DS1 2019 2020
Chargé de TD/CM : K. Fayad. , K. Guezguez. , N. Zoghlami. , A. ElJanati.
Le sujet contient une erreur, (exercice 4, question 4c), elle a été corrigée sur le site mais pas sur le pdf.
Correction des fautes de la correction par Rayane M. vérifiée par Mathis S.
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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 2Abdessalam El Janati, Karam Fayad, Khaoula Guezguez, Naïm ZoghlamiMatière : SériesDate : Vendredi 18 octobre 2019Appareils électroniques et documents interditsDurée : 2 heuresNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte trois exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1.SoitXn1un une séries à termes positifs et α 0.1. On suppose dans cette question queXn1un converge.a Montrer que un 1 à partir d’un certain rang.b En déduire que si α 1, alors la sérieXn1uαn converge.2. On suppose dans cette question queXn1un diverge.Montrer que si α 1, alors la sérieXn1uαn diverge.On pourra raisonner selon si la divergence est grossière ou pas.Exercice 2.Soit a,b R2 tel que a b. Le but de cet exercice est d’étudier la série numérique de terme généralun =pn2 + an + 2 pn2 + bn + 1ndéfinie à partir d’un certain rang.1. Donner le développement limité en 1n à l’ordre 1 au voisinage de +depn2 + an + 2pn2 + b n + 1.2. On suppose dans cette question que a b ̸= 2.Étudier la nature de la sérieXun.3. On suppose dans cette question que a b = 2.a Calculerlimn→+lnnun.b Que peut-on en déduire?Exercice 3.1. Montrer la convergence et calculer la somme de la sérieXn1lnn + 12nn + 2.- 1 / 2 -
Page 2 : 2. Étudier la nature de la série numériqueXn1un dans chacun des cas suivants :a un = n1n2 1b un =cos 1nn1c un = lnnn2d un =pn2 + n ne un = n!22n!Exercice 4.Soit f la fonction décroissante définie sur 1,+ par f x = 1x . Pour n N, on poseSn =nXk=1f k.1. Montrer que pour tout n N,Z n+11f x dx Sn +1 +Z n1f x dx.2. En calculant les intégrales, déduire un équivalent simple de Sn puis la nature de la sérieXn11n .3. Pour n 1, on posean = Sn lnnetbn = Sn lnn + 1.a Montrer que les deux suites ann1 et bnn1 sont adjacentes.Leur limite commune est notée γ et est applée la constante d’Euler.b Montrer queSn = lnn + γ + o1.4. Pour n N, on pose un =1n2n + 1.a Justifier que la sérieXn1un converge.b Décomposer en élément simple la fraction rationelle F X =1X 2X + 1.c Soit N N. En regroupant les entiers pairs et impairs dans la somme2N +1Xn=11N , et en utilsant lafraction rationnelle F , montrer que12NXn=11n2n + 1 = SN S2N +1 + 2.d En déduire que+Xn=11n2n + 1 = 2 2ln2.- 2 / 2 -
