DS1 2020 2021 V2
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Page 1 : Corrigé du DM11. Exercice 1Résoudre, dans , l'inéquation :R2x + 3 ⩾x + 4Réponse :Pour traiter cette inéquation, il faut enlever les valeurs absolues et donc déterminer le signe des expressions à l'intérieur. Un tableau de signes s'impose : x--4 -+ 322x + 3- 2x + 3- 2x + 32x + 3x + 4- x + 4x + 4x + 4Nous devons donc résoudre 3 inéquations :• Sur , .I =- , - 41-2x - 3 ⩾-x - 4 ⟺-x ⩾-1 ⟺x ⩽1La solution est donc .S = I =- , - 411• Sur , .I =- 4, -132-2x - 3 ⩾x + 4 ⟺-3x ⩾7 ⟺x ⩽-73La solution est donc .S =- 4, -273• Sur , .I =-, + 1322x + 3 ⩾x + 4 ⟺x ⩾1 La solution est donc .S = 1, +3Finalement la solution générale est : S = S S S =- , -1, +12373AUTRE METHODE2x + 3 ⩾x + 4les 2 membres de l'inégalité sont positifs, donc on peut éléver au carré2x + 3 ⩾x + 4⟺2x + 3⩾x + 42222⟺ 4x + 12x + 9 ⩾x + 8x + 1622⟺ 3x + 4x - 7 ⩾02Il faut chercher où est ce que ce trinôme est positif. Pour déterminer son signe, il faut trouver ses racines : 3x + 4x - 7 = 02 et les deux racines sont : 𝛥= 4 + 4 × 3 × 7 = 1002x ===1-4 - 106-146-73et .x === 12-4 + 10666Ce trinôme est positif signe de à l'extérieur des racines. Donc : aCorrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor1 sur 1206/11/2020 à 14:27
Page 2 : Corrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor2 sur 1206/11/2020 à 14:27
Page 3 : S =- , -1, +732. Exercice 2Résoudre, dans , l'équation :R2xx +x = 3xxtan sin2 tan tan sin Réponse :Il faut d'abord préciser l'ensemble de définition. C'est celui de la tangente, c'est à dire : .D = R ⧵+ k𝜋, k Zf𝜋2Il faut ensuite tout passer à gauche et factoriser : x2x + 1 - 3x= 0tan sin2 sin ou ⟺x = 0tan 2x - 3x + 1 = 0sin2 sin • . Ce qui donne x = 0 =0⟺x = 0 + k𝜋tan tan S = k𝜋, k Z1• se résout en posant ,2x - 3x + 1 = 0sin2 sin X =xsin a pour solutions : et .2X - 3X + 1 = 02X =112X = 12• x ==⟺⟺sin 12sin 𝜋6x =+ 2k𝜋,𝜋6k Zoux = 𝜋-+ 2k𝜋,𝜋6k Zx =+ 2k𝜋,𝜋6k Zoux =+ 2k𝜋,5𝜋6k ZCe qui donne : S =+ 2k𝜋,+ 2k𝜋, k Z2𝜋65𝜋6• x = 1 =⟺⟺x =+ 2k𝜋, k Zsin sin 𝜋2x =+ 2k𝜋,𝜋2k Zoux = 𝜋-+ 2k𝜋,𝜋2k Z𝜋2Problème : n'appartient pas au domaine de définition.+ 2k𝜋𝜋2Donc : S = 3Finalement la solution générale est : S = S S S =k𝜋, k Z+ 2k𝜋,+ 2k𝜋, k Z123𝜋65𝜋63. Exercice 3Calculer les sommes suivantes :Corrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor3 sur 1206/11/2020 à 14:27
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Page 5 : 1. somme des termes successifs d'une suite S =3=3=9=1nk=02knk=02 knk=0kgéométrique de raison 9.S ===9- 111 - 91 - 9n+11 - 9-8n+118n+12. binôme de Newton avec S =3=9 =9 1=2nk=0nk2knk=0nkknk=0nkkn-k.a = 9, b = 1S = 9 + 1= 102nn3. somme télescopique.S ==k -k - 1=3nk=2lnkk - 1nk=2ln lnS =n -2 - 1 =n3ln lnln 4. Exercie 4On définit, sur , la fonction : Rf x = E 2x - 2E x où désigne la partie entière du réel E x x.1. Montrer que : .x R, E x + 1 = E x + 1 2. Montrer que la fonction est périodique périodique de période .f1 -13. Calculer pour , puis pour .f x x 0;12; 1124. En déduire les seules valeurs prises par f.Réponse :1- Si on note , on sait que : et .p = E x p Z,p ⩽x p + 1on en déduit : et bien évidemment p + 1 ⩽x + 1 p + 2p + 1 Z.Conclusion : E x + 1 = p + 1 = E x + 1 2- Le résultat de la question précédente appliqué à donne : .x + 1E x + 2 = E x + 2 f x + 1 = E 2 x + 1- 2E x + 1 = E 2x + 2 - 2 E x + 1 = E 2x + 2 - 2E x - 2 f x + 1 = E 2x - 2E x = f x Donc est périodique de période .f13- Que ce soit pour le cas ou pour , on a toujours , donc : x 0;12x ; 1120 ⩽x 1E x = 0 Corrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor5 sur 1206/11/2020 à 14:27
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Page 7 : • Si et x 0;, 0 ⩽x ⟹ 0 ⩽2x 1 ⟹E 2x = 01212E x = 0 Donc .f x = E 2x - 2E x = 0 • Si et x ; 1 ,⩽x 1 ⟹ 1 ⩽2x 2 ⟹E 2x = 11212E x = 0 Donc .f x = E 2x - 2E x = 1 4- Sur l'intervalle , la fonction ne prend que deux valeurs : et .0; 1f01Comme cet intervalle a la longueur d'une période, ne prendra pas d'autre valeurs sur .fRLes seules valeurs que prend sont : et f015. Exercice 5Pour les deux ensembles qui suivent, on vous demande de préciser si l'ensemble est majoré, minoré, de déterminer, si elles existent les bornes supérieures et inférieures ainsi que le plus grand et le plus petit élément.1. A = x R, x ⩾3 .2. B =, n N .2n + 1n + 1Réponse :1-.A = x R, x ⩾3 ou x ⩾3 ⟺x ⩽-3x ⩾3A =- , - 3 3; + n'est ni moinoré, ni majoré. Il ne possède donc ni borne inf. ni borne sup.APas de min. ni de max non plus.2- B =, n N2n + 1n + 1• En calculant les premiers termes : 1 ;;;;......325374et en tenant compte de la limite de cette suite : , on peut conjecturer que ℓ= 2Best minorée par et majorée par . Montrons le !!12• Pour tout , on a : n N- 1 ==⩾02n + 1n + 12n + 1 - n + 1n + 1nn + 1Donc : .⩾12n + 1n + 1 est bien un minorant de .1BCorrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor7 sur 1206/11/2020 à 14:27
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Page 9 : • De même, on a : - 2 ==⩽02n + 1n + 12n + 1 - 2 n + 1n + 1-1n + 1Donc : .⩽22n + 1n + 1 est bien un majorant de .2B• est donc une partie non vide minorée et majorée. Donc et BInf B Sup B existent.• est un minorant de et est un élément de .1B1 = 2 × 0 + 10 + 1BConclusion : .1 = Min B = Inf B • Montrons que : !!2 = Sup B Utilisons la caractérisation par des , à savoir : 𝜖2 = Sup B⟺ 2 Best un majorant de 𝜖 0, 2 - 𝜖 Bn'est pas un majorant de⟺2 Best un majorant de 𝜖 0, x B, x 2 - 𝜖On sait déjà que .2 Best un majorant de Soit maintenant , peut-on trouver un tel que ??𝜖 0x Bx 2 - 𝜖cela revient à chercher un entier naturel vérifiant : nx = 2 - 𝜖2n + 1n + 1 2 - 𝜖 ⟺- 2 - 𝜖 ⟺ - 𝜖2n + 1n + 12n + 1n + 1-1n + 1⟺ 𝜖 ⟺n + 1 ⟺n - 11n + 11𝜖1𝜖Comme est archinémdien, on est sûr que : Rn N, n - 1 ⟺n N, 2 - 𝜖 1𝜖2n + 1n + 1⟺x B, x = 2 - 𝜖2n + 1n + 1On a ainsi montré que : .𝜖 0, x B, x 2 - 𝜖Conclusion : 2 = Sup B . Maintenant : car ne peut pas s'annuler.2 B- 2 =2n + 1n + 1-1n + 1On en déduit que n'existe pas.Max B Corrigé DM1 analysehttps://www.mathcha.io/editor9 sur 1206/11/2020 à 14:27
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