DM1 Continuite
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Page 1 : Cycle Preparatoire - Premiere AnneeAnalyse II - 2021/2022Devoir ContinuiteExercice 1Determiner le nombre de solutions de l’equationex = mxselon les valeurs du parametre reel m.Solutionredaction telegraphiqueOn definit la fonction h par x R, hx = ex mx. h est derivable etde derivee h′x = ex m.Si m 0, la fonction h′ ne s’annule pas donc la fonction h est stric-tement croissante. La limite en est et en +, +donc elles’annule en un seul reel.Si m 0 la fonction h est strictement positive sur ; lnm etstrictement negative sur lnm; +. Elle admet donc un maximumen lnm qui vaut hln m = m m ln m = m1 ln m. Si m e, lafonction est positive donc hx ne s’annule pas. Si m = e, la fonctions’annule en un seul point. Si m e, la fonction s’annule en deux pointsutiliser le theoreme des valeurs intermediaires.Autre solutionPour x = 0, l’equation devient 1 = 0 donc n’a pas de solution.Pour x ̸= 0, on definit φ : x 7→exx .φ′x = xex exx2= ex x 1x2Pour x 1, φ′x 0 donc la fonction est strictement decroissante sur ; 0 et sur 0; 1.Pour x 1, φ est strictement croissante.On alimx→φx = 0 et limx→0+ φx = +De plus φ est continue sur ; 0 donc elle realise une bijection deRdans R.On a φ1 = e,limx→+φx = +et limx→0φx = +Donc φ realise une bijection de 0; 1 dans e; + et de 1; + danse; +. Finalement,— Si m e ou 0 m e, il y a deux solutions.— Si m = e, il y a une unique solution— Si m = 0 pas de solution.
Page 2 : — Si m 0, une seule solutionExercice 21. Montrer que, si f est strictement croissante, on a l’equivalence :f ◦fx = x ⇔fx = x2. Soit f : R →R definie par fx = x5 + x 1pour x R.a Montrer que f est bijective.b Resoudre dans R l’equation fx = f 1x.Solution1. On a x fx =⇒fx ffx =⇒fx x. Donc six fx alors x = fxDe mˆeme x fx =⇒fx ffx =⇒fx x. Donc six fx alors x = fxDans tous les cas, si ffx = x alors fx = xLa reciproque est evidente.2.a La fonction f est derivable sur R et x R, f ′x = 5x4 + 1On a x R, f ′x 0, donc f est strictement croissantesur R.Orlimx→+fx =limx→+x5 = +etlimx→x5 = Or la fonction f est une fonction polynˆome donc elle estcontinue. L’image d’un intervalle etant un intervalle, l’imagede ; + est donc ; +. Par ailleurs, f etantstrictement croissante, elle realise une bijection de R dans R.b On resout fx = f 1x ⇔ffx = x ⇔fx = x car fest strictement croissante.⇔x5 + x 1 = x⇔x5 = 1Dans R, la fonction x 7→x5 etant strictement croissante,1 admet un unique antecedent : 1 qui est la solution del’equation.
