DS1 2020 2021
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 1N. Arancibia, M. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B. Laquerriere, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Jeudi 22 octobre 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 heures 30 minutesNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte six exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Le barème est purement indicatif et pourra être modifié.Exercice 1 4 points. Dans chacun des deux cas suivants, donner, lorsque c’est possible la négation et lacontraposée.1.ϵ 0,η 0,a 0,b 0,a b η ⇒f a f b ϵ2.u E ,f u = 0 ⇒g u = 0⇒β 0, g β fExercice 2 3.5 points.1. Démontrer la proposition suivante :a N, b N, b a ⇒b 2 a 2 32. En déduire que pour tout n N,pn2 + 1 n’est pas entierExercice 3 1.5 points. Soit n Z. Montrer que :n2 6n + 5 pair ⇒n impairExercice 4 7 points. Soit la suite xnnN définie par x0 = 4 et xn+1 =2x 2n3xn+2 .1. Montrer que : n N, xn 3. indication : 2x 2 3x 9 = x 32x + 3.2. En déduire que : n N, xn+1 3 32xn 3.3. En déduire que : n N, xn 32n + 3.Exercice 5 4 points. Soit A, B, C , D quatre ensembles. Quelle relation existe-t-il entre A ×C B ×D etA B × C D ?Exercice 6 6 points. Nous donnons ou rappelons la définition de la différence symétrique :Soit A et B deux ensembles. On appelle différence symétrique de A et B notée AB l’ensemble :AB = A B \ A BOn admet l’égalité suivante démontrée en TD : ABC = ABC .1. Justifier que AB = BA2.a Justifier que AB = A B A Bb Justifier que AB = A B A B3. Déterminer :- 1 / 2 -
Page 2 : a AAb A;c AE où A E d ABB4. Simplifier : ABA B.- 2 / 2 -
