DS 2021 2022 GIA
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Page 1 : 2021/2022Département MathématiquesIng1-GIAProbabilités & SimulationExamen - janvier 2022◁Consignes ▷Durée : 120 mn▶Autorisé : Trois feuilles A4 recto-verso manuscrites. Calculatrices.▶Non autorisé : Tout autre document et tous les supports électroniques smart-phone, tablette,ordinateur,....- L'épreuve est composée de 4 exercices indépendants.- La table de la loi normale standard y est jointe.- Une réponse numérique donnée sous forme algébrique simpliée est acceptée sous forme d'une fractionréduite par exemple.◁Sujet de l'épreuve ▷• On notera : v.a.r.a.c. pour variable aléatoire réelle absolument continue.Exercice 1.xx ptsSoit f la fonction dénie sur R par :fx = kex2 11,+x1 Montrer que f est une fonction de densité de probabilité, si et seulement si, k = 12e12 .Soit X une v.a.r.a.c. admettant f pour fonction de densité de probabilité.2 Déterminer F, la fonction de répartition de X.3 Calculer l'espérance EX et la variance V X de X.4 En faisant usage de la fonction de répartition, calculer les probabilités suivantes :a PX 3b PX 5d PX 3 X 5e P5 X 7 X 3Rappel : PA B = PA BPBExercice 2.xx pointsOn considère une v.a.r.a.c. X de loi normale N0, 1.1 Montrer que pour tout n N, on a : EXn+2 = n + 1EXn intégrer par parties.2 Que vaut EX2 ? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de EX4.1
Page 2 : 3 Que vaut EX3 ?4 Soit Y la v.a.r. dénie par Y = 2X + 1.a Quelle est la loi de Y ?b Déterminer EY 4. on pourra utiliser la formule du binôme : a, b R et n Na + bn =nXk=0nkakbnket les moments de X trouvés précédemment.5 A l'aide de la table de la loi normale standard, déterminer PX 2. Que donne l'inégalité deTchebychev ci-après dans ce cas ?x 0,PX EX x V Xx2Comparer et commenter.6 On suppose maintenant que X suit une loi normale de moyenne 7 et d'écart-type 4.a Déterminer PX 8 et P5 X 9.b Déterminer a tel que PX a = 0.9.7 Bonus, question non obligatoire La taille des élèves d'un Lycée est distribuée selon une loinormale de moyenne m et d'écart-type σ. On sait qu'un cinquième des élèves mesurent moinsde 1m50 et que 10 des élèves mesurent plus de 1m80. Déterminer m et σ.Exercice 3.xx pointsOn considère un dé à six faces non pipé qu'on lance 100 fois. On s'intéresse à la somme des pointsobtenus.1 Modéliser à l'aide de variables aléatoires cette situation.2 En faisant usage du CLT, calculer la probabilité que cette somme soit comprise entre 300 ptset 400 pts.Exercice 4.xx pointsOn rappelle que : pXx = PX = x, lorsque X est une v.a.r. discrète.Soit YnnNune suite de v.a.rs discrètes telle que pour tout n 1YnΩ = 0, net f.m.p.pYny =1 1nsi y = 01nsi y = n0sinon1a Calculerlimn→+EYn etlimn→+V Yn.b Que peut-on en conclure ?2 La suite YnnNconverge-elle en moyenne quadratique vers Y = 0 ?3 Montrer que YnnNconverge en probabilité vers Y = 0.4 On considère une suite XkkNde v.a.r.-i.i.d. de même loi que Y2. Pour k assez grand, parquelle loi peut-on approcher le loi de la v.a.r. Z ? :Z = 1kkXi=1Xi2
Page 3 : z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.000.500000 0.503989 0.507978 0.511966 0.515953 0.519939 0.523922 0.527903 0.531881 0.5358560.100.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555670 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.5753450.200.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.6140920.300.617911 0.621720 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.6517320.400.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.6879330.500.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.7224050.600.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.7549030.700.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.7852360.800.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802337 0.805105 0.807850 0.810570 0.8132670.900.815940 0.818589 0.821214 0.823814 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.8389131.000.841345 0.843752 0.846136 0.848495 0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.8621431.100.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.879000 0.881000 0.8829771.200.884930 0.886861 0.888768 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.9014751.300.903200 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.9177361.400.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.9318881.500.933193 0.934478 0.935745 0.936992 0.938220 0.939429 0.940620 0.941792 0.942947 0.9440831.600.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.9544861.700.955435 0.956367 0.957284 0.958185 0.959070 0.959941 0.960796 0.961636 0.962462 0.9632731.800.964070 0.964852 0.965620 0.966375 0.967116 0.967843 0.968557 0.969258 0.969946 0.9706211.900.971283 0.971933 0.972571 0.973197 0.973810 0.974412 0.975002 0.975581 0.976148 0.9767052.000.977250 0.977784 0.978308 0.978822 0.979325 0.979818 0.980301 0.980774 0.981237 0.9816912.100.982136 0.982571 0.982997 0.983414 0.983823 0.984222 0.984614 0.984997 0.985371 0.9857382.200.986097 0.986447 0.986791 0.987126 0.987455 0.987776 0.988089 0.988396 0.988696 0.9889892.300.989276 0.989556 0.989830 0.990097 0.990358 0.990613 0.990863 0.991106 0.991344 0.9915762.400.991802 0.992024 0.992240 0.992451 0.992656 0.992857 0.993053 0.993244 0.993431 0.9936132.500.993790 0.993963 0.994132 0.994297 0.994457 0.994614 0.994766 0.994915 0.995060 0.9952012.600.995339 0.995473 0.995604 0.995731 0.995855 0.995975 0.996093 0.996207 0.996319 0.9964272.700.996533 0.996636 0.996736 0.996833 0.996928 0.997020 0.997110 0.997197 0.997282 0.9973652.800.997445 0.997523 0.997599 0.997673 0.997744 0.997814 0.997882 0.997948 0.998012 0.9980742.900.998134 0.998193 0.998250 0.998305 0.998359 0.998411 0.998462 0.998511 0.998559 0.9986053.000.998650 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.9989993.100.999032 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.9992893.200.999313 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.9994993.300.999517 0.999534 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.9996513.400.999663 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.9997583.500.999767 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999822 0.999828 0.9998353.600.999841 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.9998883.700.999892 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.9999253.800.999928 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.9999503.900.999952 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.9999674.000.999968 0.999970 0.999971 0.999972 0.999973 0.999974 0.999975 0.999976 0.999977 0.999978α0.250.10.050.0250.010.0050.0010.0005zα 0.674490 1.281552 1.644854 1.959964 2.326348 2.575829 3.090232 3.290527zα/2 1.150349 1.644854 1.959964 2.241403 2.575829 2.807034 3.290527 3.480756Fonction de repartition de Z ⇠N0, 1: Φz =1p2⇡zR1et22 dtQuantile z↵defini par PZ z↵ = ↵avec Z ⇠N0, 1
