DS1 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 1Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Hassan Maatouk, Thi-Hien NguyenMatière : Algèbre linéaire et bilinéaireDate : Vendredi 20 mars 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Toute réponse doit être rigoureusement justifiée, et tout calcul doit être détaillé.Exercice 1.Soit a un réel. On considère la matriceA =1a + 101a13a 12.1. Déterminer le polynôme caractéristique de A et le factoriser.2.a Pour quelles valeurs de a la matrice A possède-t-elle trois valeurs propres distinctes?b Que peut-on affirmer dans ce cas? Justifier.3. Pour les valeurs suivantes de a, diagonaliser la matrice A si elle est diagonalisable. Sinon, la trigonaliser :a a = 1.b a = 2.Exercice 2.Pour P R2X , on poseϕP = X X 1P ′ 2X P.1. Montrer que ϕ définit un endomorphisme de R2X .2. Déterminer la matrice de ϕ dans la base canonique de R2X .3. Diagonaliser l’endomorphisme ϕ, c.-à-d. expliciter une base de R2X dans laquelle la matrice de ϕest diagonale.4. Montrer que R2X = Kerϕ Imϕ.Exercice 3.On considère la matriceA =1abc01de001f0001où a,b,c ,d ,e, f R6.- 1 / 2 -
Page 2 : 1. Montrer que : rgA I4 = 2 ⇔a = 0.2. De même, trouver une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c ,d ,e, f pour que rgA + I4 = 2.3. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c ,d ,e, f pour que A soit diagonalisable.Exercice 4.On considère la matriceA =3111.1. Trouver une matrice inversible P et une matrice triangulaire supérieure T telles que A = P T P 1.2. En écrivant T = αI2 + N avec α un réel à déterminer et N une matrice vérifiant N 2 = 0, calculer T npour tout entier naturel n.3. En déduire An pour tout entier naturel n.- 2 / 2 -
