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Pages : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Page 1 : Compléments de MathématiquesSam P.Table des matières1Séries numériques31.1Généralités et définitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.2Structure algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.3Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.4Séries de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.5Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.6Séries alternées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.7Séries à termes quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Intégrales72.1Fonctions en escalier et intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.2Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.3Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.4Primitives et intégrale définie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.5Méthodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.6Intégrales généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102.7Intégrales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113Formes bilinéaires, espaces euclidiens et endomorphismes remarquables 113.1Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113.2Matrice associée à une forme bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123.3Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133.4Positivité des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133.5Diagonalisation des formes quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .143.6Applications géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143.7Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143.8Inégalités fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153.9Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153.10 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153.11 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Page 2 : 3.12 Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163.13 Endomorphismes symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173.14 Théorème spectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173.15 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17Sam P.2
Page 3 : 1Séries numériques1.1Généralités et définitions fondamentalesDéfinition.Soit un une suite à valeurs dans R ou dans C. La série numérique determe général un est la somme formelle :u0 + u1 + u2 + . . .que l’on note :+Xn=0un.Si la suite commence à l’indice n0, on écrit :+Xn=n0un.Exemple.u1 + u2 + · · · =+Xn=1un.Définition Sommes partielles.Pour tout N N, la somme partielle d’ordre Nest :SN =NXn=0un = u0 + u1 + · · · + uN.La suite SN est appelée suite des sommes partielles de la série P un.Exemple.— Pour+Xn=11n2, il est difficile de calculer toutes les sommes partielles. Par exemple :S3 = 112 + 122 + 132 = 1 + 14 + 19.— Pour+Xn=02n, il s’agit d’une série géométrique de raison q = 2, donc :SN =NXn=02n = 1 2N+11 2= 2N+1 1.Sam P.3
Page 4 : Définition Convergence et divergence.La série P un est dite convergente si lasuite de ses sommes partielles SN converge. Dans ce cas, on définit :limN→+SN =+Xn=0un.Sinon, la série est dite divergente.Exemple.Pour+Xn=02n, on a SN = 2N+11 et limN→+SN = +, donc la série diverge.Définition Reste d’une série convergente.Si P un converge vers S, on définitpour tout N :RN = S SN =+Xn=N+1un.1.2Structure algébriqueSoient P un et P vn deux séries numériques et λ R.— Addition :Xun + vn.— Multiplication par un scalaire : λXun =Xλun.— Produit de Cauchy :Xun Xvn=Xwn où wn = Pnk=0 ukvnk.Remarque.Si les séries P un et P vn convergent :1. Pun + vn converge ;2. Pλun converge ;3. Si au moins une des deux converge absolument, alors P wn converge.1.3Condition nécessaire de convergenceThéorème.SiXun converge, alors limn→+un = 0.Corollaire.Silimn→+un ̸= 0, alors la série diverge divergence grossière. La réciproqueest fausse : un →0 n’implique pas la convergence de P un.Sam P.4
Page 5 : 1.4Séries de référenceSérie géométrique.Soit q R. La série+Xn=0qn :converge si q 1,diverge si q 1.Série de Riemann.Soit γ R. La série+Xn=11nγ :converge si γ 1,diverge si γ 1.1.5Séries à termes positifsDéfinition.Une sérieXun est positive si un 0 pour tout n.Propriété.Pour une série positive, la suite SN est croissante. Elle converge si etseulement si elle est majorée.Critères de convergenceCritère d’Alembert.Soit P un une série à termes positifs et l = limn→+un+1un . Alors :l 1 ⇒la série converge,l 1 ⇒la série diverge,l = 1 ⇒pas de conclusion.Critère de Cauchy.Soit P un une série à termes positifs et l = limn→+nun. Alors :l 1 ⇒la série converge,l 1 ⇒la série diverge,l = 1 ⇒pas de conclusion.Critères de comparaisonSam P.5
Page 6 : Suites équivalentes.Deux suites un et vn non nulles à partir d’un certain rangsont dites équivalentes, noté un vn, si :limn→+unvn= 1.Équivalences utiles.Si limn→+un = 0, alors :sinun un,cosun 1,ln1 + un un,eun 1.Tout polynôme en n est équivalent à son monôme de plus haut degré.Comparaison par inégalité.Si 0 un vn à partir d’un certain rang :Xvn converge ⇒Xun converge,Xun diverge ⇒Xvn diverge.Comparaison par équivalence.Si un vn, alors les séries P un et P vn sont demême nature convergentes ou divergentes.1.6Séries alternéesDéfinition.Une série de la formeX1nun ou P1n+1un, avec un 0, est appeléesérie alternée.Critère de Leibniz.Si un est décroissante et limn→+un = 0, alors la sérieX1nunconverge.Exemple.La série harmonique alternée+Xn=11nnconverge par le critère de Leibniz.1.7Séries à termes quelconquesConvergence absolue et semi-convergenceDéfinition.La série P un est absolument convergente si P un converge. Toutesérie absolument convergente est convergente.Exemple.+Xn=11nnconverge critère de Leibniz mais P+n=11n diverge, donc elle estsemi-convergente.Sam P.6
Page 7 : Critères usuels de convergence absolueCritère d’Alembert valeurs absolues.Silimn→+un+1un = l, alors :l 1 ⇒convergence absolue,l 1 ⇒divergence grossière,l = 1 ⇒pas de conclusion.Critère de Cauchy valeurs absolues.Silimn→+npun = l, alors :l 1 ⇒convergence absolue,l 1 ⇒divergence grossière,l = 1 ⇒pas de conclusion.Théorèmes spécifiquesThéorème spécial des séries alternées TSSA.Si un est décroissante et tendvers 0, alors P un converge.Série de Riemann alternée.La série+Xn=11nnλconverge si et seulement si λ 0.Série de Bertrand.Pour α, β R :+Xn=21nαln nβ converge si et seulement siα 1, pour tout β,ou α = 1 et β 1.Sommes télescopiques.Si vn = un+1 un, alors :Xvn converge ⇔un converge,et+Xn=0vn = limn→+un u0.2IntégralesDans tout ce chapitre, on fixe deux réels a, b R tels que a b.Sam P.7
Page 8 : 2.1Fonctions en escalier et intégraleDéfinition Subdivision.Soit n N. On appelle subdivision du segment a, btoute famille ordonnéeσ = x0, x1, . . . , xntelle quea = x0 x1 · · · xn = b.On note Sa, b l’ensemble des subdivisions de a, b.Exemple.La famille 0, 12, 1 est une subdivision du segment 0, 1.Définition Subdivision régulière.On appelle subdivision régulière de rang ndu segment a, b la subdivision définie parxk = a + kb an,k = 0, . . . , n.Définition Fonction en escalier.Une fonction φ : a, b →R est dite en escaliers’il existe une subdivision σ = x0, . . . , xn de a, b et des réels c0, . . . , cn1 tels quek 0, . . . , n 1,x xk, xk+1,φx = ck.On note Ea, b l’ensemble des fonctions en escalier sur a, b.Définition Intégrale d’une fonction en escalier.Soit φ Ea, b associée à unesubdivision σ = x0, . . . , xn. On appelle intégrale de φ sur a, b la quantitéZ baφx dx =n1Xk=0ckxk+1 xk.Propriétés fondamentales.Soient φ, ψ Ea, b et λ R.—Z baφ + ψ =Z baφ +Z baψ—Z baλφ = λZ baφ— Si φ 0, alorsZ baφ 0Relation de Chasles.Pour tout c a, b :Z baφx dx =Z caφx dx +Z bcφx dx.Sam P.8
Page 9 : 2.2Fonctions continues par morceauxDéfinition.Une fonction f : a, b →R est dite continue par morceaux s’il existeune subdivision σ = x0, . . . , xn telle que :— f est continue sur chaque intervalle xk, xk+1,— f admet des limites réelles à droite et à gauche en chaque xk.On note C0pma, b l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur a, b.Remarques.— Toute fonction continue est continue par morceaux :C0a, b C0pma, b.— Toute fonction en escalier est continue par morceaux :Ea, b C0pma, b.Intégrabilité.Toute fonction f C0pma, b est intégrable sur a, b.Positivité.Si f C0pma, b et fx 0 sur a, b, alorsZ bafx dx 0.La réciproque est fausse.Inégalité de Cauchy–Schwarz.Pour toutes fonctions f, g C0pma, b :Z bafxgx dx Z bafx2dx1/2 Z bagx2dx1/2.Nullité de l’intégrale.Si f est continue, positive sur a, b etZ bafx dx = 0,alors f est identiquement nulle.2.3Sommes de RiemannProposition.Soit f C0pma, b. Alors :limn→+b annXk=1fa + kb an=Z bafx dx.Sam P.9
Page 10 : 2.4Primitives et intégrale définieDéfinition Primitive.Soit I un intervalle de R et f : I →R continue. Une fonctionF : I →R est une primitive de f siF ′x = fx,x I.Théorème.Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.Définition Intégrale définie.Si f est continue sur a, b et F une primitive de f,on définitZ bafx dx = Fb Fa.Théorème fondamental de l’analyse.Si f est continue sur a, b etFx =Z xaft dt,alors F est une primitive de f sur a, b.2.5Méthodes de calculIntégration par partiesProposition.Si f, g C1a, b, alors :Z baf ′xgx dx = fxgxba Z bafxg′x dx.Changement de variableProposition.Soit φ C1a, b strictement monotone et f continue sur φa, b. Alors :Z φbφafu du =Z bafφxφ′x dx.2.6Intégrales généraliséesDéfinition.Une intégrale est dite généralisée si :— l’intervalle est infini ;— ou la fonction n’est pas bornée.Convergence.Une intégrale généralisée converge si la limite définissant l’intégraleexiste et est finie.Sam P.10
Page 11 : Convergence absolue.SiZ bafx dxconverge, alorsZ bafx dxconverge.2.7Intégrales usuellesIntégrales de Riemann.Soit α R :Z 101xαdx converge ssi α 1,Z +11xαdx converge ssi α 1.Exponentielle.Z +0eαxdx converge ssi α 0.Critère de comparaison.Soient f, g continues, positives sur a, b, avec f g.— SiRg converge, alorsRf converge.— SiRf diverge, alorsRg diverge.Théorème d’équivalence.Si fx gx au voisinage d’un point singulier, alorsZf etZg sont de même nature.3Formes bilinéaires, espaces euclidiens et endomor-phismes remarquablesDans tout ce chapitre, E désigne un espace vectoriel réel de dimension finie n.3.1Formes bilinéairesDéfinition.Une applicationφ : E × E →Rest appelée forme bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables,c’est-à-dire :x, y, z E, λ R,φx + y, z = φx, z + φy, z,φλx, z = λφx, z,Sam P.11
Page 12 : et de même pour la seconde variable.Exemples.— Dans Rn, l’application x, y 7→xy est une forme bilinéaire.— L’application x, y 7→0 est une forme bilinéaire.— L’application x, y 7→xyn’est pas bilinéaire.Définition Forme symétrique.Une forme bilinéaire φ est dite symétrique si :x, y E,φx, y = φy, x.Définition Forme antisymétrique.Une forme bilinéaire φ est dite antisymé-trique si :x, y E,φx, y = φy, x.Propriété.Si φ est antisymétrique, alors :x E,φx, x = 0.Réciproque.La réciproque est fausse en général.3.2Matrice associée à une forme bilinéaireDéfinition.Soit B = e1, . . . , en une base de E et φ une forme bilinéaire. On appellematrice associée à φ dans la base B la matriceMBφ =φei, ej1i,jn.Expression matricielle.Si x, y E ont pour coordonnées X, Y Rn dans la base B,alors :φx, y = XMBφY.Changement de base.Si P est la matrice de passage d’une base B à une base B′,alors :MB′φ = P MBφP.Symétrie matricielle.φ est symétrique ⇐⇒MBφ= MBφ.Sam P.12
Page 13 : 3.3Formes quadratiquesDéfinition.Une application q : E →R est appelée forme quadratique s’il existe uneforme bilinéaire symétrique φ telle que :x E,qx = φx, x.Remarque fondamentale.Une forme quadratique ne détermine pas une unique formebilinéaire, mais elle détermine une unique forme bilinéaire symétrique associée.Polarisation.La forme bilinéaire symétrique associée à q est donnée par :φx, y = 12qx + y qx qy.Expression matricielle.Dans une base B :qx = XAX,où A est une matrice symétrique réelle.Exemple.Dans R2 :qx, y = x2 + 2xy + 3y2⇐⇒A = 1113!.3.4Positivité des formes quadratiquesDéfinition.Une forme quadratique q est dite :— positive si x, qx 0,— définie positive si x ̸= 0, qx 0,— négative si x, qx 0,— indéfinie sinon.Lien matriciel.q est définie positive si et seulement si sa matrice associée est symé-trique définie positive.Critère de Sylvester.Une matrice symétrique réelle est définie positive si et seulementsi tous ses mineurs principaux sont strictement positifs.Sam P.13
Page 14 : 3.5Diagonalisation des formes quadratiquesThéorème Réduction de Gauss.Toute forme quadratique réelle peut être misesous forme diagonale dans une base convenable :qx = λ1x21 + · · · + λnx2n.Signature.Le nombre de coefficients strictement positifs et strictement négatifs estinvariant par changement de base.Théorème d’inertie de Sylvester.La signature p, q d’une forme quadratique réelleest indépendante de la base choisie.Cas particulier.Une forme quadratique est définie positive si et seulement si tous lescoefficients diagonaux sont strictement positifs.3.6Applications géométriquesClassification des coniques.Les formes quadratiques permettent de classifier les co-niques selon leur signature :— ellipse,— hyperbole,— parabole cas dégénéré.Exemple.x2 + y2 = 1ellipse,x2 y2 = 1hyperbole.3.7Produit scalaireDéfinition.Un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique ⟨·, ·⟩:E × E →R telle que :— x E, ⟨x, x⟩0,— ⟨x, x⟩= 0 ⇐⇒x = 0.Exemples.— Dans Rn :⟨x, y⟩=nXi=1xiyi.— Pour une matrice symétrique définie positive A :⟨x, y⟩A = xAy.Sam P.14
Page 15 : Norme associée.On définit :x=p⟨x, x⟩.3.8Inégalités fondamentalesInégalité de Cauchy–Schwarz.Pour tous x, y E :⟨x, y⟩ xy.Démonstration.Considérer la fonction t 7→⟨x + ty, x + ty⟩et utiliser sa positivité.Inégalité triangulaire.x + yx+ y.Distance.La distance associée est :dx, y = x y.3.9Espaces euclidiensDéfinition.Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire estappelé espace euclidien.Orthogonalité.Deux vecteurs x, y sont orthogonaux si :⟨x, y⟩= 0.Orthogonal d’un sous-espace.Pour un sous-espace F E :F = x E y F, ⟨x, y⟩= 0.Propriétés.F est un sous-espace de E,dim F + dim F = dim E.3.10Bases orthonorméesDéfinition.Une base e1, . . . , en est dite orthonormée si :⟨ei, ej⟩=1si i = j,0si i ̸= j.Sam P.15
Page 16 : Coordonnées.Dans une base orthonormée :⟨x, y⟩=nXi=1xiyi,x2 =nXi=1x2i .Théorème de Gram–Schmidt.Toute base d’un espace euclidien peut être transfor-mée en une base orthonormée.3.11Projecteurs orthogonauxDéfinition Projecteur.Un endomorphisme p : E →E est un projecteur si :p2 = p.Définition Projecteur orthogonal.Un projecteur p est dit orthogonal s’il est sy-métrique :⟨px, y⟩= ⟨x, py⟩.Décomposition orthogonale.Pour tout sous-espace F :E = F F .Projection orthogonale.Pour tout x E, il existe un unique pFx F tel que :x = pFx + x pFx,x pFx F .Distance à un sous-espace.dx, F = x pFx.3.12Symétries orthogonalesDéfinition.Une symétrie est un endomorphisme s tel que :s2 = Id.Symétrie orthogonale.La symétrie orthogonale par rapport à F est :sFx = 2pFx x.Sam P.16
Page 17 : 3.13Endomorphismes symétriquesDéfinition.Un endomorphisme u : E →E est dit symétrique si :x, y E,⟨ux, y⟩= ⟨x, uy⟩.Lien matriciel.Dans une base orthonormée, la matrice de u est symétrique.Propriété spectrale.Toutes les valeurs propres d’un endomorphisme symétrique sontréelles.Orthogonalité des sous-espaces propres.Deux sous-espaces propres associés à desvaleurs propres distinctes sont orthogonaux.3.14Théorème spectralThéorème spectral réel.Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien :— est diagonalisable,— admet une base orthonormée de vecteurs propres.Conséquence matricielle.Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable par unematrice orthogonale.3.15ApplicationsMoindres carrés.Le problèmeminyF x yadmet une solution unique : la projection orthogonale de x sur F.Interprétation géométrique.La projection orthogonale est le meilleur approximantde x dans F au sens de la norme euclidienne.Sam P.17
