DS 2020 2021
Télécharger le DS 2020 2021 en pdf
Page 1 : CY-Tech - Département Mathématiques1ère année Ingénieurs - Génie MathématiqueExamen : Mesure & intégrationDonné le 13-01-2021 Durée 2h00Téléphones portables et tout document sont interditsLe barème est donné à titre indicatif. Les élèves sont invités à porter une attention particulière à la rédaction et à la justification desréponses.La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée.EXERCICE 1 3 points Soient¡Ω,T ,µ¢un espace mesuré et un élément fixe de T .1. Justifier que l’application donnée par :B T , eµB = µB est une mesure sur Ω,T et que eµB µB.2. A quelle condition portant sur µ, eµ est une mesure de probabilité sur Ω,T ?3. Montrer que toute partie de Ωde mesure nulle par rapport à µ est également une partie de mesurenulle par rapport à eµ.4. On suppose dans cette question uniquement que µ est la mesure de comptage sur Ω,T .Montrer que s’il existe a Ωtel que = a alors eµ est la mesure de Dirac centrée au point a, eµ = δa.EXERCICE 2 6 points Soit Ω,T un espace mesurable. On considère m1 et m2 deux mesures sur Ω,T .1. Montrer que m = m1 +m2 est une mesure sur Ω,T .2. Soit f : Ω→R une application mesurable. Montrer que f est m-intégrable si et seulement si f estm1-intégrable et m2-intégrable et montrer queZΩf dm =ZΩf dm1 +ZΩf dm2.Indication : distinguer le cas où f est une fonction étagée positive, une fonction mesurable positivepuis une fonction mesurable de signe quelconque.3. Application:Soit A = 1,2,3 et f :¡R,BR¢→¡R,BR¢une application mesurable telle que f 3 = 2f 2.On pose m1 = δ2 la mesure de Dirac concentrée en 2, m2 la mesure de comptage et m = m1 +m2.a Montrer que f 1A est m-intégrable.b CalculerZAf dm.
Page 2 : EXAMEN: MESURE & INTÉGRATIONEXERCICE 3 4 points Soient¡Ω,T ,µ¢et¡R+,BR+,λ¢deux espaces mesurés où µ est une mesure finiesur Ωet λ la mesure de Lebesgue sur R+. On considère l’application mesurablef :¡Ω,T ,µ¢→¡R+,BR+,λ¢.On suppose queZΩf 2dµ +.1. Rappeler la définition d’une mesure finie.2. Rappeler la définition d’une mesure σ-finie. Mesure sigma finie3. Montrer que si µ est une mesure finie alors elle est σ-finie. La réciproque est-elle vraie ? Justifier parune démonstration si la proposition est vraie ou par un contre exemple le cas échéant.4. Soient A1 =©x Ω, 0 f x 1ªet A2 =©x Ω, f x 1ª.a Montrer que A1 et A2 sont deux ensembles mesurables, A1 T et A2 T .b Montrer queZA1f dµ +.c Montrer queZA2f dµ +.d Que peut-on déduire sur l’intégrabilité de f sur Ω? Justifier.EXERCICE 4 3 pointsSoit l’espace mesuré¡R+,BR+,λ¢où λ est la mesure de Lebesgue. Calucler enjustifiant toutes les étapes de vos calculs:limn→+Z0,n³1xnncosxdλx.EXERCICE 5 4 points Sur R2, on définit l’ensemble D =©¡x, y¢£0,1¤×£0,1¤tel que x + y 1ª.1. Montrer que D est un borélien de R2.2. Soitf:0,1×0,1→R¡x, y¢7→ex+y1Dx, y.a Montrer que la fonction f est mesurable.b Calculer, en justifiant votre réponse,Z0,1×0,1f¡x, y¢λλ¡dx,d y¢.CY-Tech2/2
