DM1 Derivabilite

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Page 1 : Cycle Pr´eparatoire - Premiere Ann´eeAnalyse II - 2021/2022Devoir D´erivabilit´eExercice 1On appelle arcsin, arccos, arctan les fonctions r´eciproques des fonctions sin, cos, tan.D´eterminer les ensembles de d´epart et d’arriv´ee pour pourvoir d´efinir ces fonctions r´eciproqueset en tout r´eel pour lesquelles ces fonctions sont d´erivables, exprimer la d´eriv´ee de la fonctionr´eciproque sous une forme qui n’utilise pas sin ou cos.Indication : on obtiendra arctan′x =11 + x2Solution1. Fonction sin :Tout d’abord, la fonction sin prend ses valeurs dans R , et ses images se situent dansl’intervalle J = 1; 1 .On restreint la fonction sin a l’ensemble de d´efinition I = π2 ; π2 et l’ensemble d’arriv´eeJ = 1; 1.La fonction sin est d´erivable de d´eriv´ee cos. Donc la d´eriv´ee est strictement positive sur Isauf en deux r´eels donc la fonction est strictement croissante. Comme elle est continue,elle est bijective de I sur J.d’ou f :hπ2 , π2i→1, 1x →sin xOn a doncf 1 :1, 1 →hπ2 , π2ix →arcsin xCherchons a pr´esent une ´ecriture de la d´eriv´ee de arcsin :On utilise la le¸con et on obtientarcsin x′ =1cos xarcsin xOn utilise la formule trigonom´etrique :cos2 x + sin2 x = 1=⇒cos x2arcsin x = 1 sin2arcsin x etpcos x2arcsin x =p1 sinarcsin x2=⇒cos xarcsin x =1 x2d’ou en revenant a l’expression : arcsin x′ =1cos xarcsin x =11 x22. Fonction cos :Tout d’abord, la fonction cos prend ses valeurs dans R , et ses images se situent dansl’intervalle J = 1; 1 .On restreint la fonction sin a l’ensemble de d´efinition I = 0; π et l’ensemble d’arriv´eeJ = 1; 1.La fonction cos est d´erivable de d´eriv´ee sin. Donc la d´eriv´ee est strictement n´egative surI sauf en deux r´eels donc la fonction est strictement croissante. Comme elle est continue,elle est bijective de I sur J.d’ou f :0, π →1, 1x →cos xOn a doncf 1 :1, 1 →0, πx →arccos xCherchons a pr´esent une ´ecriture de la d´eriv´ee de arccos :

Page 2 : On utilise la le¸con et on obtientarccos x′ =1sin xarccos xOn utilise la formule trigonom´etrique :cos2 x + sin2 x = 1=⇒sin x2arccos x = 1 cos2arccos x etpsin x2arccos x =p1 cosarccos x2=⇒sin xarccos x =1 x2d’ou en revenant a l’expression : arccos x′ =1sin xarccos x = 11 x23. Etude de la fonction tanTout d’abord rappelons que tan x = sin xcos xdonc le domaine de d´efinition de tan est R\x/ cos x ̸= 0cos x = 0 =⇒x = π2 + 2kπ, avec k Zx = π2 + 2kπ, avec k Zdonc la fonction tan est d´efinie sur R\nπ2 + kπ avec k ZoOn pose f :I = π2 ; π2 →Rx →tan x,Cette fonction est d´erivable sur I de d´eriv´ee : f ′x = 1 + tan2 x 0 donc elle eststrictement croissante sur I.De plus limx→π2tan x = +etlimx→π2+ tan x = car quotient de sin et cosComme f est continue sur I, elle r´ealise une bijection de I sur fIOn peut donc d´efinir :arctan :R → π2 ; π2 x →arctan xOn peut utiliser la propri´et´e du cours ou bien utiliser l’expression : x = tanarctanxx′ = tan arctan x′ =⇒1 = arctan′1 + tan2 arctan x=⇒1 = arctan′1 + x2=⇒arctan x′ =11 + x2Exercice 2On d´efinit deux fonctions sh et ch de R dans R parshx = ex ex2et chx = ex + ex21. D´emontrer que ch est paire et sh est impaire.2. D´eterminer les d´eriv´ees de ch et sh et les exprimer en fonction de ch et sh.3. D´emontrer que ch2x sh2x = 14.a D´emontrer que ch permet de d´efinir une bijection de R+ dans un ensemble E quel’on d´eterminera.b On appelle argch la fonction r´eciproque de ch d´efinie de E dans R+. Etudier lad´erivabilit´e de arcsh sur E. Et exprimer argch′x en fonction de x sans utiliser shou ch.c Soit g : x 7→lnx +x2 1. En utilisant la d´erivation, montrer que g = argcosh.5.a D´emontrer que sh permet de d´efinir une bijection de R dans R.b On appelle argsh la fonction r´eciproque de sh d´efinie de R dans R+. Etudier lad´erivabilit´e de arcsh sur R.c Soit f : x 7→lnx +x2 + 1. En utilisant la d´erivation, montrer que f = argsh.

Page 3 : 6. On appelle th la fonction th = shch. Etudier la fonction th, d´eterminer sa d´eriv´ee et sonsens de variation.7.a D´emontrer que th permet de d´efinir une bijection de R+ dans un ensemble F quel’on d´eterminera.b On appelle argth la fonction r´eciproque de th d´efinie de F dans R+. Etudier lad´erivabilit´e de argth sur F. Et exprimer argth′x en fonction de x sans utiliser shou ch ou th.c Soit h : x 7→12 ln 1 + x1 x. En utilisant la d´erivation, montrer que h = argthx.Solution1. La fonction ch est-elle paire ?x R, chx = ex + ex2= ex + ex2= chx,donc la fonction ch est paire.x R, shx = ex ex2= ex ex2= shx,donc la fonction sh est paire.2. D´eriv´ee de chx :ch′x =ex + ex2′ = ex ex2= shxD´eriv´ee de sh x :sh′x =ex ex2′ = ex ex12= ex + ex2= chx3. On ´ecrit :ch2x sh2x =ex + ex22ex ex22= ex + ex24ex ex24= e2x + 2exex + e2x e2x 2exex + e2x4= e2x + 2exex + e2x e2x 2exex + e2x4= e2x + 2 + e2x e2x 2 + e2x4= e2x + 2 + e2x e2x + 2 e2x4= 44 = 1Donc ch2 x sh2 x = 1.4.a Soit ch : x →ex + ex2ch est continue sur R et d´erivable sur R de d´eriv´ee ch′x = shx = e2x 12ex 0 ⇔x 0Donc ch est strictement croissante sur R+, comme ch0 = e0 + e02= 1 + 12= 1 etlimx→+chx = +on peut appliquer le th´eoreme de la bijection a cette fonctioncontinue et ch r´ealise une bijection de R+ dans 1; +b On observe que sh ne s’annule pas sur 0; + donc argch est d´erivable sur 1; +,de d´eriv´ee :arccosh′x =1sharccoshx =1psh2arccoshx 1=1x2 1c On ag′x =1 +2x2x21x +x2 1 = 1 +2x2x2 11x +x2 1= 2x2 1 + 2x2x2 11x +x2 1 = 2x2 1 + x2x2 11x +x2 1 =1x2 1On observe que g′x = arcosh′x or g1 = 0 et argcosh1 = 0 donc g = arcosh

Page 4 : On peut aussi remarquer que coshx = ex + ex2On r´esout x = cosh z ⇔2x = y + 1y et y = ez ⇔y2 2xy + 1 = 0 et y = ez′ = x2 1 et y1 = x +x2 1 et y2 = x x2 1Donc z = lnx +x2 1ou z = lnx x2 1Or xx2 1 =1x +x2 1 et pour x ⩾1, x+x2 1 ⩾1 donc xx2 1 1donc la arccoshx = lnx +x2 15.a Soit sh : x →ex ex2sh est continue sur R et d´erivable sur R de d´eriv´ee sh′x = chx = ex + ex2ex 0 ⇔x 0Donc sh est strictement croissante sur R.limx→shx = etlimx→+shx = +on peut appliquer le th´eoreme de la bijec-tion a cette fonction continue et sh r´ealise une bijection de R dans Rb On observe que ch ne s’annule pas sur R donc argsh est d´erivable sur R, de d´eriv´ee :arcsinh′x =1ch arcshx =1psh2arcshx + 1=1x2 + 1c On af′x =1 +2x2x2+1x +x2 + 1 = 1 +2x2x2 + 11x +x2 + 1= 2x2 + 1 + 2x2x2 + 11x +x2 + 1 = 2x2 + 1 + x2x2 + 11x +x2 + 1 =1x2 + 1On observe que f ′x = arcsh′x or f0 = 0 et sh0 = 0 donc f = arcshOn peut aussi remarquer que shx = ex ex2On r´esout x = cosh z ⇔2x = y 1y et y = ez ⇔y2 2xy 1 = 0 et y = ez′ = x2 + 1 et y1 = x +x2 + 1 et y2 = x x2 + 1Orx2 + 1 x donc x x2 + 1 0Donc z = lnx +x2 + 1donc la arcshx = lnx +x2 + 16.a La fonction th est d´erivable comme quotient de fonctions d´erivables.on a th′ x = ch x ch x shx shxch2x=1ch2x 0 donc la fonction th est strictementcroissanteth x =exex2ex+ex2=ex ex22ex + ex = ex exex + exdonclimx→thx = limx→e2x e0e2x + e0 = 1 etlimx→+thx = limx→+e0 e2xe0 + e2x = 1Comme th est continue sur R et strictement croissante, elle r´ealise une bijection deR dans 1; 1b La fonction th ´etant bijective et de d´eriv´ee nulle, argth′x =11 th2arcthx =11 x2

Page 5 : c hx = 12ln1 + x ln1 xdonc h′x = 1211 + x +11 x=11 x2On obtient la mˆeme d´eriv´ee que argth or h0 = 0 et arcth0 = 0 donc h = arcth0hx = 1xln1 + x ln1 xRemarque : y = thx ⇔y = ex exex + ex ⇔y = e2x 1e2x + 1 ⇔e2x = 1 + y1 y ⇔x =12 ln 1 + y1 y

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