DS1 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 4Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Jean-Michel MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 22 février 2019Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 4.5 pointsOn considère l’ensemble E = 1,2,3,4,5,6 muni de la loi qui est la multiplication modulo 7. Autrementdit, pour a,b E 2, a b est le reste de la division euclidienne de a b par 7.1. Écrire la table de multiplication de E , c.-à-d., reproduire et remplir le tableau suivant à l’aide de laloi a b :HHHHHHab1234561234562. Montrer que E , est un groupe abélien en précisant l’élément neutre et l’inverse de chaque élément.On admettera l’associativité.3. Parmi les sous-ensembles suivants de E , lesquels sont des sous-groupes de E ,? Justifier.a F = 1,2,4b G = 1,3,5c H = 1,2,4,6Exercice 2. 3 pointsOn considère l’ensembleA =a + i bp5, a,b Q2 et a,b ̸= 0,0.Montrer que A, muni de la multiplication des complexes, est un groupe.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 3. 9.5 pointsLe but de cet exercice est d’étudier l’ensemble des entiers d’Eisenstein noté Zj et défini parZj = a + b j, a,b Z2où j = e2iπ3 .1. Montrer que j 2 Zj.2. Montrer que Zj,+,×, où + et × sont respectivement l’addition et la multiplication des complexes,est un anneau commutatif.3. Le but de cette question est de déterminer l’ensemble UZj des éléments inversibles de Zj.On considère l’applicationf :Zj→Za + b j7→a 2 a b + b 2a Montrer que z Zj, f z = z z.b En déduire que f Zj N et que z,z ′ Zj2, f z z ′ = f zf z ′.c Soit z Zj. Montrer l’équivalence : z UZj ⇔f z = 1.d Soit a,b Z2. Justifier l’équivalence : f a + b j = 1 ⇔2a b2 + 3b 2 = 4.e En déduire l’ensemble des six éléments de UZj.4. L’ensemble UZj, muni de la multpilication des complexes, est-il un groupe? Justifier.Exercice 4. 5 pointsOn considère les deux applications f et g suivantes :f :Z→Nn7→f n =¨2nsi n 02n 1si n 0g :N→Zn7→g n =n2si n est pairn + 12si n est impair1. Montrer que f et g sont des bijections réciproques l’une de l’autre.2. On définit sur N la loi de composition interne parm,n N2, m n = f g m + g n.Montrer que N, est un groupe abélien en précisant son élément neutre et l’inverse de tout élément.On déterminera l’expression de l’inverse d’un entier n N pour la loi sans utiliser les lettres f et g .- 2 / 2 -
