DS1 2020 2021
Télécharger le DS1 2020 2021 en pdf
Page 1 : DS 4Exercice 1 : 3ptsSoit la fonction définie sur par :f1, 5 5, +fx =- 2x - 5x - 11. Montrer que l'on peut prolonger par continuité en , en posant : f5f 5 =. 142. Déterminer, si elle existe, la dérivée de en , c'est à dire .f5f' 5 Correction : 1. .fx ====- 2x - 5x - 1- 2+ 2x - 5+ 2x - 1x - 1x - 1x - 1 - 4x - 5+ 2x - 11+ 2x - 1On en déduit : .f x =f x ==limx5→ limx5→ + 2x - 14On peut donc prolonger par continuité en en posant : f5f 5 =. 142. ====f x - f 5x - 5 -x - 51+2x - 114x - 54-+24+2x - 1x - 1x - 52-4+2x - 1x - 12 -4+ 2x - 5x - 1x - 1==×=× f xf x - f 5x - 5 -- 24+ 2x - 5x - 1x - 1-14+ 2x - 1- 2x - 5x - 1-14+ 2x - 1 .=×f x - f 5x - 5 4+ 2x - 1+ 2x - 1Par suite : .=×==limx5→f x - f 5x - 5 limx5→-14+ 2x - 11+ 2x - 1-14 × 4 × 4-164Conclusion : est dérivable en et .f5f' 5 = -164Exercice 2 : 4,5pt1. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un fintervalle I.11-11
Page 2 : 2. Soit une fonction continue . f : RR+ →+On suppose que : et on veut montrer que possède un point fixe, = ℓ 1limx+→fxxfc'est à dire : c R , f c = c.+ a Supposer , conclure. f0 = 0b Justifier l'existence de .b R⁺, 1f bb c Supposer , calculer , puis conclure. f0 0limx0→+fxxCorrection : 1. Voir cours2. a on peut prendre .f 0 = 0 ⟹ c = 0b.= ℓ 1 ⟺𝜖 0, A 0, x A, f x - ℓ 𝜖limx+→fxx Il suffit alors de choisir et de prendre , pour avoir : 𝜖= 1 - ℓ2b = A + 1 ℓ+ 𝜖= 1f bb 1 + ℓ2c Si alors car f 0 0, f 0 0 f : RR .+ →+Par conséquent : = + .limx0→+fxxOn peut donc trouver au voisinage de tel que .a0 1f aa Il suffit pour cela de choisir dans la définition de la limite et de prendre avec A = 1a 0, 𝛼 donné par cette limite.𝛼Nous avons donc : définie et continue sur avec et g : x ↦f xx 0, + g a 1 .g b 1 Le TVI, appliqué à , implique .gc a, b , g c = 1 ⟺f c = c Exercice 3 : 4ptsSoit une fonction continue telle que : et f : a, bR →f x = ℓRlimxa→ 1.f x = ℓRlimxb→ 21. Montrer que est bornée.f2. possède-t-elle forcément un maximum ? un minimum ?fCorrection :
Page 3 : 1. .f x = ℓ⟺𝜖 0, 𝛼 0, x a, b , x - a 𝛼 ⟹f x - ℓ 𝜖limxa→ 1 1Nous pouvons donc borner par et sur l'intervalle . Par exemple fℓ- 𝜖1ℓ+ 𝜖1a, a + 𝛼avec 𝜖= 1De la même manière, nous pouvons borner par et sur l'intervalle .fℓ- 𝜖2ℓ+ 𝜖2b - 𝛼, bIl restera, peut-être un intervalle qui est un segment, et sur lequel est a + 𝛼 , b - 𝛼fégalement bornée par le théorème sur l'image d'un segment par une fonction continue.Finalement, est bornée sur , sur et sur .fa, a + 𝛼a + 𝛼 , b - 𝛼b - 𝛼, bConclusion : est bornée sur .fa, b2. ne possède pas forcément de ni de .fMinMaxPrenons, par exemple, et . vérifie bien toutes les hypothèses de la f x = x a, b = 0, 1 fquestion 1. Mais elle ne possède ni ni .MinMaxEn effet, et , mais ni , ni ne sont des valeurs prises sur .Inf f x = 0 Sup f x = 1 010, 1Exercice 4 : 5,5ptOn considère la fonction définie sur par : fRf x = 1. Montrer que est continue et strictement décroissante sur .fR2. Justifier l'existence et la continuité de et préciser son sens de variations.f-13. Déterminer l'expression détaillée de pour tout réel fx-1 x.Correction : 1. est continue pour car composée de fonctions continues et strictement fx 0décroissante car composée d'une strictt croissante et d'une strictt décroissante.lnPour , est continue comme polynôme et strictt décroissante car ce trinôme l'est pour x ⩾0 f.x ⩾-1De plus continue sur et strictt décroissante. f x = - 1 =f x⟹flimx0→- limx0→+ R2. continue et strictt décroissante réalise donc une bijection de vers .fRf R = R En effet : et .f x = + limx-→ f x = - limx+→ possède donc une réciproque : .ff: RR-1→De plus a le même sens de variations que donc strictt décroissante. f-1f3. On sait que : et que .f- , 0=- 1, + f 0, +=- , - 1- xln 1ex 0si-x - 2x - 12x ⩾0si
Page 4 : • Si , .y - 1, + y = f x⟺y =- x⟺x =- e = fy ln 1e1ey-1 • Si , y - , - 1 y = f x⟺y = - x - 2x - 1 ⟺y = - x + 1 ² 2.⟺x + 1 = ±⟺x = - 1 += fy-y-y-1 Finalement : fx =-1 Exercice 5 : 3pts On considère la fonction : , définie par : .f : 0, + R →f x = exxe1. Etudier les variations de .f2. Comparer, sans calculatrice, les nombres et .e𝜋𝜋eCorrection : 1. fonction continue et dérivable sur .f x = exxe0, + f' x ==. x e - exexe xe-1 xe 2xex - exe-1 xe 2 a le même signe que , donc négatif sur et positif sur .f'x - e0, ee, + possède donc un minimum en et ce minimum vaut .fx = ef e = 1 2. On a vu que : .x 0, + , f x ⩾f e = 1 En particulier, pour , on a : x = 𝜋f 𝜋⩾1 ⟺⩾1 ⟺e⩾𝜋. e𝜋𝜋e𝜋e-1 +-xx ⩽- 1si- e1exx - 1si
