DS1 2020 2021 V3
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Page 1 : Corrigé DS1Exercice 1 :Résoudre l'inéquation : .⩾x - 12x - 82D =- , - 2 2, +f• Sur , on a : - , - 2x ⩽-2 ⟹x - 1 ⩽-3 ⩽0 ⩽2x - 82Tous les éléments de sont solution.S =- , - 21• Sur :2, +On élève au carré : 2x - 8 ⩾x - 2x + 1 ⟺ x + 2x - 9 ⩾0222racines : et , donc -1 -10-1 +10S = -1 +, + 210S =- , - 2 -1 +, + 10Exercice 2 :Résoudre les 2 équations suivantes : 1. 2x + 9x + 4 = 0cos2 cos a pour solutions : et 2x + 9x + 4 = 02-12-4 -1x = -=⟺cos 12cos 2𝜋3x =+ 2k𝜋,2𝜋3k Zoux = -+ 2k𝜋,2𝜋3k Z2. 2x += -xsin𝜋4sin 2x += -x=-x⟺sin𝜋4sin sin2x += - x + 2k𝜋,𝜋4k Zou2x += 𝜋- -x + 2k𝜋,𝜋4k Z⟺⟺3x = -+ 2k𝜋,𝜋4k Zoux = 𝜋-+ 2k𝜋,𝜋4k Zx = -+,𝜋122k𝜋3k Zoux =+ 2k𝜋,3𝜋4k ZExercice 3 :On considère la fonction : , où désigne la partie entière de .f x = E x2E x - 1 E x x1. Justifier que est définie sur tout entier.fR
Page 2 : impossible car 2E x - 1 = 0 ⟺E x = 12E x Z. 2. Donner l'expression de lorsque .f x x Zx Z ⟹E x = x ⟹f x == E x2E x - 1 x2x - 13. Déterminer, s'il en existe, tous les antécédents de . 1On vous demande donc de résoudre : f x = 1 f x = 1 ⟺= 1 ⟺ E x = 2E x - 1 ⟺ E x = 1 E x2E x - 1 Donc x 1, 24. Même question pour .-3f x = - 3 ⟺= - 3 ⟺ E x = - 6E x + 3 ⟺ 7E x = 3 E x2E x - 1 impossible !! Donc il n'y a pas d'antécédent pour ⟺ E x = 73-3.Exercice 4 :Calculer les sommes ou produits suivants : 1. S =21nk=02k+1S =2= S = 24 = 21nk=02k+11nk=0k1 - 41 - 4n+12. S =2nk=0-12kknkS ==1= 1 +=2nk=0nk-12knk=0nk-12kn-k-12n12n3. P =2nk=2k - 2k + 1k22P =2=2= 2nk=2k - 2k + 1k22nk=2nk=2k - 2k + 1k22n-2+1 nk=2k - 1k22P = 2=n-1 2 - 1n222nn-12Exercice 5 : Pour les deux ensembles qui suivent, on vous demande de préciser si l'ensemble est majoré,
Page 3 : minoré, de déterminer, si elles existent les bornes supérieures et inférieures ainsi que le plus grand et le plus petit élément.1. A =x R,.x - 2 2x - 3x + 2 ⩾02⟺x - 2 2x - 3x + 2 ⩾020 x 4x ⩽1 x ⩾2ou Donc A = 0, 1 2, 4 et Inf A = 0 Sup A = 4 Pas de Min ni de Max.2. B =, n N.22 - 1nn• et = 1 + 122 - 1nn12 - 1n2 - 1 ⩾1 ⟹⩽1 ⟹ 1 +⩽2n12 - 1n12 - 1n est minorée par et majorée par B12• 2 B ⟹ 2 = Max B = Sup B • 𝜖 0, n N , 2 - 1 ⟹ 𝜖⟹1 + 1 + 𝜖n1𝜖12 - 1n12 - 1nDonc 𝜖 0, x B, x 1 + 𝜖.• et n'existe pas.1 = Inf B 1 B ⟹ Min B Exercice 6 : Soient et deux parties bornées de . Démontrer les propositions suivantes : ABR1. .A B ⟹Sup A ⩽Sup B est un majorant de .x A, x B ⟹x A, x ⩽Sup B⟹Sup B ADonc Sup A ⩽Sup B . 2. Sup A B = Max Sup A , Sup B . • x A B, x A ou x B ⟹x A B, x ⩽Sup A ou x ⩽Sup B ⟹x A B, x ⩽Max Sup A , Sup B . est donc un majorant de , par conséquent : Max Sup A , Sup B A BSup A B ⩽Max Sup A , Sup B • D'un autre côté, en utilisant la première question, on peut dire : A A B ⟹Sup A ⩽Sup A B , et par suite : B A B ⟹Sup B ⩽Sup A B Max Sup A , Sup B⩽Sup A B d'où l'égalité souhaitée.
