DS1 2020 2021
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Page 1 : Département de MathématiquesPrépa 2 - Intégration et probabilités18 Mars 20211h30DS1 - Intégration et probabilitésConsignes• Appareils électroniques et documents interdits• Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.• Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1 : 5 points Étudier la nature des intégrales suivantes et donner, si cela a un sens, lavaleur de l’intégrale.1.Z +0et dt.2.Z +1dtt + 2t + 3.3.Z +1dttα , où α R.4.Z 10dttα , où α R.Solution 11. Pas de problème en 0. En +, on a limt→+t2et = 0. Donc l’intégrale converge.Soit A 0, on aZ +0et dt =limA→+Z A0et dt. Or,Z A0et dt = etA0 = 1 eA →A→+1.2. Pas de problème en 1. En +, on sait que1t+2t+3 1t2 intégrale de Riemann qui convergecar α = 2 1.Par une décomposition en éléments simples, on obtientZ +11t + 2t + 3 dt=Z +1dtt + 2 Z +1dtt + 3=lnt + 2 lnt + 3+1 =limA→+lnt + 2t + 3A1 = ln1/2 = ln2.3. Intégrale de Riemann qui converge lorsque α 1 voir le cours.4. Intégrale de Riemann qui converge lorsque α 1 voir le cours.Exercice 2 : 4 points Déterminer les valeurs de α pour lesquelles les intégrales suivantes convergent :1. Iα =R +01tαt+1 dt ;2. Jα =R +edxxlnxα ;1
Page 2 : Solution 21. En 0,1tαt+1 1tα. Donc, α 1.En +,1tαt+1 1tα+1. Donc α + 1 1 ce qui implique que α 0.Au final, Iα converge si α 0; 1.2. Fonction de Bertrand, il faut que α 1 voir le cours pour les calculs. Il faut que les étudiantsfassent les calculs !Exercice 3 : 6.5 points Pour n N, soit In =Z +0fnt dt avec fnt =et1 + tn.1. Montrer que pour tout n N, l’intégrale In converge.2. Calculer I0.3. Etudier le sens de variation de la suite InnN et en déduire qu’elle converge vers une limitefinie ℓR.4. Montrer que pour tout n 2, In = 1 In1n 1 .5. En déduire la valeur de ℓ, puis un équivalent de In quand n tend vers +.Solution 3 Soit n N.1. La fonction t 7→et1+tn est continue sur 0; +.t 00 fnt etetR +0et dt = 1 converge. Donc,R +0fnt dt converge.2. I0 =R +0f0t dt =R +0et dt = 1.3. Soit n N, t 0, on a0 et1 + tn+1 et1 + tn,donc 0 In+1 In. La suite In est donc décroissante. Elle est de plus minorée par 0, elle estdonc convergente. On note ℓsa limite.4. Soit n 2. Soit A 0Z A0et1 + tn dt =zIPP1n 1et1 + tn1A0+1n 1Z A0et1 + tn1 dt.Quand A tend vers +, on obtient In =1n1 1n1In1.5. Commelimn→+In = l R+,limn→+1n1In1 = 0, et donclimn→+In = 0. On an 1In = 1 In1,donclimn→+n 1In = 1, et donc Inn→+1n1n→+1n.Exercice 4 : 5 points1. Soit f la fonction définie par fx, y = x + y. CalculerRRD fx, y dx dy où D est le triangle desommets O, A1, 0 et B0, 1.2
Page 3 : 2. Soit f la fonction définie par fx, y =1x2+y2. Calculer en utilisant les coordonnées polairesRRD fx, y dx dy où D est la couronne limitée par les cercles de centre O et de rayons respectifsa et b 0 a b.Solution 41. On aZZDfx, y dx dy=Z x=1x=0Z y=x+1y=0x + y dydx=Z x=1x=0xy + y22y=x+1y=0dx =Z x=1x=0xx + 1 + 1 x22dx=Z x=1x=0x22 + 12 dx =x36 + 12x10= 16 + 12 = 13.Figure 1 – Le domaine D.2. En utilisant les coordonnées polaires x = r cosθy = r sinθon obtientZZDfx, y dx dy=Z 2π0Z ba1x2 + y2 dx dy=Z 2π0Z ba1r2r drdθ =Z 2π0lnrba dθ=Z 2π0lnab dθ = 2π lnba.3
Page 4 : Figure 2 – Le domaine D.4
