DS1 2019 2020
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 1K. Fayad, K. Guezguez, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Vendredi 28 février 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 7 pointsOn considère la fraction rationnnelle :F X =16XX 4 121. Donner la forme de la décomposition en éléments simples dans RX et dans CX de la fraction F .2. Décomposer F en éléments simples dans RX puis dans CX . Indication : on pourra calculer F 2et exploiter la parité de F pour trouver des relations entre les coefficients.Exercice 2. 6 points1. Soit G , un groupe d’élément neutre e . Montrer que si x G , x 2 = e , alors G est abélien.2. Soit f : G , →H , . un morphisme de groupes. Montrer que si G1 est un sous-groupe de G alorsf G1 est un sous-groupe de H .3. Pour tout x; y 0;12, on pose :x y = x + y x ya Montrer que 0;1, est un magma commutatif et associatif.b Montrer que 0;1, possède un élément neutre.c Quels sont les éléments inversibles de 0;1,?Exercice 3. 7 pointsL’objectif de l’exercice est de montrer que les sous-groupes de Z,+ sont de la forme nZ, n N, où nZ =np p Z.1. Soit n N, montrer que nZ est un sous-groupe de Z,+.2. Soit G ̸= 0 un sous-groupe de Z,+.a Montrer que G N̸= . On note n = minG N.b Montrer que nZ G .- 1 / 2 -
Page 2 : c Soit p G . A l’aide de la division euclidienne dans Z, montrer qu’il existe q Z, tel que p = nq.Indication : montrer que le reste de la division euclidienne de p par n est nul.d Déduire que G = nZ.3. Justifier, en prenant comme exemple deux sous-groupes de Z, que la réunion de deux sous-groupesn’est pas un sous-groupe.Exercice 4. 10 pointsOn note Cl’ensemble des nombres complexes non nuls.1. Montrer que la multiplication des nombres complexes définit une structure de groupe sur C.2. Vérifier que l’ensemble R+ des nombres réels strictement positifs est un sous-groupe de C, . .3. Montrer que l’applicationf:C, . →R+, . z7→zest un morphisme de groupes.4. On note U le noyau de f .a Décrire l’ensemble U et le représenter dans le plan complexe.b Justifier que U est un sous-groupe de C, . 5. On définit sur R+ ×U la loi par,r,e iθ r ′,e iθ ′ = r r ′,e iθ+θ ′,r,e iθ ,r ′,e iθ ′ R+ ×U.a Montrer que R+ ×U, est un groupe.b Soitφ:C, . →R+ ×U,z7→z,e i argz.Montrer que φ est un isomorphisme de groupes.- 2 / 2 -
