t)dt} \leq \sum_{k = 0}^{n}{f(k)}\] \[S_{n + 1} \leq \int_{0}^{n + 1}{f(t)dt} \leq S_{n}\]Alors si $\left( S_{n} \right)$ converge, $\left( S_{n + 1} \right)_{n}$ converge et d’après le théorème d’encadrement,
\[\int_{0}^{n + 1}{f(t)dt}\ \text{converge}\]Exemple :
\[\sum_{n \geq 2}^{}\frac{1}{n\ln(n)}\ \text{diverge}\]En effet : On pose
\[f(t) = \frac{1}{t\ln t},\ \forall t \in \lbrack 2; + \infty\lbrack\]$f$ est positive et décroissante
Soit $t \in \lbrack k\ ;k + 1\rbrack$
\[f(k + 1) \leq f(t) \leq f(k)\] \[\frac{1}{(k + 1)\ln(k + 1)} \leq \frac{1}{t\ln t} \leq \frac{1}{k\ln k}\]On intègre :
\[\int_{k}^{k + 1}\frac{dt}{t\ln t} \leq \frac{1}{k\ln k}\]On somme de $k = 2$ à $k = n$
\[\int_{2}^{n + 1}\frac{dt}{t\ln t} \leq \sum_{k = 2}^{n}\frac{1}{k\ln k}\] \[\left\lbrack \ln\left( \ln t \right) \right\rbrack_{2}^{n + 1} = \ln\left( \ln(n + 1) \right) - \ln\left( \ln(2) \right)\] \[S_{n} \geq \ln\left( \ln(n + 1) \right) - \ln\left( \ln(2) \right)\]Par comparaison,
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = + \infty\]Définition : Série absolument convergente
On dit que $\sum_{}^{}u_{n}$ est absolument convergente ou qu’elle converge absolument si $\sum_{}^{}\left \vert u_{n} \right \vert$ est convergente.
Théorème :
Toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration :
Par hypothèse, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument, $\sum_{}^{}\left \vert u_{n} \right \vert$ converge. Montrer que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}p\mathbb{\in N,\forall}n\mathbb{\in N\ }\text{et}\ n \geq n_{0} \Rightarrow \ \sum_{k = n + 1}^{n + p}\left \vert u_{k} \right \vert \leq \varepsilon\]$\sum_{}^{}\left \vert u_{n} \right \vert$ vérifie le critère de Cauchy
\[\text{Or}\ \left \vert \sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k} \right \vert \leq \sum_{k = n + 1}^{n + p}\left \vert u_{k} \right \vert \leq \varepsilon\] \[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}p\mathbb{\in N,\forall}n\mathbb{\in N\ }\text{et}\ n \geq n_{0} \Rightarrow \ \sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k} \leq \varepsilon\]Donc $\sum u_{n}$ converge.
Attention :
La réciproque est fausse.
Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n}\ \text{converge (démonstration dans les prochaines semaines)}\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n}\ \text{diverge}\]Définition : Série semi-convergente
Une série numérique qui converge mais ne converge pas absolument est dite semi-convergente.
\[\text{Exemple :}\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n}\]4. Série à termes positifs
On s’intéresse à présent aux séries dont le terme général est positif à partir d’un certain rang, mais les résultats que nous allons démontrer s’adaptent aisément au cas négatif (en remplaçant croissant par décroissant, majoré par minoré, $+ \infty$ par $- \infty$, …
L’essentiel est que le terme général soit de signe constant.
Théorème :
Une série à termes positifs converge si et seulement si la somme partielle est majorée.
En cas de divergence, $S_{n} \rightarrow + \infty$
Démonstration :
$\left( S_{n} \right)$ est croissante car $S_{n + 1} - S_{n} = u_{n + 1} \geq 0$
Or $\left( S_{n} \right)$ converge alors $\left( S_{n} \right)$ est majorée.
Théorème : Comparaison par inégalité
Soient $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ deux séries réelles à termes positifs.
On suppose que $0 \leq u_{n} \leq v_{n}\ \forall n \geq N\mathbb{\in N}$
- i. Si $\sum_{}^{}v_{n}$ converge alors $\sum_{}^{}u_{n}$ converge
- ii. Si $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge alors $\sum_{}^{}v_{n}$ diverge
Démonstration :
- i.
On suppose que $\sum_{}^{}v_{n}$ converge
Soit $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}u_{k}$, $T_{n} = \sum_{k = 0}^{n}v_{n}$
\[S_{n} \leq T_{n}\]Or $\left( T_{n} \right)$ converge, donc $\left( T_{n} \right)$ est majorée, donc $\left( S_{n} \right)$ est majorée donc $\left( S_{n} \right)$ converge
- ii.
Exemple :
Etudier la nature des séries suivantes :
\[S_{n} = \sum_{}^{}\frac{1}{n^{3}\left( 2 + \sin\sqrt{n^{3} + n^{2} + 5} \right)}\] \[T_{n} = \sum_{}^{}\frac{\exp\left( \cos\left( \frac{n!}{\sqrt{n^{2} + 1}} \right) \right)}{\sqrt{n}}\] \[n^{3}\left( 2 + \sin\sqrt{n^{3} + n^{2} + 5} \right) \geq n^{3}\] \[\frac{1}{n^{3}\left( 2 + \sin\sqrt{n^{3} + n^{2} + 5} \right)} \leq \frac{1}{n^{3}}\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{3}}\ \text{est une série de Riemann avec}\ \alpha = 3 > 1\ \text{donc convergente alors}\ \left( S_{n} \right)\ \text{converge}\] \[\frac{\exp\left( \cos\left( \frac{n!}{\sqrt{n^{2} + 1}} \right) \right)}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{e}\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{\sqrt{n}}\ \text{est une série de Riemann avec}\ \alpha = \frac{1}{2} < 1\ \text{donc divergente alors}\ \sum_{}^{}\frac{1}{e\sqrt{n}}\ \text{diverge}\]Par comparaison, $\left( T_{n} \right)$ diverge.
Théorème : Comparaison par des équivalents
Soient $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ deux séries à termes positifs telles que $u_{n}\sim v_{n}$ alors :
i. Les séries $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ sont de même nature
ii. En cas de convergence, les restes sont équivalents
iii. En cas de divergence, les sommes partielles sont équivalentes
Démonstration :
Par hypothèse, $u_{n}\sim v_{n}$ et $\forall n,\ u_{n} \geq 0,v_{n} \geq 0$
\[u_{n}\sim v_{n} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow + \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}} = 1\] \[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }n \geq n_{0} \Rightarrow \left \vert \frac{u_{n}}{v_{n}} - 1 \right \vert \leq \varepsilon\] \[v_{n}(1 - \varepsilon) \leq u_{n} \leq v_{n}(1 + \varepsilon)\]Si $\sum_{}^{}v_{n}$ converge, alors $\sum_{}^{}{(1 + \varepsilon)v_{n}}$ converge, alors d’après le théorème de comparaison par inégalité, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
Si $\sum_{}^{}v_{n}$ diverge, alors $\sum_{}^{}{(1 - \varepsilon)v_{n}}$ diverge, et d’après le théorème de comparaison par inégalités, $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge.
Exemple :
Etudier les séries suivantes :
\[S_{n} = \sum_{}^{}\frac{e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1}{n^{2}(n - 1)}\] \[T_{n} = \sum_{}^{}{\ln\left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)}\] \[e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1\ \sim\frac{1}{\sqrt{n}}\] \[n^{2}(n - 1)\ \sim\ n^{3}\] \[\frac{e^{\frac{1}{\sqrt{n}}} - 1}{n^{2}(n - 1)}\ \sim\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\ \text{est une série de Riemann avec}\ \alpha = \frac{7}{2} > 1\] \[\text{Donc}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{\frac{7}{2}}}\ \text{converge donc}\ \left( S_{n} \right)\ \text{converge}\] \[\ln\left( 1 + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)\ \sim\frac{1}{\sqrt{n}}\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{\sqrt{n}}\ \text{est une série de Riemann divergente donc}\ \left( T_{n} \right)\ \text{diverge}\]Théorème : Règle de domination
Soient $\sum_{}^{}u_{n}$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ deux séries à termes positifs telles que $u_{n} = Ο\left( v_{n} \right)$
Si $\sum_{}^{}v_{n}$ converge alors $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
Démonstration :
$u_{n} = Ο\left( v_{n} \right)$ et $\sum_{}^{}v_{n}$ converge. Montrons que $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
\[u_{n} = Ο\left( v_{n} \right) \Leftrightarrow \exists n_{0}\mathbb{\in N,\ \forall}n \geq n_{0},\ \exists M \in \mathbb{R}^{+},\ u_{n} \leq Mv_{n}\]Or $\sum_{}^{}{Mv_{n}}$
D’après le théorème de comparaison par inégalité, $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
Exemple :
\[u_{n} = \frac{e^{\cos(n)}}{n^{\frac{5}{2}}}\] \[u_{n} = Ο\left( \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}} \right)\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}\ \ \text{converge donc}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge}\]Théorème : Règle de « petit o »
Même théorème que le précédent en remplaçant $Ο$ par $ο$
Exemple :
\[u_{n} = \frac{1}{\left( \ln n \right)^{n}} = \frac{1}{e^{n\ln\left( \ln n \right)}} = ο\left( \frac{1}{n^{2}} \right)\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}}\ \text{converge donc}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge}\]Remarque :
Les deux théorèmes précédents restent vrais si $\sum_{}^{}u_{n}$ est à valeurs complexes, il suffit de remplacer $u_{n}$ par $\left \vert u_{n} \right \vert$
Corollaire : Règle de « $n^{\alpha}$ » ou Règle de Riemann
Soient $\sum_{}^{}u_{n}$ une série à termes positifs.
Si $\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{\alpha}u_{n}} = 0$ et $\alpha > 1$ alors $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
Si $\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{\alpha}u_{n}} = + \infty$ et $\alpha \leq 1$ alors $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge.
Démonstration :
i. On a $\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{\alpha}u_{n}} = 0 \Leftrightarrow u_{n} = ο\left( \frac{1}{n^{\alpha}} \right)$ or $\sum_{}^{}\frac{1}{n^{\alpha}}$ converge donc $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
ii. $\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{\alpha}u_{n}} = + \infty \Leftrightarrow \exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }n \geq n_{0},\ n^{\alpha}u_{n} \geq 1$
5. Règle d’Alembert et Règle de Cauchy
Théorème : Règle d’Alembert
Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite d’éléments de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). On suppose que $u_{n} \neq 0$ à partir d’un certain rang et $\lim_{n \rightarrow + \infty}\left \vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right \vert = l \in \overline{\mathbb{R}_{+}}$
i. Si $l < 1$, alors $\sum_{}^{}\left \vert u_{n} \right \vert$ converge, donc $\sum_{}^{}u_{n}$ converge.
ii. Si $l > 1$, alors $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge grossièrement.
Attention : $l = 1$ est le cas douteux de la règle
d’Alembert. On ne peut pas conclure.
Exemple :
Si on applique la règle d’Alembert à la série de Riemann on trouve le cas douteux.
\[\left \vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right \vert = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{\alpha} \rightarrow 1\]Démonstration :
- i.
Soit $\varepsilon = \frac{1 - l}{2}$
\[\frac{\left \vert u_{n + 1} \right \vert}{(l + \varepsilon)^{n + 1}} < \frac{\left \vert u_{n} \right \vert}{(l + \varepsilon)^{n}} \Rightarrow \left( \frac{\left \vert u_{n} \right \vert}{(l + \varepsilon)^{n}} \right)\ \text{est décroissante et minorée par}\ 0\] \[\left( \frac{\left \vert u_{n} \right \vert}{(l + \varepsilon)^{n}} \right)\ \text{est convergente donc bornée}\] \[\left \vert u_{n} \right \vert = Ο\left( (l + \varepsilon)^{n} \right)\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}(l + \varepsilon)^{n}\ \text{converge car}\ 0 < l + \varepsilon < 1\] \[\sum_{}^{}\left \vert u_{n} \right \vert\ \text{converge donc}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge absolument}\]- ii.
$\left( \left \vert u_{n} \right \vert \right)$ est croissante et strictement positive donc $\left \vert u_{n} \right \vert$ ne tend pas vers 0.
\[\sum_{}^{}u_{n}\ \text{diverge grossièrement}\]Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{n^{2}}{3^{n}}\ \text{converge}\] \[\sum_{}^{}\frac{z^{n}}{n!}\ \text{converge}\]En effet,
\[u_{n} ≔ \frac{n^{2}}{3^{n}},\ \left \vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right \vert = \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \left( \frac{n + 1}{n} \right)^{2} \times \frac{1}{3} \rightarrow \frac{1}{3} < 1\]Converge d’après la règle d’Alembert
\[u_{n} ≔ \frac{z^{n}}{n!}\] \[\left \vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right \vert = \frac{\left \vert z^{n + 1} \right \vert}{\left \vert z_{n} \right \vert} \times \frac{n!}{(n + 1)!} = \frac{ \vert z \vert }{n + 1} \rightarrow 0\]Converge d’après la règle d’Alembert.
Note :
\[\sum_{n \geq 0}^{}\frac{z^{n}}{n!} = e^{z}\]Appliquée aux factorielles, exponentielles et puissance.
Théorème : Règle de Cauchy
Soit $\left( u_{n} \right)$ une suite d’éléments de $\mathbb{K}$.
Supposons que $\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{\left \vert u_{n} \right \vert} = l$
i. Si $l < 1$ alors $\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument
ii. Si $l > 1$ alors $\sum_{}^{}u_{n}$ diverge grossièrement
Démonstration :
On suppose que $\lim_{n \rightarrow + \infty}\sqrt[n]{\left \vert u_{n} \right \vert} = l < 1$
\[\exists a \in \mathbb{R}_{+},\ l < a < 1\] \[\Rightarrow \sqrt[n]{\left \vert u_{n} \right \vert} \leq a\] \[\Rightarrow \left \vert u_{n} \right \vert \leq a^{n}\]Or $\sum_{}^{}a^{n}$ converge donc $\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument
Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{1}{\left( \ln n \right)^{n}}\]On applique la règle de Cauchy.
\[\sqrt[n]{\left \vert u_{n} \right \vert} = \sqrt[n]{u_{n}} = \frac{1}{\ln(n)} \rightarrow 0 < 1\]$\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument.
Exemple :
\[\sum_{n \geq 0}^{}\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n^{2}}\]On applique la règle de Cauchy
\[\sqrt[n]{u_{n}} = \left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n} = \frac{1}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}} \rightarrow \frac{1}{e} < 1\]$\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument.
Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{n^{\ln n}}{\left( \ln n \right)^{n}}\]On applique la règle de Cauchy
\[\sqrt[n]{\frac{n^{\ln n}}{\left( \ln n \right)^{n}}} = \frac{n^{\frac{\ln n}{n}}}{\ln n} = \frac{e^{\frac{\ln(n)^{2}}{n}}}{\ln n} \rightarrow 0\]$\sum_{}^{}u_{n}$ converge absolument.
Remarque :
Dans le cas douteux $(l = 1)$ si on a testé avec règle d’Alembert, pas la peine de tester la règle de Cauchy.
6. Séries alternées
Définition : Série alternée
On appelle série alternée toute série de la forme
\[\sum_{}^{}{( - 1)^{n}a_{n}}\ \text{avec}\ \left( a_{n} \right)\ \text{suite réelle de signe constant}\]Exemples :
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n};\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}e^{- n}}{n^{2} + 2}\]Théorème : Critère spécial des séries alternées (CSSA) ou Critère de Leibniz
Soit $\left( a_{n} \right)$ une suite à termes positifs décroissante et de limite nulle.
Alors,
\[\sum_{}^{}{( - 1)^{n}a_{n}}\ \text{converge}\]De plus,
Sa somme $S$ vérifie $S_{2n + 1} \leq S \leq S_{2n}$
Son reste $R_{n}$ vérifie $\left\vert R_{n} \right\vert \leq a_{n + 1}$
Démonstration :
Pour montrer que $\sum_{}^{}{( - 1)^{n}a_{n}}$ converge, il suffit de montrer que $\left( S_{2n + 1} \right)$ et $\left( S_{2n} \right)$ sont adjacentes.
\[S_{2n + 3} - S_{2n + 1} = a_{2n + 2} - a_{2n + 3} \geq 0\]Alors $\left( S_{2n + 1} \right)$ est croissante.
\[S_{2n + 2} - S_{2n} = a_{2n + 2} - a_{2n + 1} \leq 0\]Alors $\left( S_{2n} \right)$ est décroissante.
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{s_{2n + 1} - S_{2n}} = \lim_{n \rightarrow + \infty}\left( - a_{2n + 1} \right) = 0\]Donc $\left( S_{2n + 1} \right)$ et $\left( S_{2n} \right)$ sont adjacentes, elles convergent vers la même limite $S$
\[S_{2n + 1} \leq S \leq S_{2n}\]D’après le théorème des suites extraites, $\left( S_{n} \right)$ converge.
\[\left\vert R_{2n} \right\vert = \left\vert S - S_{2n} \right\vert \leq \left\lbrack S_{2n - 1} - S_{2n} \right\vert = a_{2n + 1}\] \[\left\vert R_{2n + 1} \right\vert = \left\vert S - S_{2n + 1} \right\vert \leq \left\vert S_{2n + 2} - S_{2n + 1} \right\vert = a_{2n + 2}\]Définition-Théorème : Série de Riemann alternée
\[\text{La série alternée}\ \sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\alpha}}\ \text{est une série de Riemann alternée}\]Elle converge si et seulement si $\alpha > 0$
Démonstration :
Si $\alpha \leq 0$, la série diverge grossièrement.
Si $\alpha > 0$,
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\alpha}}\]Est une série alternée avec $a_{n} = \frac{1}{n^{\alpha}}$
Or $\left( a_{n} \right) \rightarrow 0\ \text{car}\ \alpha > 0$
$\left( a_{n} \right)$ est décroissante car $\left( n^{\alpha} \right)_{n}$ est croissante.
D’après le CSSA,
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\alpha}}\ \text{converge}\]Attention :
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\alpha}}\ \text{est semi-convergente si}\ \alpha \in \rbrack 0;1\rbrack\]Remarque :
Généralement, il ne faut pas appliquer le CSSA directement quand on étudie une série alternée.
En effet, l’hypothèse de décroissance de $\left( a_{n} \right)$ peut être difficile à vérifier, voire fausse.
Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}} + n^{\frac{1}{4}}\sin\left( \pi^{n} \right)}\]La monotonie de la suite $a_{n} = \frac{1}{n^{\frac{3}{4}} + n^{\frac{1}{4}}\sin\left( \pi^{n} \right)}$ est difficile à étudier donc le CSSA ne nous sera donc pas utile à appliquer.
Dans ce cas, un DL au terme général.
\[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}} + n^{\frac{1}{4}}\sin\left( \pi^{n} \right)}\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}}}\left( \frac{1}{1 + \frac{\sin\left( \pi^{n} \right)}{\sqrt{n}}} \right)\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}}}\left( 1 + Ο\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \right)\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}}} + Ο\left( \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \right)\] \[u_{n} = b_{n} + c_{n}\] \[\sum_{}^{}b_{n}\ \text{converge car c'est une série de Riemann alternée avec}\ \alpha = \frac{3}{4} > 0\] \[\sum_{}^{}{Ο\left( \frac{1}{n^{\frac{5}{4}}} \right)}\ \text{converge car}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{\frac{5}{4}}}\ \text{converge car série de Riemann avec}\ \alpha = \frac{5}{4} > 1\] \[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{\frac{3}{4}} + n^{\frac{1}{4}}\sin\left( \pi^{n} \right)}\ \text{converge car}\ \sum_{}^{}b_{n}\ \text{et}\ \sum_{}^{}c_{n}\ \text{convergent}\]Exemple :
\[\sum_{}^{}u_{n}\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{\sqrt{n} + ( - 1)^{n}}\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{\sqrt{n}}\left( \frac{1}{1 + \frac{( - 1)^{n}}{\sqrt{n}}} \right)\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{\sqrt{n}}\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{n}} + Ο\left( \frac{1}{n} \right) \right)\] \[u_{n} = \frac{( - 1)^{n}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + Ο\left( \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right)\] \[u_{n} = b_{n} + c_{n} + d_{n}\] \[\sum_{}^{}b_{n}\ \text{converge car c'est une série de Riemann alternée avec}\ \alpha = \frac{1}{2} > 0\] \[\sum_{}^{}c_{n}\ \text{diverge car c'est une série de Riemann avec}\ \alpha = 1\] \[\sum_{}^{}{Ο\left( \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} \right)}\ \text{converge car}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\ \text{converge car série de Riemann avec}\ \alpha = \frac{3}{2} > 1\] \[\sum_{}^{}u_{n}\ \text{diverge}\]Attention :
Dans le théorème de comparaison par équivalence, on a précisé que $\left( u_{n} \right)$ et $\left( v_{n} \right)$ sont à termes positifs (signe constant).
Dans le cas des séries à termes quelconques, le critère d’équivalence est faux.
Voici un contre-exemple.
7. Produit de Cauchy
Définition :
\[\sum_{i \geq 0}^{}a_{i},\sum_{i \geq 0}^{}b_{i}\ \text{deux séries}\]On appelle produit de Cauchy la série :
\[\sum_{k \geq 0}^{}C_{k},\ \text{où}\ C_{k} = \sum_{i = 0}^{k}{a_{i}b_{k - i}}\]Remarque :
Une autre façon d’écrire le coefficient $C_{k}$ est
\[C_{k} = \sum_{i + j = k}^{}{a_{i}b_{j}}\]Théorème :
Si $\sum_{}^{}a_{i}$ et $\sum_{}^{}b_{i}$ sont absolument convergentes, alors le produit de Cauchy est absolument convergent.
On a :
\[\sum_{k \geq 0}^{}C_{k} = \left( \sum_{i \geq 0}^{}a_{i} \right)\left( \sum_{i \geq 0}^{}b_{i} \right)\]Démonstration : Voir Teams
Exemple :
\[e^{a + b} = e^{a}e^{b}\]En effet,
\[e^{a} = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{a^{n}}{n!},\ e^{b} = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{b^{n}}{n!}\] \[e^{a}e^{b} = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{a^{n}}{n!}\sum_{n \geq 0}^{}\frac{b^{n}}{n!}\]Or $\sum_{}^{}\frac{a^{n}}{n!},\sum_{}^{}\frac{b^{n}}{n!}$ Sont absolument convergentes.
D’après le théorème :
\[e^{a}e^{b} = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{a^{n}}{n!}\sum_{n \geq 0}^{}\frac{b^{n}}{n!} = \sum_{k \geq 0}^{}\left( \sum_{n = 0}^{k}{a_{n}b_{k - n}} \right) = \sum_{k \geq 0}^{}\left( \sum_{n = 0}^{k}\frac{a^{n}}{n!} \times \frac{b^{k - n}}{(k - n)!} \right) = \sum_{n \geq 0}^{}\left( \sum_{k = 0}^{n}\frac{a^{k}}{k!} \times \frac{b^{n - k}}{(n - k)!} \right) = \sum_{n \geq 0}^{}\left( \sum_{k = 0}^{n}\frac{a^{k}}{k!} \times \frac{b^{n - k}}{(n - k)!} \times \frac{n!}{n!} \right) = \sum_{n \geq 0}^{}\left( \frac{1}{n!}\sum_{k = 0}^{n}{\left( \begin{array}{r} n \\ k \end{array} \right)a^{k}b^{n - k}} \right) = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{(a + b)^{n}}{n!}\]Attention :
Si $\sum_{}^{}a_{n}$ et $\sum_{}^{}b_{n}$ ne sont pas absolument convergentes mais seulement convergentes alors la série produit de Cauchy peut être divergente.
Contre-exemple :
\[a_{i} = b_{i} = \frac{( - 1)^{i}}{\sqrt{1 + i}}\] \[C_{n} = \sum_{k = 0}^{n}{a_{n}b_{n - k}} = \sum_{k = 0}^{n}\frac{1}{\sqrt{(1 + k)(1 + n - k)}}\] \[(1 + k)(1 + n - k) = 1 + n - k + k + kn - k^{2}\]Or $(1 + x)(1 + n - x) = 1 + n - x + x + nx - x^{2} = - x^{2} + nx + (n + 1)$
Rappel : Soit $f(x) = ax^{2} + bx + c$
Si $a < 0$, alors $\forall x\mathbb{\in R,\ }f(x) < = f\left( - \frac{b}{2a} \right)$
\[(1 + x)(1 + n - x) \leq - \left( \frac{n}{2} \right)^{2} + \frac{n^{2}}{2} + n + 1 = \frac{n^{2}}{4} + n + 1 = \left( \frac{n}{2} + 1 \right)^{2}\] \[(1 + x)(1 + n - x) \leq \frac{1}{4}(n + 2)^{2}\] \[\sqrt{(1 + x)(1 + n - x)} \leq \frac{1}{2}(n + 2)\] \[\frac{1}{\sqrt{(1 + x)(1 + n - x)}} \geq \frac{2}{n + 2}\] \[C_{n} \geq \sum_{k = 1}^{n}\frac{2}{n + 2}\] \[C_{n} \geq \frac{2(n + 1)}{n + 2} \rightarrow_{+ \infty}2\] \[\sum_{}^{}C_{n}\ \text{diverge grossièrement}\]8. Sommation d’Abel
Théorème : « Critère d’Abel » ou « Sommation d’Abel »
Soient $\left( a_{n} \right)$ et $\left( b_{n} \right)$ deux suites telles que
$\left( a_{n} \right)$ et décroissante et tend vers 0
La somme partielle $\sum_{}^{}b_{k}$ est bornée
Alors $\sum_{}^{}{a_{n}b_{n}}$ converge.
Remarque :
Le critère spécial des séries alternées est un cas particulier de la sommation d’Abel.
En effet, si $b_{n} = ( - 1)^{n}$, alors $\left\vert \sum_{k = 0}^{n}b_{k} \right\vert \leq 1$
Si $\left( a_{n} \right)$ est décroissante et tend vers 0, alors $\sum_{}^{}{a_{n}b_{n}}$ converge.
Application :
Séries de Fourier.
\[\sum_{}^{}{a_{n}e^{in\theta}\ },\sum_{}^{}{a_{n}\cos(n\theta)},\sum_{}^{}{a_{n}\sin(n\theta)}\ \text{sont des séries de Fourier}\]Si $\left( a_{n} \right)$ est décroissante et tend vers 0 alors les séries de Fourier convergent.
Exemple :
\[\sum_{n \geq 0}^{}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt{n + 1}}\ \text{converge}\ \forall\theta\mathbb{\in R}\]En effet, on applique le théorème « Sommation d’Abel »
\[a_{n} ≔ \frac{1}{\sqrt{n + 1}}\ \text{est décroissante et tend vers}\ 0\]Reste à montrer que $\sum_{k = 0}^{n}b_{k}$ est bornée avec $b_{k} = \sin(k\theta)$
\[S_{n} ≔ \sum_{k = 0}^{n}{\sin(k\theta)} = Im\left( \sum_{k = 0}^{n}e^{ik\theta} \right)\]Si $\theta \neq k\pi$
\[\sum_{k = 0}^{n}e^{ik\theta} = \sum_{k = 0}^{n}\left( e^{i\theta} \right)^{k} = \frac{1 - e^{i\theta(n + 1)}}{1 - e^{i\theta}} = \frac{e^{i\theta\left( \frac{n + 1}{2} \right)}}{e^{\frac{i\theta}{2}}} \times \frac{e^{- \frac{i\theta(n + 1)}{2}} - e^{\frac{i\theta(n + 1)}{2}}}{e^{- \frac{i\theta}{2}} - e^{\frac{i\theta}{2}}} = e^{\frac{in\theta}{2}}\frac{\sin\left( \frac{(n + 1)\theta}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)}\] \[S_{n} = \sin\left( \frac{n\theta}{2} \right) \times \frac{\sin\left( \frac{(n + 1)\theta}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)}\] \[\left\vert S_{n} \right\vert \leq \frac{1}{\sin\left( \frac{\theta}{2} \right)} \Rightarrow \left( S_{n} \right)\ \text{est bornée}\]Si $\theta = k\pi,\ S_{n}\ \text{est nulle donc bornée}$
\[\left( S_{n} \right)\ \text{est bornée}\ \forall\theta\] \[\sum_{}^{}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt{n + 1}}\ \text{cv}\]Chapitre 2 : Suites de fonctions
Dans ce chapitre, les fonctions étudiées seront définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
I. Mode de convergence
On considère une suite de fonctions $\left( f_{n} \right)$ définie sur $I$ et à valeurs dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
- Convergence simple
Définition :
On dit que la suite $\left( f_{n} \right)$ converge simplement vers la fonction $f$ sur $I$, si
\[\forall x \in I,f_{n}(x) \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}f(x)\]Autrement dit,
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert \leq \varepsilon\]On note :
\[f_{n} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}^{cs}f\]Attention :
Dans l’expression ci-dessus, le rang $n_{0}$ dépend de $\varepsilon$ et $x$.
Remarque :
En pratique, prouver la convergence simple d’une suite de fonctions revient donc à montrer la convergence de $\left( f_{n}(x) \right)_{n}$ avec $x \in I$ fixé.
On parle donc d’une convergence « ponctuelle ».
La limite est unique $\forall x \in I$.
Exemple :
1.
Soit $f_{n}\ :\lbrack 0\ ;1\rbrack\mathbb{\rightarrow R,\ }x \rightarrow x^{n}$
\[f_{n} \rightarrow f,\ f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 1\ \text{si}\ x = 1 \\ 0\ \text{si}\ x \in \lbrack 0;1\lbrack \end{array} \right\}\]2.
\[f_{n}:\mathbb{R}^{+}\mathbb{\rightarrow R}\] \[x \rightarrow \frac{nx}{nx + 1}\] \[f_{n} \rightarrow f,\ f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 1\ \text{si}\ x \in \mathbb{R}_{+}^{*} \\ 0\ \text{si}\ x = 0 \end{array} \right\}\]3.
\[f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{n}},\ x\mathbb{\in R}\]Soit $x\mathbb{\in R,\ }f_{n}(x) \rightarrow \vert x\vert $
\[f_{n} \rightarrow_{cs}f,\ \text{avec}\ f(x) = \vert x\vert\]4.
\[f_{n}:\lbrack 0;1\rbrack\mathbb{\rightarrow R}\] \[x \rightarrow \left\{ \begin{array}{r} 1 - nx\ \text{si}\ x \in \left\lbrack 0;\frac{1}{n} \right\rbrack \\ 0\ \text{si}\ x \in \left\lbrack \frac{1}{n};1 \right\rbrack \end{array} \right.\]Si $x = 0$,
\[f_{n}(x) = 1\]Si $x \in \rbrack 0\ ;1\rbrack\ $
\[\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }n \geq n_{0},x > \frac{1}{n_{0}} \geq \frac{1}{n},\ f_{n}(x) = 0\] \[f_{n} \rightarrow_{cs}f,\ \text{avec}\ f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ x \in \rbrack 0;1\rbrack\ \\ 1\ \text{si}\ x = 0 \end{array} \right.\]5.
\[f_{n}:\lbrack 0;1\rbrack\mathbb{\rightarrow R}\] \[x \rightarrow \frac{n}{nx + 1}\]Soit $x \in \lbrack 0\ ;1\rbrack$
Si $x \neq 0$
\[f_{n}(x)\ \sim\frac{n}{nx} = \frac{1}{x}\]Si $x = 0$,
\[f_{n}(0) = n \rightarrow + \infty\] \[\left( f_{n} \right)_{n}\ \text{ne converge pas simplement sur}\ \lbrack 0;1\rbrack\]Proposition :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ qui converge simplement sur $I$.
Alors, pour tout sous-ensemble $I^{‘} \subset I$, la suite converge simplement.
Remarque : La réciproque est fausse
Définition : Domaine de convergence
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. On appelle domaine de convergence de $\left( f_{n} \right)$ l’ensemble des $x \in I$ pour lesquels la suite numérique $\left( f_{n}(x) \right)$ converge.
Exemples :
1.
Le domaine de convergence de $f_{n}(x) = e^{x - \frac{1}{n}}$ est $\mathbb{R}$
2.
Le domaine de convergence de la suite de fonctions $f_{n}(x) = x^{n}$ est $\rbrack - 1;1\rbrack$
3.
Le domaine de convergence de la suite de fonctions $f_{n}(x) = nx$ est $ { 0 } $
Proposition :
La convergence simple est stable par :
Combinaisons linéaires : si $\left( f_{n} \right)$ et $\left( g_{n} \right)$ convergent simplement sur $I$ vers $f$ et $g$ et soit $\lambda\mathbb{\in R}$ alors la suite de fonctions $\left( f_{n} + \lambda g_{n} \right)_{n}$ converge simplement sur $I$ vers $f + \lambda g$
Multiplication interne : si $\left( f_{n} \right)$ et $\left( g_{n} \right)$ convergent simplement sur $I$ vers $f$ et $g$ alors la suite de fonctions $\left( f_{n}g_{n} \right)$ converge simplement sur $I$ vers $fg$
2. Convergence uniforme
Remarque :
Dans le mode de convergence simple, le rang $n_{0}$ dépend de $\varepsilon$ et $x$. En exigeant que $n_{0}$ soit indépendant de $x$, on obtient un mode de convergence plus restrictif appelé convergence uniforme.
Définition : Convergence uniforme
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$.
$\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ si $\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }n \geq n_{0},\forall x \in I,\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert < \varepsilon$, on note
$f_{n} \rightarrow_{cu}f$ sur $I$.
Remarques :
La convergence uniforme se traduit géométriquement par l’existence d’un certain rang $n_{0}$ à partir duquel $f_{n}$ est comprise entre $f - \varepsilon$ et $f + \varepsilon$.
Le mode de convergence dépend essentiellement de l’intervalle considéré et c’est pour cela dire « $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément » est imprécis.
Proposition :
Si $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ vers $f$ alors elle converge simplement sur $I$ vers $f$.
Remarque : La réciproque est fausse (nous verrons un
exemple plus tard).
- Critère de convergence uniforme
De la définition de la convergence uniforme, on déduit immédiatement le critère de convergence uniforme.
Proposition :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$.
Pour chaque $n$, on note $\varphi_{n} = \sup_{x \in I}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert = \left\vert f_{n} - f \right\vert _{\infty}$
Pour que la suite $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, il faut et il suffit que la suite $\left( \varphi_{n} \right)$ converge vers 0.
Autrement dit,
\[f_{n} \rightarrow_{cu}f\ \text{sur}\ I \Leftrightarrow \varphi_{n} = \left\\vert f_{n} - f \right\\vert _{\infty} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0\]Démonstration :
\[\forall x \in I,\ \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert \leq \varepsilon \Leftrightarrow \varphi_{n} \leq \varepsilon\]Remarque :
Ce critère est intéressant lorsqu’on peut calculer explicitement $\varphi_{n}$.
En effet, on obtient la valeur de $\varphi_{n}$ en étudiant les variations de la fonction $\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert $
Exemple :
Etudier la convergence uniforme sur $\lbrack 0;1\rbrack$ de la suite de fonctions définie par
\[f_{n}(x) = \left\{ \begin{array}{r} x^{n}\ln(x)\ \text{si}\ x \in \rbrack 0;1\rbrack \\ 0\ \text{si}\ x = 0 \end{array} \right\}\]Etudions la convergence simple. Soit $x \in \rbrack 0;1\lbrack$.
\[f_{n}(x) = x^{n}\ln(x) \rightarrow 0\]Si $x = 1,\ f_{n}(x) = 0$
Si $x = 0$, $f_{n}(x) = 0$
\[f_{n} \rightarrow_{cs}f\ \text{avec}\ f = 0\ \text{sur}\ \lbrack 0;1\rbrack\]Etudions la convergence uniforme sur $\lbrack 0\ ;1\rbrack$
Soit $x \in \rbrack 0;1\rbrack,n\mathbb{\in N}$
On pose $g_{n}(x) = \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert = - f_{n}(x) = - x^{n}\ln(x)$
$g_{n}$ est dérivable sur $\rbrack 0\ ;1\rbrack$
\[\forall x \in \lbrack 0;1\rbrack,\ g_{n}^{'}(x) = - \left( nx^{n - 1}\ln(x) + x^{n - 1} \right) = - x^{n - 1}\left( n\ln(x) + 1 \right)\]$g_{n}^{‘}(x)$ s’annule en $x = e^{- \frac{1}{n}}$. Il s’agit d’un maximum.
\[\varphi_{n} = g\left( e^{- \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{ne} \rightarrow 0\]Ainsi, $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément vers $0$ sur $\rbrack 0;1\rbrack$ or $f_{n}(0) = 0$
Donc $\left( f_{n} \right) \rightarrow_{cu}0\ \text{sur}\ \lbrack 0\ ;1\rbrack$
Corollaire :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$. S’il existe une suite $\left( u_{n} \right)$ telle que $\forall n\mathbb{\in N,\forall}x \in I,\ \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert \leq u_{n}\ \text{ET}\lim_{n \rightarrow + \infty}u_{n} = 0$
Alors $f_{n} \rightarrow_{cu}f$ sur $I$.
Exemple :
Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions $\left( f_{n} \right)$ définie par
\[f_{n}(x) = \sin\left( x + \frac{1}{n} \right)\ \forall x\mathbb{\in R}\]Etude de la convergence simple :
Soit $x\mathbb{\in R,}f_{n} \rightarrow_{cs}\sin\ \text{sur}\mathbb{\ R}$
Etude de la convergence uniforme :
Soit $x\mathbb{\in R,\ }n \in \mathbb{N}^{*}$
\[\left\vert \sin\left( x + \frac{1}{n} \right) - \sin(x) \right\vert = \left\vert \cos\left( x + \frac{1}{2n} \right)\sin\left( \frac{1}{2n} \right) \right\vert \leq \left\vert \sin\left( \frac{1}{2n} \right) \right\vert \rightarrow 0\]$f_{n} \rightarrow_{cu}f$ sur $\mathbb{R}$
Remarque :
Pour que $\left( f_{n} \right)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$, il suffit qu’il existe une suite $\left( x_{n} \right)$ de points de $I$ telle que $\left( f_{n}\left( x_{n} \right) - f\left( x_{n} \right) \right)$ ne tend pas vers 0.
Exemple :
\[f_{n}(x) ≔ \frac{\sin(nx)}{1 + n^{2}x^{2}},\ x\mathbb{\in R}\]Soit $x\mathbb{\in R}$.
\[f_{n}(x) \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0\] \[\text{car}\ \left\vert \frac{\sin(nx)}{1 + n^{2}x^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{1 + n^{2}x^{2}} \rightarrow 0\] \[f_{n} \rightarrow_{cs}0\]Soit $x_{0} = \frac{1}{n}$
\[\left\vert f_{n}\left( x_{0} \right) - f\left( x_{0} \right) \right\vert = \frac{\sin(1)}{2} \neq 0\]$\Rightarrow \left( f_{n} \right)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
Définition : « Convergence localement uniforme »
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$.
On dit que la suite $\left( f_{n} \right)$ converge localement uniformément sur $I$ si la suite $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur tout sous-intervalle fermé inclus dans $I$.
Proposition :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. Si $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ alors elle converge localement uniformément sur $I$.
Remarque :
La réciproque est fausse.
Contre-exemple :
\[f_{n}(x) = x^{n},\ x \in \lbrack 0;1\lbrack\] \[f_{n} \rightarrow_{cs}0\] \[\sup_{x \in \lbrack 0;1\lbrack}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert = \sup_{x \in \lbrack 0;1\lbrack}\left\vert f_{n}(x) \right\vert = f_{n}(1) = 1 \neq 0\]$\left( f_{n} \right)$ ne converge pas uniformément sur $\lbrack 0;1\lbrack$
Par contre, $\left( f_{n} \right)$ converge localement uniformément sur $\lbrack 0\ ;1\lbrack$
En effet, soit $a,\ 0 < a < 1$
\[\sup_{x \in \lbrack 0;a\rbrack}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert = \sup_{x \in \lbrack 0;a\rbrack}\left\vert f_{n}(x) \right\vert = f_{n}(a) = a^{n} \rightarrow 0\] \[f_{n} \rightarrow_{cu}f\ \text{sur}\ \lbrack 0;a\rbrack\]Remarque :
La définition de convergence uniforme suppose de connaitre la fonction limite $f$ de la suite $\left( f_{n} \right)$. Lorsqu’on ne connait pas $f$, on peut utiliser le critère important suivant :
Théorème : « Critère de Cauchy uniforme »
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. La suite $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ si et seulement si
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall\ }p,q \geq n_{0},\forall x \in I,\left\vert f_{p}(x) - f_{q}(x) \right\vert \leq \varepsilon\]II. Théorèmes d’interversion
1. Interversion limite-limite
Le théorème suivant est fondamental.
Théorème : Continuité de la limite uniforme
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. Soit $a \in I$.
Si $f_{n} \rightarrow_{cu}f$ sur $I$ et $f_{n}$ est continue en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
Démonstration : En exercice
\[f_{n} \rightarrow_{cu}f:\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\forall x \in I,\ \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert < \varepsilon\] \[f_{n}\ \text{continue en}\ a:\forall\varepsilon > 0,\exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f_{n}(x) - f_{n}(a) \right\vert < \varepsilon\] \[\text{Montrer que}:\ \forall\varepsilon > 0,\exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f(x) - f(a) \right\vert < \varepsilon\]Soit $\varepsilon > 0\ $:
\[\left\vert f(x) - f(a) \right\vert = \left\vert f(x) - f_{n}(x) + f_{n}(x) - f_{n}(a) + f_{n}(a) - f(a) \right\vert \leq \left\vert f(x) - f_{n}(x) \right\vert + \left\vert f_{n}(x) - f_{n}(a) \right\vert + \left\vert f_{n}(a) - f(a) \right\vert\] \[f_{n} \rightarrow_{cu}f\ \text{donc}\ \exists n_{0}\mathbb{\in N,\ \forall}n \geq n_{0},\forall x \in I,\ \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert \leq \frac{\varepsilon}{3}\ \text{d'où}\ \left\vert f_{n}(a) - f(a) \right\vert \leq \frac{\varepsilon}{3}\ \text{aussi}\] \[f_{n}\ \text{continue en}\ a\ \text{donc}\ \exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f_{n}(x) - f_{n}(a) \right\vert \leq \frac{\varepsilon}{3}\] \[\forall\varepsilon > 0,\exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f(x) - f(a) \right\vert \leq \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon\]Exemple :
\[f_{n}(x) ≔ e^{- nx},x \in \mathbb{R}^{+}\] \[f_{n} \rightarrow_{cs}f,\ f(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ x > 0 \\ 1\ \text{si}\ x = 0 \end{array} \right\}\]$f_{n}$ est continue sur $\mathbb{R}^{+}$, en particulier en 0, or $f$ n’est pas continue en 0, alors $f_{n}$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}^{+}$
Théorème : Théorème d’interversion limite-limite
Soit $a \in \overline{I}$, $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$.
Si
$\forall n\mathbb{\in N,}f_{n}$ admet une limite en $a$, $\lim_{x \rightarrow a}{f_{n}(x)} = l_{n}\mathbb{\in K}$
La suite $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ vers $f$
Alors $f$ admet une limite en $a$ et
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}\left( \lim_{x \rightarrow a}{f_{n}(x)} \right) = \lim_{x \rightarrow a}\left( \lim_{n \rightarrow + \infty}{f_{n}(x)} \right)\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}l_{n} = \lim_{x \rightarrow a}{f(x)}\]Démonstration :
On commence par montrer que $\left( l_{n} \right)$ converge en utilisant le critère de Cauchy.
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}p,q\mathbb{\in N,}p,q \geq n_{0} \Rightarrow \left\vert f_{p}(x) - f_{q}(x) \right\vert \leq \varepsilon\] \[\Rightarrow \forall p,q\mathbb{\in N,\ }p,q \geq n_{0},\lim_{x \rightarrow a}\left\vert f_{p}(x) - f_{q}(x) \right\vert \leq \varepsilon\] \[\Rightarrow \forall p,q\mathbb{\in N,}p,q \geq n_{0},\ \left\vert l_{p} - l_{q} \right\vert \leq \varepsilon\]Donc $\left( l_{n} \right)$ vérifie le critère de Cauchy, donc $\left( l_{n} \right)$ converge vers une limite finie notée $l$.
Montrons que $\lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = l$
Montrons que, $\forall\varepsilon > 0$, $\exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f(x) - l \right\vert \leq \varepsilon$
Soit $\varepsilon > 0$
\[\left\vert f(x) - l \right\vert = \left\vert f(x) - f_{n}(x) + f_{n}(x) - l_{n} + l_{n} - l \right\vert\] \[\left\vert f(x) - l \right\vert \leq \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert + \left\vert f_{n}(x) - l_{n} \right\vert + \left\vert l_{n} - l \right\vert\] \[\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert < \frac{\varepsilon}{3}\ \text{car}\ f_{n} \rightarrow_{cu}f\] \[\exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f_{n}(x) - l_{n} \right\vert < \frac{\varepsilon}{3}\ \text{car}\lim_{x \rightarrow a}{f_{n}(x)} = l_{n}\] \[\exists n_{1}\mathbb{\geq N,\forall}n \geq n_{1},\left\vert l_{n} - l \right\vert < \frac{\varepsilon}{3}\ \text{car}\ l_{n} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}l\] \[\Rightarrow \exists\eta > 0,\vert x - a\vert < \eta \Rightarrow \left\vert f(x) - l \right\vert < \varepsilon\] \[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a}{f(x)} = l\] \[\Rightarrow \lim_{x \rightarrow a}{\lim_{n \rightarrow + \infty}{f_{n}(x)}} = \lim_{n \rightarrow + \infty}l_{n} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{\lim_{x \rightarrow a}{f_{n}(x)}}\]2. Interversion limite-intégrale
Théorème :
Soient $a,b\mathbb{\in R,\ }a < b$. Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $\lbrack a,b\rbrack$ dans $\mathbb{K}$.
Si :
$\forall n\mathbb{\in N,}$ $f_{n}$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$
$\left( f_{n} \right)$ converge uniformément vers $f$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
Alors $f$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ et
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}} = \int_{a}^{b}{\lim_{n \rightarrow + \infty}{f_{n}(x)}dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\]Démonstration : En exercice
$f$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ (voir théorème de continuité de la limite uniforme).
Donc $f_{n} - f$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ donc bornée sur $\lbrack a,b\rbrack$.
\[\left\vert \int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx} - \int_{a}^{b}{f(x)dx} \right\vert = \left\vert \int_{a}^{b}{\left( f_{n}(x) - f(x) \right)dx} \right\vert \leq \int_{a}^{b}{\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert dx} \leq \int_{a}^{b}{\sup_{x \in \lbrack a,b\rbrack}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert dx} = (b - a)\sup_{x \in \lbrack a,b\rbrack}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert\] \[\text{Or}\lim_{n \rightarrow + \infty}{\sup_{x \in \lbrack a,b\rbrack}\left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert } = 0\ \text{car}\ f_{n} \rightarrow_{cu}f\]CQFD
Exemple :
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{\int_{0}^{1}{\frac{ne^{x}}{n + x}dx}}\] \[f_{n}(x) ≔ \frac{ne^{x}}{n + x}\ \text{continue sur}\ \lbrack 0;1\rbrack\]Pour $x \in \lbrack 0\ ;1\rbrack$
\[\frac{ne^{x}}{n + x}\ \sim\frac{ne^{x}}{n} = e^{x}\] \[f_{n} \rightarrow_{cs}f,\ f(x) = e^{x}\]Etude de la convergence uniforme :
Soit $x \in \lbrack 0\ ;1\rbrack,n\mathbb{\in N}$
\[g_{n}(x) = \left\vert f_{n}(x) - f(x) \right\vert = \left\vert \frac{ne^{x}}{n + x} - e^{x} \right\vert = \frac{xe^{x}}{n + x} \leq \frac{e}{n} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0\]$f_{n} \rightarrow_{cu}f$ sur $\lbrack 0\ ;1\rbrack$
On peut appliquer le théorème d’interversion limite-intégrale.
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{\int_{0}^{1}{\frac{ne^{x}}{n + x}dx}} = \int_{0}^{1}{\lim_{n \rightarrow + \infty}{\frac{ne^{x}}{n + x}dx}} = \int_{0}^{1}{e^{x}dx} = e - 1\]3. Interversion limite-dérivée
Théorème :
Soient $a,b\mathbb{\in R,\ }a < b,$ et $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $\lbrack a,b\rbrack$ dans $\mathbb{K}$ et $g$ une fonction de $\lbrack a,b\rbrack$ dans $\mathbb{K}$.
Si :
$\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
La suite $\left( f_{n}^{‘} \right)$ converge uniformément vers $g$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
$\exists x_{0} \in \lbrack a,b\rbrack,\ \left( f_{n}\left( x_{0} \right) \right)$ converge.
Alors :
La suite $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $\lbrack a,b\rbrack$ vers une limite $f$
$f$ est de classe $C^{1}$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
$\forall x \in \lbrack a,b\rbrack,f^{‘}(x) = g(x)$
Si la convergence de $\left( f_{n}^{‘} \right)$ est locale, alors la convergence de $\left( f_{n} \right)$ est locale.
Chapitre 3 : Séries de fonctions
\[\sum_{n \geq 0}^{}{f_{n}(x)}\]I. Introduction
Comme pour les séries numériques, on peut, à partir d’une série de fonctions $\left( f_{n} \right)$ construire une suite $\left( S_{n} \right)$ où
\[S_{n} = f_{0} + f_{1} + \ldots + f_{n}\]On obtient alors ce qu’on appelle série de fonctions, notée $\sum_{}^{}f_{n}$, et
\[S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}f_{k}\ \text{sa somme partielle}\]Les séries de fonctions jouent un rôle considérable en analyse.
Exemple : résolution d’équations différentielles, calculs numériques, traitement de signal, physique quantique, économie et finances, etc…
Pour les séries de fonctions, on dispose d’un nouveau mode de convergence, dit « convergence normale », qui n’est en fait qu’une condition suffisante très utile pour établir la convergence uniforme.
Dans ce chapitre, on garde les mêmes notations que dans le chapitre précédent.
II. Modes de convergence
1. Convergence simple
Définition :
Une série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ converge simplement sur $I$ si la suite des sommes partielles $\left( S_{n} \right)$ converge simplement sur $I$.
Dans ce cas, la fonction limite $S$ de $\left( S_{n} \right)$ s’appelle la fonction somme de la série $\sum_{}^{}f_{n}$ et notée :
\[S = \sum_{n = 0}^{+ \infty}f_{n}\]Remarque :
Si la série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ converge simplement sur $I$, alors $\forall x \in I$ fixé, la série numérique $\sum_{n \geq 0}^{}{f_{n}(x)}$ converge et
\[\forall x \in I,S(x) = \left( \sum_{n = 0}^{+ \infty}f_{n} \right)(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{f_{n}(x)}\]Exemple :
On considère la série de fonctions $\sum_{}^{}\frac{x^{n}}{n!}$ définie sur $\mathbb{R}$.
Soit $x\mathbb{\in R}$ fixé, on étudie la série numérique $\sum_{}^{}\frac{x^{n}}{n\ !} = \sum_{}^{}u_{n}$
On applique la règle d’Alembert.
\[\forall n\mathbb{\in N,\ }\left\vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right\vert = \frac{\vert x\vert }{n + 1} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}0 < 1\] \[\sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge}\] \[\sum_{}^{}f_{n}\ \text{converge simplement sur}\mathbb{\ R}\]On considère la série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ sur $\mathbb{R}^{+}$ avec $f_{n}(x) = xe^{- nx}$
Soit $x \in \mathbb{R}^{+}$ fixé.
On étudie la convergence de la série numérique $\sum_{}^{}u_{n}$, $u_{n} = xe^{- nx}$
On applique la règle de $n^{\alpha}$
\[\lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{2}u_{n}} = \lim_{n \rightarrow + \infty}{n^{2}xe^{- nx}} = 0\ \text{(croissance comparée)}\] \[\Rightarrow \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge} \Rightarrow \sum_{}^{}f_{n}\ \text{cs}\]Définition : « Domaine de convergence »
On appelle domaine de convergence de la série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ l’ensemble des $x$ de $I$ tels que $\sum_{}^{}{f_{n}(x)}$ converge.
Exemple :
Déterminer le domaine de convergence des séries suivantes :
\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{x}}\]Série de Riemann, converge si et seulement si $x > 1$
Domaine de convergence : $\rbrack 1; + \infty\lbrack$
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{x}}\]Série de Riemann alternée, converge si et seulement si $x > 0$
Domaine de convergence : $\rbrack 0; + \infty\lbrack$
Proposition :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge simplement sur $I$ alors elle converge simplement sur tout sous-ensemble de $I$.
[Définition :**
Si la série $\sum_{}^{}f_{n}$ converge alors on peut définir le reste d’ordre $n$
\[R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty}f_{k}\]Dans ce cas,
\[\forall x \in I,\ S(x) = S_{n}(x) + R_{n}(x)\]Exemple :
\[\sum_{n \geq 0}^{}{xe^{- nx}}\]On a montré que cette série converge simplement sur $\mathbb{R}^{+}$.
\[S_{n} = x\sum_{k = 0}^{n}e^{- kx} = x\sum_{k = 0}^{n}\left( e^{- x} \right)^{k} = \frac{x\left( 1 - e^{- x(n + 1)} \right)}{1 - e^{- x}}\] \[\lim_{n \rightarrow + \infty}S_{n} = \frac{x}{1 - e^{- x}}\] \[\Rightarrow R_{n} = S - S_{n} = \frac{x}{1 - e^{- x}} - x\frac{1 - e^{- x(n + 1)}}{1 - e^{- x}}\] \[R_{n} = x\frac{e^{- (n + 1)x}}{1 - e^{- x}}\]Proposition : « Condition nécessaire »
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge simplement alors $\left( f_{n} \right)$ et $\left( R_{n} \right)$ convergent simplement vers la fonction nulle.
Démo :
\[f_{n} = S_{n + 1} - S_{n} \rightarrow_{+ \infty}S - S = 0\] \[R_{n} = S - S_{n} \rightarrow_{+ \infty}S - S = 0\]2. Convergence absolue**
Une série de fonction $\sum_{}^{}f_{n}$ converge absolument sur $I$ si
\[\forall x \in I,\ \sum_{}^{}\left\vert f_{n}(x) \right\vert\ \text{converge}\]Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{( - 1)^{n}}{n^{x}}\ \text{converge absolument sur}\ \rbrack 1; + \infty \left \lbrack \ \text{mais converge simplement sur}\ \right \rbrack 0; + \infty\lbrack\]Proposition :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge absolument sur $I$ alors elle converge simplement sur $I$.
Remarque : La réciproque est fausse.
3. Convergence normale
Définition :
On dit que la série $\sum_{}^{}f_{n}$ converge normalement sur $I$ si
\[\text{i.}\ \exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}n \geq n_{0},\ f_{n}\ \text{est bornée sur}\ I\] \[\text{ii.}\ \text{La série numérique}\ \sum_{n \geq 0}^{}\left\vert f_{n} \right\vert_{\infty}\ \text{converge}\]Avec $\left\vert f_{n} \right\vert_{\infty} = \sup_{x \in I}\left\vert f_{n}(x) \right\vert$
Proposition :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge normalement sur $I$ alors elle converge normalement sur tout sous-ensemble de $I$.
Proposition :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$ et $\left( u_{n} \right)$ une suite numérique à termes positifs.
Si $\forall n\mathbb{\in N,\forall}x \in I,\left\vert f_{n}(x) \right\vert \leq \sup_{x \in I}\left\vert f_{n}(x) \right\vert \leq u_{n}\ \text{et}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge}$ alors $\sum_{}^{}f_{n}$ converge normalement.
Démonstration :
On remarque que $\forall n\mathbb{\in N,\forall}x \in I,\ \left\vert f_{n}(x) \right\vert \leq u_{n}$ alors $\left\vert f_{n} \right\vert_{\infty} \leq u_{n}$
D’après le théorème de comparaison par inégalité des séries numériques,
\[\sum_{}^{}\left\vert f_{n} \right\vert_{\infty}\ \text{converge}\]Exemple :
\[\sum_{}^{}{xe^{- nx}}\ \text{converge normalement sur}\ \lbrack a,b\rbrack,\ 0 < a < b\]En effet, $\forall x \in \lbrack a,b\rbrack,\left\vert xe^{- nx} \right\vert \leq be^{- na}$
Or $\sum_{}^{}{be^{- na}}$ converge
Donc $\sum_{}^{}{xe^{- nx}}\ \text{converge normalement sur}\ \lbrack a,b\rbrack$
Exemple :
\[\sum_{n \geq 0}^{}\frac{\sin(nx)}{n^{2}}\ \text{converge normalement sur}\mathbb{\ R}\] \[\text{En effet},\ \left\vert \frac{\sin(nx)}{n^{2}} \right\vert \leq \frac{1}{n^{2}}\] \[\text{Or}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}}\ \text{converge car série de Riemann}\]Donc $\sum_{n \geq 0}^{}\frac{\sin(nx)}{n^{2}}$ converge normalement.
4. Convergence uniforme
Définition :
Une série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ si sa somme partielle $\left( S_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$. Si on note $S$ la somme de la série :
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}n\mathbb{\in N,\forall}x \in I,\left\vert S_{n}(x) - S(x) \right\vert \leq \varepsilon\]Proposition :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ alors elle converge simplement sur $I$.
Proposition : « Condition nécessaire et suffisante de convergence uniforme »
\[\sum_{}^{}f_{n} \text{ converge uniformément sur } I \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{r} \sum_{}^{}f_{n}\ \text{converge simplement sur } I \\ R_{n} \rightarrow_{cu}0\ \text{sur } I \end{array} \right.\]Démonstration :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$, alors $R_{n} = S - S_{n}$ converge uniformément vers 0 sur $I$.
Réciproquement, si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge simplement sur $I$ vers $S$ et $\left( R_{n} \right)$ converge uniformément vers 0.
Alors $S_{n} = S - R_{n}$ converge uniformément vers $S$ sur $I$.
Exemple :
\[\sum_{}^{}{xe^{- nx}}\ \text{ne converge pas uniformément sur}\ \mathbb{R}_{+}\]En effet,
\[R_{n}(x) = x\frac{e^{- (n + 1)x}}{1 - e^{- x}}\]Pour $x_{0} = \frac{1}{n + 1}$,
\[R_{n}\left( x_{0} \right) = \frac{1}{n + 1}\frac{e^{- 1}}{1 - e^{- \frac{1}{(n + 1)}}} \rightarrow e^{- 1} \neq 0\]Donc $\left( R_{n} \right)$ ne converge pas uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}_{+}$
Donc la série ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}_{+}$
Exemple 2 :
On considère la série de fonctions :
\[\sum_{n \geq 0}^{}\frac{( - 1)^{n}}{x + n}\ \text{sur}\ \mathbb{R}_{+}\]Cette série est sous la forme $\sum_{}^{}{( - 1)^{n}a_{n}}$ avec $a_{n} = \frac{1}{x + n} \geq 0$
$\left( a_{n} \right)$ est décroissante et tend vers 0. D’après le CSSA, $\sum_{}^{}{( - 1)^{n}a_{n}}$ converge.
\[\sum_{n \geq 0}^{}\frac{( - 1)^{n}}{x + n}\ \text{converge simplement}\]Aussi,
\[\left\vert R_{n} \right\vert \leq a_{n + 1} \leq \frac{1}{x + n + 1} \leq \frac{1}{n + 1} \rightarrow 0\]$\Rightarrow \left\vert R_{n} \right\vert$ converge uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}_{+}$
Proposition : « Condition nécessaire de convergence uniforme »
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ alors $\left( f_{n} \right)$ converge uniformément sur $I$ vers la fonction nulle.
Attention : Cette condition n’est pas suffisante, la réciproque est fausse.
Exemple :
\[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{x}};\ \text{on a}\ \left( \frac{1}{n^{x}} \right)\ \text{converge uniformément sur}\ \rbrack 1; + \infty\lbrack\ \text{mais}\ \sum_{}^{}\frac{1}{n^{x}}\ \text{ne converge pas uniformément sur}\] \[\rbrack 1; + \infty\lbrack\]Proposition :
Si $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ alors elle converge uniformément sur tout sous-ensemble de $I$.
Théorème : « Critère uniforme de Cauchy »
La série de fonctions $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ si et seulement si,
\[\forall\varepsilon > 0,\exists n_{0}\mathbb{\in N,\forall}p,q \geq n_{0},\forall x \in I,\ \left\vert \sum_{k = p + 1}^{q}{f_{k}(x)} \right\vert \leq \varepsilon\]Démonstration : C’est le critère de Cauchy appliqué à $\left( S_{n} \right)$
Théorème :
Toute suite qui converge normalement converge absolument et uniformément.
Démonstration :
Par hypothèse, on suppose que $\sum_{}^{}f_{n}$ converge normalement.
$\exists\left( \alpha_{n} \right)$ une suite positive telle que $\forall x \in I,\ \forall n\mathbb{\in N,\ }\left\vert f_{n}(x) \right\vert \leq \alpha_{n}$ et $\sum_{}^{}\alpha_{n}$ converge.
Donc la convergence est absolue.
\[\forall p,q\mathbb{\in N,\forall}x \in I,\ \left\vert f_{p + 1}(x) + \ldots + f_{q}(x) \right\vert \leq \alpha_{p + 1} + \ldots + \alpha_{q}\]Donc le critère de Cauchy est vérifié, d’où la convergence uniforme sur $I$.
III. Théorèmes d’interversion
1. Théorème d’interversion somme-limite
Soit $a \in I$, $\sum_{}^{}f_{n}$ une série de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$. On suppose que :
a. $\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ admet une limite en $a$ notée $l_{n}$
b. La série $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$
Alors :
a. $\sum_{}^{}l_{n}$ converge dans $\mathbb{K}$
b. La fonction somme $S$ admet une limite en $a$ et
Démonstration :
Il suffit d’appliquer le théorème d’interversion limite-limite du chapitre 2 à la suite des sommes partielles $\left( S_{n} \right)$
Théorème : Convergence et continuité
Soit $a \in I$, $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$.
On suppose que :
a. $\forall n\mathbb{\in N,\ }f_{n}$ est continue en $a$
b. $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$
Alors la fonction somme $S$ de la série $\sum_{}^{}f_{n}$ est continue en $a$.
Corollaire :
Soit $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{K}$.
On suppose que :
a. $\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ est continue sur $I$
b. $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $I$ (ou localement uniformément)
Alors la fonction somme $S$ est continue sur $I$.
Exercice :
\[\text{Soit}\ S(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}\frac{e^{- n\vert x\vert}}{n^{2}}\]Montrer que $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\[\left \vert f_{n}(x) \right \vert = \frac{e^{- n\vert x\vert}}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}\forall n,x\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}}\ \text{converge donc}\ \sum_{}^{}f_{n}\ \text{converge normalement donc uniformément}\]Aussi, $f_{n}$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Donc $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.
\[\lim_{x \rightarrow 0}{S(x)} = \ ?\]On applique le théorème d’interversion limite-somme. Les hypothèses sont vérifiées.
\[\lim_{x \rightarrow 0}{S(x)} = \sum_{}^{}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}\]2. Théorème d’interversion limite-intégrale
Soient deux points $a,b\mathbb{\in R}$, $a < b$ et $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $\lbrack a,b\rbrack$ dans $\mathbb{K}$.
On suppose que :
a. $\forall n\mathbb{\in N}$, $f_{n}$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ (ou continue par morceaux)
b. $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $\lbrack a,b\rbrack$
Alors la fonction $S$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$ et la série numérique
\[\sum_{}^{}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}}\ \text{converge et on a}\] \[\sum_{n = 0}^{+ \infty}{\int_{a}^{b}{f_{n}(x)dx}} = \int_{a}^{b}{S(x)dx}\]Démonstration :
Il suffit d’appliquer le théorème d’interversion limite-intégrale du chapitre 2 à la suite des sommes partielles $\left( S_{n} \right)$.
Exercice :
Soit
\[f_{n}(x) = \left\{ \begin{array}{r} 0\ \text{si}\ x = 0 \\ \frac{x^{n}\ln(x)}{n}\ \text{si}\ x \in \rbrack 0;1\rbrack \end{array} \right\}\]Montrer que :
\[\int_{0}^{1}{\sum_{n = 1}^{+ \infty}{f_{n}(x)}dx} = \sum_{n = 1}^{+ \infty}\frac{1}{n(n + 1)^{2}}\]$\forall n\mathbb{\in N,\ }f_{n}$ est continue sur $\lbrack 0;1\rbrack$, reste à montrer que la série de fonctions converge uniformément.
Soit $x \in \rbrack 0;1\rbrack$.
\[\left\vert f_{n}(x) \right\vert = - f_{n}(x)\] \[\left\vert f_{n}(x) \right\vert^{'} = - \frac{1}{n}\left( nx^{n - 1}\ln(x) + x^{n - 1} \right) = - x^{n + 1}\left( 1 + \frac{\ln(x)}{n} \right)\]Atteint un minimum pour $e^{- \frac{1}{n}}$
\[\left\vert f_{n}\left( e^{- \frac{1}{n}} \right) \right\vert = \frac{1}{en^{2}}\] \[\sum_{}^{}\frac{1}{en^{2}}\ \text{converge donc}\ \sum_{}^{}f_{n}\ \text{converge normalement donc uniformément sur}\ \lbrack 0;1\rbrack\]On peut donc appliquer le théorème d’interversion limite-intégrale.
\[\int_{0}^{1}{\sum_{x = 1}^{+ \infty}{f_{n}(x)dx}} = \sum_{n = 1}^{+ \infty}{\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx}}\] \[\int_{0}^{1}{f_{n}(x)dx} = \frac{1}{n}\int_{0}^{1}{x^{n}\ln(x)dx}\] \[= \frac{1}{n}\left( \frac{1}{n + 1}\left\lbrack x^{n + 1}\ln(x) \right\rbrack_{0}^{1} - \frac{1}{n + 1}\int_{0}^{1}x^{n} \right)\] \[= - \frac{1}{n(n + 1)^{2}}\left\lbrack x^{n + 1} \right\rbrack_{0}^{1} = - \frac{1}{n(n + 1)^{2}}\]3. Théorème d’interversion limite-dérivée
Soient $a,b\mathbb{\in R}$, $a < b$ et $\left( f_{n} \right)$ une suite de fonctions de $\lbrack a,b\rbrack$ dans $\mathbb{K}$.
On suppose que :
a. $\forall n\mathbb{\in N,\ }f_{n}$ est $C^{1}$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
b. $\sum_{}^{}f_{n}^{‘}$ converge uniformément vers $T$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
c. $\exists x_{0} \in \lbrack a,b\rbrack$ tel que la suite numérique $\sum_{}^{}f_{n}$ converge
Alors :
a. $\sum_{}^{}f_{n}$ converge uniformément sur $\lbrack a,b\rbrack$ vers $S$
b. $S$ est $C^{1}$ sur $\lbrack a,b\rbrack$
c. $S^{‘} = T$
Démonstration :
Il suffit d’appliquer le théorème d’interversion limite-dérivée à la suite des sommes partielles $\left( S_{n} \right)$.
Chapitre 4 : Séries entières
Notation :
$D(0,R)$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $R$
$\overline{D}(0,R)$ le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R$
I. Généralités
Définition :
Soit $\left( a_{n} \right)$ une suite numérique dans $\mathbb{K}$.
On appelle série entière de coefficient $a_{n}$ la série de fonctions du type
\[\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{où}\ z\mathbb{\in C}\]Exemple :
\[\text{Série géométrique :}\ \sum_{n \geq 0}^{}z^{n}\ \text{avec}\ a_{n} = 1\] \[\text{Série exponentielle :}\sum_{}^{}\frac{z^{n}}{n!}\ \text{avec}\ a_{n} = \frac{1}{n!}\]Lemme d’Abel :
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{une série entière},\ z_{0}\mathbb{\in C}\] \[\text{Si}\ \left( a_{n}z_{0}^{n} \right)\ \text{est bornée alors}\ \forall z\mathbb{\in C,\ }\text{si}\ \vert z\vert < \left\vert z_{0} \right\vert\ \text{alors}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{converge absolument}\]Démonstration :
\[\exists M > 0,\ \forall n\mathbb{\in N,\ }\left\vert a_{n}z_{0}^{n} \right\vert \leq M\] \[\left\vert a_{n}z^{n} \right\vert = \left\vert a^{n}z_{0}^{n} \right\vert \times \frac{\left\vert z^{n} \right\vert}{\left\vert z_{0}^{n} \right\vert} \leq M\left\vert \frac{z}{z_{0}} \right\vert^{n}\] \[\text{Or}\ \left( \left\vert \frac{z}{z_{0}} \right\vert^{n} \right)\ \text{est une suité géométrique de raison}\ \left\vert \frac{z}{z_{0}} \right\vert < 1\ \text{d'où convergence}\]Définition-Théorème : « Rayon de convergence »
\[\text{Pour toute série entière}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}},\ \text{il existe un unique}\ R \in \mathbb{R}_{+} \cup \left\{ + \infty \right\}\] \[\forall z\mathbb{\in C,\ }\left\{ \begin{array}{r} \vert z\vert < R \Rightarrow \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{converge absolument} \\ \vert z\vert > R\ \Rightarrow \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{diverge grossièrement} \end{array} \right.\] \[R = \sup\left\{ r \geq 0,\ \left( \left\vert a_{n} \right\vert r^{n} \right) \text{ bornée} \right\}\]$R$ est appelé rayon de convergence de $\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}$
On appelle disque de convergence de $\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}$ le disque $D(0,R)$
On appelle intervalle de convergence de $\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}$ l’intervalle $\rbrack - R\ ;R\lbrack$
Attention :
Pour $\vert z\vert = R$, $\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}$ parfois converge, parfois diverge.
Remarque :
Le domaine de convergence de la série entière est le disque de convergence ou l’intervalle de convergence. Si $R = 0$ alors le domaine de convergence est $ { 0 } $. Si $R = + \infty$ alors le domaine de convergence est $\mathbb{R}$.
Exemple :
\[e^{x} = \sum_{n \geq 0}^{}\frac{x^{n}}{n!},\ R = + \infty\] \[\sum_{}^{}x^{n},\ R = 1\]Corollaire : « Contraposée de la définition du rayon de convergence »
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}} \text{ une série entière de rayon de convergence } R\] \[\text{Alors } \forall z\mathbb{\in C,\ }\left\{ \begin{array}{r} \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}} \text{ converge} \Rightarrow \vert z\vert \leq R \\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}} \text{ diverge} \Rightarrow \vert z\vert \geq R \end{array} \right.\]II. Méthode d’évaluation du rayon de convergence
1. Règle de calcul
Théorème :
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{une série entière de rayon de convergence}\ R\]- Règle d’Alembert :
- Règle de Cauchy :
Exercice :
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes
- 1.
- 2.
- 3.
- 4.
Etudions la convergence absolue de la série numérique $\sum_{}^{}u_{n}$
\[\left\vert \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \right\vert = \frac{3\ln(n)}{\ln(n + 1)}\vert z\vert^{2} \rightarrow_{n \rightarrow + \infty}3\vert z\vert^{2}\] \[\text{Si}\ \vert z\vert < \frac{1}{\sqrt{3}}\ \text{alors}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{converge absolument}\] \[\text{Si}\ \vert z\vert > \frac{1}{\sqrt{3}}\ \text{alors}\ \sum_{}^{}u_{n}\ \text{diverge}\] \[R = \frac{1}{\sqrt{3}}\]- 5.
2. Théorèmes de comparaison
Théorème :
\[\text{Soient}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{et}\ \sum_{}^{}{b_{n}z^{n}}\ \text{deux séries entières de rayons de convergence respectifs}\ R_{a}\ \text{et}\ R_{b}\]i. $\left\vert a_{n} \right\vert \leq \left\vert b_{n} \right\vert \Rightarrow R_{a} \geq R_{b}$
ii. $a_{n} = Ο\left( b_{n} \right)\ \text{ou}\ a_{n} = o\left( b_{n} \right) \Rightarrow R_{a} \geq R_{b}$
iii. $\left\vert a_{n} \right\vert\ \sim\ \left\vert b_{n} \right\vert \Rightarrow R_{a} = R_{b}$
Exemple :
\[\sum_{}^{}{\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)z^{n}}\] \[\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)\ \sim\frac{1}{n}\ \text{or}\ \sum_{}^{}\frac{z^{n}}{n}\ \text{est de rayon de convergence}\ R = 1\ \text{alors le rayon de convergence de}\ \sum_{}^{}{\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right)z^{n}}\ \text{est}\ R = 1\]3. Opérations sur les suites
Théorème :
\[\text{Soient}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{et}\ \sum_{}^{}{b_{n}z^{n}}\ \text{deux séries entières de rayon de convergence}\ R_{a}\ \text{et}\ R_{b}\ \text{et de somme}\ S_{a}\ \text{et}\ S_{b}\] \[\forall\lambda\mathbb{\in C,}\sum_{}^{}{\lambda a_{n}z^{n}}\ \text{a pour rayon de convergence}\ R_{a}\ \text{et pour tout}\ z \in D\left( 0,R_{a} \right),\ S_{\lambda a}(z) = \lambda S_{a}(z)\] \[\text{Si}\ R_{a} \neq R_{b},\ \text{alors}\ \sum_{}^{}{\left( a_{n} + b_{n} \right)z^{n}}\ \text{a pour rayon de convergence}\ R = \min\left( R_{a},R_{b} \right)\ \text{et}\ \forall z \in D(0,R),\ S_{a + b}(z) = S_{a}(z) + S_{b}(z)\] \[\text{Si}\ R_{a} = R_{b}\ \text{alors}\ R \geq R_{a}\]III. Convergence et régularité
1. Convergence
Théorème :
Toute série entière converge localement normalement sur son disque de convergence. (Elle converge normalement sur tout compact de $D(0,R)$).
2. Régularité
a. Continuité
\[\text{Le somme d'une série entière}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{est continue sur son disque (ouvert) de convergence.}\]Proposition :
\[\text{Soit } \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{de rayon de convergence } R\] \[\text{Si } \sum_{}^{}{a_{n}R^{n}} \text{ converge absolument alors la somme de}\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}} \text{ est continue sur } \overline{D}(0,R) \text{ et }\] \[\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}} \text{ converge normalement sur } \overline{D}(0,R)\] \[\text{Si } \sum_{}^{}{a_{n}R^{n}} \text{ converge alors } S \text{ est continue sur } \lbrack 0;R\rbrack\] \[\text{Si } \sum_{}^{}{a_{n}( - R)^{n}} \text{ converge alors } S \text{ est continue sur } \lbrack - R;0\rbrack\]b. Dérivabilité
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{une série entière de rayon de convergence}\ R \neq 0\ \text{et de somme}\ S\ \text{alors}\ S\ \text{est}\ C^{\infty}\ \text{sur}\ \rbrack - R;R\lbrack\] \[\text{et}\ \forall p\mathbb{\in N,\forall\ }x \in \rbrack - R,R\lbrack,\ S^{(p)}(x) = \sum_{(n = p)}^{+ \infty}{\frac{n!}{(n - p)!}a_{n}x^{n - p}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{\frac{(n + p)!}{n!}a_{n + p}x^{n}}\]Corollaire :
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{une série entière de rayon de convergence non nul et de somme}\ S\] \[\text{Alors}\ \forall p\mathbb{\in N,\ }a_{p} = \frac{S^{(p)}(0)}{p!}\]Exemple :
\[\forall x \in \rbrack - 1;1\lbrack,\ S(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}x^{n} = \frac{1}{1 - x}\] \[\frac{1}{(1 - x)^{2}} = S^{'}(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}\frac{(n + 1)!}{n!},\ \ x^{n} = \sum_{n \geq 0}^{}{(n + 1)x^{n}}\]IV. Développement en série entière
Proposition :
\[\text{Soient}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{et}\ \sum_{}^{}{b_{n}z^{n}}\ \text{deux séries entières de rayons de convergence}\ R_{a}\ \text{et}\ R_{b}\ \text{et de somme}\ S_{a}\ \text{et}\ S_{b}\]$\text{Pour}\ R = \min\left( R_{a},R_{b} \right)$,
\[\text{Si}\ \forall x \in D(0,R),\ S_{a} = S_{b}\ \text{alors}\ \forall n\mathbb{\in N,\ }a_{n} = b_{n}\]Proposition :
\[\text{Soit}\ \sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}\ \text{une série entière de rayon de convergence}\ R\ \text{et de somme}\ S\] \[\text{Alors}\ \forall x \in \rbrack - R;R\lbrack,\ S(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{\frac{S^{(n)}(0)}{n!}x^{n}}\]Définition :
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, avec $ 0 \in \mathring{I} $, $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{K}$, la fonction $f$ est dite développable en série entière en 0 s’il existe une série entière $\sum_{}^{}{a_{n}z^{n}}$ de rayon de convergence $R \neq 0$ telle que $\forall x \in I \cap \rbrack - R,R\lbrack,\ f(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{a_{n}x^{n}}$
De même $f$ est développable en série entière en $x_{0}$ alors $\forall x \in I \cap \ \rbrack x_ 0 - R,x_ 0 + R\lbrack,\ f(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{a_{n}\left( x - x_{0} \right)^{n}}$
Théorème :
\[\text{Soit}\ I\ \text{un intervalle de}\mathbb{\ R,\ }0 \in \mathring{I},\ \text{si}\ f\ \text{est développable en série entière en}\ 0\ \text{de coefficient}\ a_{n}\ \text{alors}\] \[f\ \text{est}\ C^{\infty}\ \text{sur}\ I \cap \rbrack - R,R\lbrack\] \[\forall n\mathbb{\in N,\ }a_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\]Remarques :
Si $f$ est paire alors $a_{2p + 1} = 0$
Si $f$ est impaire alors $a_{2p} = 0$
Exemple :
Développement en série entière de $x \rightarrow \cos(x)$ en 0
\[\cos^{(n)}x = \cos\left( x + \frac{n\pi}{2} \right)\] \[\cos^{(n)}0 = \cos\left( \frac{n\pi}{2} \right) = \left\{ \begin{array}{r} ( - 1)^{\frac{n}{2}}\ \text{si}\ n\ \text{pair} \\ 0\ \text{si}\ n\text{ impair} \end{array} \right.\] \[\cos(x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty}{\frac{\cos^{(n)}(x)}{n!}x^{n}} = \sum_{p = 0}^{+ \infty}{\frac{( - 1)^{p}}{(2p)!}x^{2p}}\]