DS1 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 1Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 12 octobre 2018Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 4 points1. L’université donne une bourse à un étudiant si, et seulement si, il est bon et pauvre. Quels sont lesétudiants qui ne reçoivent pas de bourse ?2. Les deux affirmations "ceux qui parlent ne savent pas" et "ceux qui savent ne parlent pas" signifient-elles la même chose ? Justifier.3. On dit qu’une suite réelle unn0 est convergente siL R, ϵ 0, n0 N, n N, n n0 ⇒un L ϵ.Exprimer à l’aide de quantificateurs la proposition : "la suite unn0 n’est pas convergente".4. Quel est le nombre d’éléments de l’ensemble a,▷,◦,α, ?Exercice 2. 8 pointsOn définit le « ou exclusif », noté , par la table de vérité suivante :PQP QVVFVFVFVVFFFSoit P , Q et R trois propositions.1.a Montrer que P Q ⇔P Q P Q.b Sans utiliser de table de vérité, montrer que P Q ⇔P Q P Q.2.a Simplifier les propositions suivantes :P P;P Faux;P Vrai;P Q Qb Sans utiliser de table de vérité, montrer que P Q R ⇔P Q R.3. Simplifier la proposition P Q P Q.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 3. 3 pointsSoit unnN la suite définie par :u0 = 2, u1 = 1 et pour tout entier naturel n, un+2 un+1 6un = 0.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un = 2n + 3n.Exercice 4. 5 pointsSoit A,B et C trois parties d’un ensemble E .1. Montrer l’équivalence :A B = A C ⇔A B = A C .2. Montrer l’équivalence :A B ⇔PA PB.3. Quelle relation existe-t-il entre les ensembles A B × C et A × C B × C ? Justifier.- 2 / 2 -
