DS1 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 1Khalid El Amine, Abdessalam El Janati, Karam Fayad, Thi Hien NguyenMatière : Algèbre linéaire et bilinéaireDate : Vendredi 15 mars 2019Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 6.5 pointsPour P R2X , on notef P = X 2 1P ′′ + 2X + 1P ′.1. Montrer que f définit un endomorphisme de R2X .2. Donner la matrice de f dans la base canonique B de R2X .3. En déduire les valeurs propres de f . On les notera λ1,λ2 et λ3 avec λ1 λ2 λ3.4. Pour i 1,2,3, trouver un polynôme non nul Pi R2X tel que f Pi = λiPi.5. Justifier que la famille C = P1,P2,P3 est une base de R2X .6. Donner la matrice de f dans la base C.7.a Montrer que Imf = vectP2,P3.b Imf et Kerf sont-ils supplémentaires dans R2X ? Justifier.Exercice 2. 4 pointsSoit a un réel. On considère la matriceA =1a + 101a131 a2.1. Vérifier que a est une valeur propre de A.2. Calculer le polynôme caractéristique de A et le factoriser.3. Discuter, suivant les valeurs de a, le rang de la matrice A a I3.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 3. 3 pointsSoit n N. On rappelle que deux matrices A et B de MnR sont dites semblables s’il existe une matriceinversible P MnR telle que A = P BP 1.1. Montrer que si deux matrices sont semblables, alors elles ont même polynôme caractéristique.2. Trouver deux matrices A et B de M2R ayant même polynôme caractéristique, mais qui ne sont passemblables.Exercice 4. 6.5 pointsSoit n 1 un entier. On rappelle que la trace d’une matrice A MnR, notée trA, est égale à la somme descoefficients diagonaux de A, et que l’application trace est linéaire.Soit A une matrice fixée de MnR telle que trA ̸= 0. On considère l’applicationf :MnR→MnRM7→trAM trM Aet on note F l’ensemble des matrices de MnR de trace nulle.1. Montrer que f est un endomorphisme de MnR.2. Montrer que la matrice A est un vecteur propre de f associé à une valeur propre α que l’ondéterminera.3. Montrer que le sous-espace propre de f associé à α est de dimension 1.4. Montrer que F est le sous-espace propre de f associé à la valeur propre trA.5. Montrer que F = Imf et déterminer la dimension de F .- 2 / 2 -
