DS1 2020 2021
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Page 1 : Exercice 1 : questions de cours 5.25 pointsPartie 1 : définitions 2.25 points1. Soit E un R-espace vectoriel et N une application de E dans N. Sousquelles conditions N est-elle une norme sur E. 0.75 point2. Donner la définition d’un ouvert. 0.5 point3. Soit E, N un espace vectoriel normé et A E.a Donner la définition de l’intérieur de A, noté◦A. 0.5b Donner la définition de l’adhérence de A, noté A. 0.5Partie 2 : démonstrations de cours 3 pointsSoit E, · un espace vectoriel normé. Soient A et B deux ensembles de E.Montrer que1. A B = A B 2 points2. A B A B 1 pointExercice 2 : Norme sur l’espace des fonctions 10.25pointsOn note E le R-espace vectoriel des applications f de 0, 1 dans R de classe C1sur 0, 1 et telles que f0 = 0. Pour f E, on définit les deux applicationssuivantesNf = supx0,1fx + supx0,1f′xνf = supx0,1fx + f′x1. Les applications N et ν sont-elles des normes sur E ? 4.5 points2. On introduit maintenant la fonction gx = exfx.a Montrer que f, x 0, 1, g′x eνf. 0.5 pointb Montrer que f, x 0, 1, gx eνf. 1 pointc En déduire que fx eνf et f′x 1 + eνf. 2 points1
Page 2 : 3. Trouver alors α 0 et β 0 tels queανf Nf βνf2 points4. Que peut on déduire des applications N et ν ? 0.25 pointExercice 3 : Ouvert, fermé, adhérence et intérieur 5pointsPour les ensembles suivants montrer s’ils sont des ouverts, des fermées ouaucun des deux et déterminer leur adhérent et leur intérieur1. On considère l’ensemble U1 = A B oùA =x, y R2 / 0 x 1 et y 1 xB =x, y R2 / 1 x 0 et y 1 + x1.5 points2.U2 =x, y R2 / 12x2 + 3y2 12 points3.U3 = , 0 1, 13, 671.5 pointsExercice 4 : Limite de fonction 4.5 pointsDéterminer la limite des fonctions suivantes1. en 0,0 def1x, y = x3 + y3x2 + y40.5 point2. en 0,0 def2x, y =x3y2x6 + y40.5 point2
Page 3 : 3. en 0,0 def3x, y =x2 + y21 ex2+y21 point4. en 0,0,0,0 def4x, y, u, v = x3 + y3 12u3 v3x3 + y21 point5. en 0,0 def5x, y =px2 + y2xpy + ypxIndication : on montrera que xpy+ypx 2maxx, y3/2.1.5 points3
