DS1 2018 2019
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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 1Abdessalam El Janati, Karam Fayad, Khaoula GuezguezMatière : SériesDate : Vendredi 12 octobre 2018Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est donné à titre indicatif.Exercice 1. 4 pointsSoitXn0un une série à termes réels positifs. Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant.1. Si la suite unn0 tend vers 0, alors la sérieXn0un converge.2. Si la sérieXn0un diverge, alors la suite unn0 ne tend pas vers 0.3. Si la sérieXn0un diverge, alors la sérieXn0u2n diverge.4. Si la sérieXn0un converge, alors la sérieXn0u2n converge.Exercice 2. 5 pointsÉtudier la nature des séries numériques de terme général :1. un = cos 1n2, n 1.2. vn =2n + 12n + 5n2, n 0.3. wn = n!33n!3n, n 0.Exercice 3. 3 pointsPour n N, on poseun = n + 13n.1. Montrer que la sérieXn0un converge. On note S sa somme.2. Calculer S.Indication : On pourra trouver un réel α tel que : 13S = S α.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 8 pointsOn considère la suite réelle unn0 définie par la donnée de u0 0 et la relation :n 0, un+1 = n + 1n + 3un.1. Le but de cette question est d’étudier la nature de la sérieXn0un.Pour n 0, on posevn = lnn2unetwn = vn+1 vn.a Donner le développement limité à l’ordre 2 de wn et en déduire la nature de la sérieXn0wn.b Que peut-on dire de la suite vnn0 ? Justifier.c En déduire qu’il existe un réel L 0 que l’on ne cherchera pas à déterminer tel queun +Ln2et conclure.2. Le but de cette question est de calculer la somme de la sérieXn0un.a Déterminerlimn→+nun.b Pour n 0, on posezn = n + 1un+1 nun.CalculerlimN →+NXn=0zn.c En utilisant la question précédente et la relation de récurrence vérifiée par la suite unn0,calculer+Xn=0un en fonction de u0.- 2 / 2 -
