DS 2022 2023 GMA
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Page 1 : 2022/2023Département MathématiquesIng1-GMAProbabilités & SimulationExamen - janvier 2023◁Consignes ▷Durée : 120 mn▶Autorisé : Trois feuilles A4 recto-verso manuscrites. Calculatrices.▶Non autorisé : Tout autre document et tous les supports électroniques smart-phone, tablette,ordinateur,....- L'épreuve est composée de 5 exercices indépendants.- La table de la loi normale standard y est jointe.- Une réponse numérique donnée sous forme algébrique simpliée est acceptée sous forme d'une fractionréduite par exemple.◁Sujet de l'épreuve ▷▶On notera : v.a.r. pour variable aléatoire réelle. v.a.r.d. pour variable aléatoire réelle discrète. v.a.r.a.c. pour variable aléatoire réelle absolument continue. f.m.p. pour fonction de masse de probabilité.Exercice 1.xx ptsSoit X une v.a.r.a.c. de fonction de densité de probabilitéfXx =exsi x 00si 0 x1 Vérier que la fonction fX est bien une fonction de densité de probabilité.2 Déterminer FX, la fonction de répartition de X.3 Calculer l'espérance EX et la variance V X, de X.4 On pose Y = 2X + 1 et on admet que Y est bien une v.a.r..a Déterminer FY , la fonction de répartition de Y .b Montrer alors que Y est une v.a.r.a.c. et déterminer une fonction de densité de probabilité fYde Y .c Calculer l'espérance EY et la variance V Y , de Y .Exercice 2.xx points1
Page 2 : Une enquête a été menée auprès de ménages de 4 personnes en vue de connaître leur consommationde lait sur 1 mois. On suppose que sur l'ensemble des personnes interrogées, la consommation X suitune loi normale Nµ, σ2 avec une moyenne µ = 20 litres et un écart-type σ = 5 litres. Dans le cadred'une campagne publicitaire, on souhaite répondre aux questions suivantes :1 Quel est le pourcentage des faibles consommateurs moins de 10 litres par mois ?2 Quel est le pourcentage des grands consommateurs plus de 30 litres par mois ?3 Quelle est la consommation maximale de 50 des consommateurs ?4 Au dessus de quelle consommation se trouvent 33 des consommateurs ?Annexe. On donne les valeurs : Φ2 = 0.9772 et Φ0.44 = 0.67Exercice 3.xx pointsNotation. Pour une v.a.r.d. X, on note : pXx = PX = x.Soit Xnn1 une suite de v.a.rs discrètes telle que pour tout n 1XnΩ = 1, 0, 1et f.m.p.pXnx =12nsi x = 11 1nsi x = 012nsi x = 10sinonPour chaque cas, utiliser la dénition.1 Montrer que Xnn1 converge en loi vers 0.2 Montrer que Xnn1 converge en probabilité vers 0.3 Montrer que, pour tout r 1, Xnn1 converge en moyenne d'ordre r vers 0.Exercice 4.xx pointsD'un jeu de 32 cartes, on tire une carte, on note le résultat puis on la remet dans le paquet, on mélangele tout et on recommence cette opération n fois. On note Sn le nombre de rois obtenus parmi ces ncartes et Mn = Sn/n.1 Quelle est la loi de la v.a.r. Sn ?2 En utilisant l'inégalité de Markov, majorer PMn 14.3 En utilisant l'inégalité de Tchebychev, donner une minoration de PMn 116, 316en fonc-tion de n. Comment choisir n pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?4 Reprendre la question précédente en utilisant le Central Limit Theorem CLT.Annexe. On donne : PZ 1.64 = 0.9 si Z N0, 1Exercice 5.xx pointsSoit X une v.a.r.a.c., uniformément distribuée sur 0, 1.Soit XnnNune suite de v.a.r.a.cs ,uniformément distribuées sur 0, 1 + 1/n.Montrer que XnL→X.2
Page 3 : z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.000.500000 0.503989 0.507978 0.511966 0.515953 0.519939 0.523922 0.527903 0.531881 0.5358560.100.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555670 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.5753450.200.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.6140920.300.617911 0.621720 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.6517320.400.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.6879330.500.691462 0.694974 0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.7224050.600.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.7549030.700.758036 0.761148 0.764238 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.7852360.800.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802337 0.805105 0.807850 0.810570 0.8132670.900.815940 0.818589 0.821214 0.823814 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.8389131.000.841345 0.843752 0.846136 0.848495 0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.8621431.100.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.879000 0.881000 0.8829771.200.884930 0.886861 0.888768 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.9014751.300.903200 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.9177361.400.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.9318881.500.933193 0.934478 0.935745 0.936992 0.938220 0.939429 0.940620 0.941792 0.942947 0.9440831.600.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.9544861.700.955435 0.956367 0.957284 0.958185 0.959070 0.959941 0.960796 0.961636 0.962462 0.9632731.800.964070 0.964852 0.965620 0.966375 0.967116 0.967843 0.968557 0.969258 0.969946 0.9706211.900.971283 0.971933 0.972571 0.973197 0.973810 0.974412 0.975002 0.975581 0.976148 0.9767052.000.977250 0.977784 0.978308 0.978822 0.979325 0.979818 0.980301 0.980774 0.981237 0.9816912.100.982136 0.982571 0.982997 0.983414 0.983823 0.984222 0.984614 0.984997 0.985371 0.9857382.200.986097 0.986447 0.986791 0.987126 0.987455 0.987776 0.988089 0.988396 0.988696 0.9889892.300.989276 0.989556 0.989830 0.990097 0.990358 0.990613 0.990863 0.991106 0.991344 0.9915762.400.991802 0.992024 0.992240 0.992451 0.992656 0.992857 0.993053 0.993244 0.993431 0.9936132.500.993790 0.993963 0.994132 0.994297 0.994457 0.994614 0.994766 0.994915 0.995060 0.9952012.600.995339 0.995473 0.995604 0.995731 0.995855 0.995975 0.996093 0.996207 0.996319 0.9964272.700.996533 0.996636 0.996736 0.996833 0.996928 0.997020 0.997110 0.997197 0.997282 0.9973652.800.997445 0.997523 0.997599 0.997673 0.997744 0.997814 0.997882 0.997948 0.998012 0.9980742.900.998134 0.998193 0.998250 0.998305 0.998359 0.998411 0.998462 0.998511 0.998559 0.9986053.000.998650 0.998694 0.998736 0.998777 0.998817 0.998856 0.998893 0.998930 0.998965 0.9989993.100.999032 0.999065 0.999096 0.999126 0.999155 0.999184 0.999211 0.999238 0.999264 0.9992893.200.999313 0.999336 0.999359 0.999381 0.999402 0.999423 0.999443 0.999462 0.999481 0.9994993.300.999517 0.999534 0.999550 0.999566 0.999581 0.999596 0.999610 0.999624 0.999638 0.9996513.400.999663 0.999675 0.999687 0.999698 0.999709 0.999720 0.999730 0.999740 0.999749 0.9997583.500.999767 0.999776 0.999784 0.999792 0.999800 0.999807 0.999815 0.999822 0.999828 0.9998353.600.999841 0.999847 0.999853 0.999858 0.999864 0.999869 0.999874 0.999879 0.999883 0.9998883.700.999892 0.999896 0.999900 0.999904 0.999908 0.999912 0.999915 0.999918 0.999922 0.9999253.800.999928 0.999931 0.999933 0.999936 0.999938 0.999941 0.999943 0.999946 0.999948 0.9999503.900.999952 0.999954 0.999956 0.999958 0.999959 0.999961 0.999963 0.999964 0.999966 0.9999674.000.999968 0.999970 0.999971 0.999972 0.999973 0.999974 0.999975 0.999976 0.999977 0.999978α0.250.10.050.0250.010.0050.0010.0005zα 0.674490 1.281552 1.644854 1.959964 2.326348 2.575829 3.090232 3.290527zα/2 1.150349 1.644854 1.959964 2.241403 2.575829 2.807034 3.290527 3.480756Fonction de repartition de Z ⇠N0, 1: Φz =1p2⇡zR1et22 dtQuantile z↵defini par PZ z↵ = ↵avec Z ⇠N0, 1
