DS1 2020 2021
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Page 1 : Cycle préparatoire 2ème annéeDevoir surveillé 1Abdessalam El Janati, Khaoula Guezguez, Ahmed HajejMatière : SériesDate : Jeudi 5 novembre 2020Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 h 30 minNombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision des justifications.Le sujet comporte quatre exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1. 4 pointsPréciser la nature de chacune des séries suivantes :1Xn⩾1n sin 1n2Xn⩾11pnn + lnn3Xn⩾21n lnn4Xn⩾1e 1 + 1nnExercice 2. 3 pointsSoitXn⩾0un une série à termes réels strictement positifs. Les affirmations suivantes sont elles vraies ou fausses?1. Les séries de terme génral un et pun respectivement sont de même nature.2. Les séries de terme général un et ln1 + un respectivement sont de même nature.Justifier vos réponses : si l’affrmation est vraie, en donner une démonstration et si elle est fausse, produireun contre-exemple.Exercice 3. 3.5 pointsOn considère la suite définie pour tout entier naturel n ⩾2, par un =nn212 .1. Etudier la convergence de la série numériqueXn⩾2un.2. Décomposer le terme général un en fonction de1n+12 et1n12 .3. En déduire la somme de la sérieXn⩾2un.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 5 pointsOn considère la fonctionF:3,+→Rx7→lnln x1. Déterminerlimx→+F x. Quelle est la dérivée f de F ? Montrer que f est décroissante et positive sur3,+.2. On considère la sérieXn⩾31n lnn . SoitSN la somme partielle d’ordre N . EncadrerSN par deux intégrales.3. En déduire un équivalent de SN .Exercice 5. 5.5 pointsSoit a et b deux réels. On considère la série nmérique :Xn⩾1lnn + a lnn + 1 + b lnn + 21. Donner un développement asymptotique du terme général de cette série sous la forme :lnn + a lnn + 1 + b lnn + 2 = αlnn + βn + γn2 + o 1n2,où α,β,γ sont des réels à déterminer en fonction de a et de b .2. En déduire les valeurs de a et de b pour que la série converge.3. Pour ces valeurs de a et de b , calculer alors SN =NXn=1lnn + a lnn + 1 + b lnn + 2.4. En déduire la somme de la série.- 2 / 2 -
