DS 2024 2025
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Page 1 : 1ere annee Ingenieurs - MathematiquesappliqueesExamen : Mesure et IntegrationDate : Mercredi 18 decembre 2024L’usage de tout appareil electronique est interditDuree : 2hNombre de pages : 2Telephones portables, calculatrice et tout document sont interdits. Les eleves sontinvites a porter une attention particuliere a la redaction. La reference des questionsdoit obligatoirement ˆetre mentionnee.♣♣♣Note : Dans tous les exercices λ designe la mesure de Lebesgue sur R, BR.Exercice 1. Soient α R, et unαnNla suite definie par :unα =ZRxα + exn110, 1x dλxDeterminer la limite de la suite unαnNen fonction de α.Exercice 2. Soit vnnNla suite definie par :vn =ZRn sin xn + 1x311, +x dλxDeterminer la limite de la suite vnnN.Exercice 3. Soit X, T , µ un espace mesure ou µ est une mesure de probabilite. On noteH =nA T ; µA = 0 ou µA = 1o1. Demontrer que H est une tribu sur X.2. A quelles conditions necessaires sur X, T , µ, la tribu H contient-elle toute partieµ-negligeable de T ? Justifier.Exercice 4. Soient X, T un espace mesurable et µ1, µ2 deux mesures positives sur X, T .On definit l’application µ : T →R+ par :A T ,µA = maxµ1A , µ2A.1. Montrer que µ est une mesure positive sur X, T .2. Montrer que µ est finie si et seulement si µn est finie pour tout n 1, 2.1
Page 2 : 3. Soit f une fonction etagee positive. Montrer queZXfdµ = max ZXfdµ1 ,ZXfdµ2!4. Soient f : X →R+ une fonction T /BR+-mesurable. Montrer queZXfdµ = max ZXfdµ1 ,ZXfdµ2!5. Soit f : X →R une fonction T /BR-mesurable et µ-integrable.a Montrer que f est µn-integrable pour tout n 1, 2.b Montrer queZXfdµ = max ZXfdµ1 ,ZXfdµ2!2
