DS1 2020 2021 Correction
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 1N. Arancibia, M. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B. Laquerriere, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Jeudi 22 octobre 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 heures 30 minutesNombre de pages : 3Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé. Exercice 1. Dans chacun des deux cas suivants, donner, lorsque c’est possible la négation et la contraposée.1. 0,η 0,a 0,b 0,a b η ⇒f a f b 2.u E ,f u = 0 ⇒g u = 0⇒β 0, g β f 1.— Négation :, η 0, a 0, b 0,a b η ETf a f b — Pas de contraposée, car ce n’est pas une implication.2.— Négation :u E ,f u = 0 ⇒g u = 0ETβ 0, g β f— Contraposée :β 0, g β f⇒u E ,f u = 0 ET g u = 0Exercice 2.1. Démontrer la proposition suivante :a , b , b a ⇒b 2 a 2 32. En déduire que pour tout n ,n2 + 1 n’est pas entier 1.— Première solution : b 2 a 2 = b ab +a. Or b a 0, donc dans un premier temps, b a 0,soit b a 1. Ensuite, b a 1, d’où b 2 et b + a 2+ 1 = 3. Finalement, b 2 a 2 3.— Seconde solution : b a, donc b a + 1. Par croissance de la fonction carré, nous avons b 2 a + 12 = a 2 + 2a + 1. D’où b 2 a 2 2a + 1 2 × 1+ 1 = 3.- 1 / 3 -
Page 2 : 2. Faisons un raisonnement par l’absurde et supposons qu’il existe n , tel quen2 + 1 est un entier.Posons alorsn2 + 1 = b et n = a . Alors, en passant au carré, nous avons que b 2 = n2 + 1 eta 2 = n2, d’où b 2 a 2 = 1 3. Cela contredit donc la propriété précédente.D’où n ,n2 + 1 /.Exercice 3. Soit n . Montrer que :n2 6n + 5 pair ⇒n impair Nous allons faire une démonstration par contraposée. Supposons donc que n est pair. Alors, d’après unexercice du TD, n2 est pair, d’où n2 6n est pair et enfin n2 6n + 5 impair.Exercice 4. Soit la suite xnn définie par x0 = 4 et xn+1 =2x 2n3xn+2 .1. Montrer que : n , xn 3. indication : 2x 2 3x 9 = x 32x + 3.2. En déduire que : n , xn+1 3 32xn 3.3. En déduire que : n , xn 32n + 3. 1. Faisons une démonstration par récurrence. Posons alors, pour n , P n =« xn 3 ».— Pour n = 0, nous avons x0 = 4 3. Donc P 0 est vraie.— Soit n 0 et supposons que P n est vraie. Montrons alors que P n +1 vraie c’est-à-dire xn+1 3.xn+1 3 =2x 2n 3xn + 2 3 =2x 2n 33xn + 2xn + 2=2x 2n 3xn 9xn + 2= 2xn + 3xn 3xn + 2Or par hypothèse de récurrence, xn 3, donc xn +2 0. De même, le numérateur est strictementpositif. Ainsi xn+1 3.— Par récurrence, nous avons montré que pour tout n , xn 3.2. La raisonnement est direct :xn+1 3 32xn 3 = 2xn + 3xn 3xn + 232xn 3 = xn 322xn + 3 3xn + 2xn + 2= xnxn 32xn + 2Tous les facteurs étant strictement positifs, on en déduit que xn+1 3 32xn 3.3. Nous allons à nouveau faire une démonstration par récurrence. Posons pour n , P n =« xn 32n + 3 ».— Pour n = 0, nous avons x0 = 4 et 320 + 3 = 1 + 3 = 4. Donc P 0 est vraie.— Soit n 0 et supposons que P n est vraie. Montrons alors que P n + 1 est vraie c’est-à-direxn+1 32n+1 + 3. En utilisant le résultat précédent et l’hypothèse de récurence, nous avons :xn+1 3 32xn 3 3232n=32n+1Donc P n + 1 est vraie.— Par récurrence, nous avons montré que pour tout n , xn 32n + 3.- 2 / 3 -
Page 3 : Exercice 5. Soit A, B, C , D quatre ensembles. Quelle relation existe-t-il entre A × C B × D et A B ×C D ? Soit x = x1, x2 A × C B × D . Deux cas possibles :— Si x A × C , alors x1 A A B et x2 C C D .— Sinon, x B × D , et dans ce cas x1 B A B et x2 D C D .Dans les deux cas, x A B × C D .Un schémas permet de voir qu’il n’y a pas inclusion réciproque. Par exemple dans : A = C = 1;3 etB = D = 4;6. Alors 5 B A B et 2 C C D . Ainsi 5,2 A B× C D . Pourtant 5 /A, donc5,2 /A × C , et 2 /D , donc 5,2 /B × D . Donc 5,2 /A × C B × D .- 3 / 3 -
