DS1 2020 2021
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeDevoir surveillé 4M. Bahtiti, K. Guezguez, A. Hajej, B. Laquerriere, J.-M. MasereelMatière : AlgèbreDate : Jeudi 11 mars 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 heures 30 minutesNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte cinq exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 Groupes : 3 points.1. Montrer que U,× est groupe.2. A = 2k / k Z,+ et B = 2k + 1 / k Z,+ sont-ils des sous-groupes de Z,+?3. C =ap2 + bπ / a,b Z,+est-il un sous-groupe de R,+?4. Soit R2 muni de la loi définie par :a,b a ′,b ′ = a 2a ′,b + 3b ′R2, est-il un groupe?Exercice 2 Groupes et Morphismes : 4 points. Soit G , et G ′, deux groupes, et soit f un morphismede groupes de G , dans G ′,.1. Si e est l’élément neutre de G , et e ′ est l’élément neutre de G ′, montrer que f e = e ′.2. Montrer que pour tout x de G , f x1 = f x 1.3. Soit H un sous-groupe de G . Montrer que f H est un sous-groupe de G ′.4. Montrer que Kerf est un sous-groupe de G ,Exercice 3 Groupes et Morphismes : 3 points.Soit la loi de composition interne définie sur R par :x, y R2, x y =x 3 + y 3 131. Montrer que R, est un groupe commutatif.2. Montrer que f : R,+ →R, définie par f x = x13 est un isomorphisme de groupes.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4 Groupes et Morphismes : 11 points.Partie A : Soit α un nombre complexe non nul vérifiant α2 = α 1 on ne demande pas de calculer α.1.a Montrer que α3 = 1.b Soit k N. Calculer, α3k, α3k+1 et α3k+2 en fonction de α.c En déduire αn pour tout n N.d Soit p Z, déterminer αp en fonction de α et de p.2.a Montrer que H = n Z / αn = 1 est un sous groupe de Z;+.b Montrer que H = 6Z = 6z / z Z.3. Déterminer le plus petit sous-groupe G , de C, contenant α.Partie B : Soit β C, on note ϕβ l’application :ϕβ :Z→Cn7→β n1. Montrer que pour tout β C, ϕβ est une morphisme de groupe.2. Soit α le nombre complexe défini dans la partie A.a Montrer que Kerϕα = H .b Montrer que Imϕα = G .c L’application ϕα est-elle injective? surjective?3. À quelles conditions sur β, l’application ϕβ est injective?Exercice 5 Systèmes linéaires : 3 points.Ayant à résoudre le système linéaire suivant :2x + 7y + z=1E12x + 3y 5z=4E24x + 3y + z=5E3un étudiant démarre ainsi :j’éliminex en retranchant E2 de E1 : 4y + 6z = 3j’éliminey en retranchant E3 de E2 : 6x 6z = 1j’éliminez en retranchant E1 de E3 : 6x 4y = 41. Le système ainsi obtenu est-il équivalent au système initial?2. Résoudre le système initial par la méthode de Gauss.- 2 / 2 -
