DS1 2021 2022 V2 Correction
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Page 1 : Cycle préparatoire 1ère annéeCorection du Devoir Surveillé 1Matière : AlgèbreDate : Jeudi 28 octobre 2021Appareils électroniques et documents interditsDurée : 1 h 30 minNombre de pages : 2Exercice 1. 3.5 points1. 0.5 point B \ A =3;61 point Ac =3;8,B C =5;6,Ac B C =3;81 point AB = A B \ A B = 0;6\1;3 = 0;13;62. A1 = 0;1,A2 = 1,3,A3 =3;8Exercice 2. 3 pointsLes deux propositions ont la même table de vérité.PQRP QP Q ⇒RP ⇒RQ ⇒RP ⇒R Q ⇒RVVVVVVVVVVFVFFFFVFVVVVVVVFFVFFVFFVVVVVVVFVFVFVFFFFVFVVVVFFFFVVVVExercice 3. 3 points1. 1 point La négation est :x R, f x 0 et 3 x ou 7 x2.a 1 pointsx R, f x ̸= 0 et x R,g x ̸= 0 et x R, f x × g x = 0.b 0.5 point Il existe bien deux fonctions qui ont la propriété :f:R→Rx7→0,si x ̸= 01,si x = 0g:R→Rx7→1 si x ̸= 00 si x = 0Il s’agit de deux fontions f et g non nulles et leur produit f × g est nul.- 1 / 2 -
Page 2 : Exercice 4. 3 pointsSupposons que a est irrationnel et montrons que pa est irrationnel.On raisonne par contraposée.On suppose qu’il existe p et q deux entiers q non nul, tel que pa = pq .On a pa = pq , on passe au carré, on obtient a = p 2q 2 , on a p 2 et q 2 deux eniers avec q 2 non nul. Donc a estrationnel, ce qui est absurde. D’ou le résulat.Exercice 5. 4 points1. 1 point Récurrence double On l’applique pour une propriété P n au rang n qui dépend de n 1 etn 2, on procède à une récurrence double. Le principe est le Suivant :a On vérifie que la proprieté est vraie pour les deux premiers rangs.b Soit n entier naturel fixé,On suppose que la propriété est vraie pour le rang n et n + 1 et montre la propriété pour le rangn + 2.c Conclusion pour tout entier naturel n, la propriét‘é P n est vraie.2. 1.5 + 1.5 points Pour tout entier n ⩾1, on pose P n : ”1 an n2" on va procéder par récurrencedouble.a Initialisation a1 = 1 donc 1 ⩽a1 ⩽12donc P 1 est vraiea2 = 2 donc 1 ⩽a2 ⩽22donc P 2 est vraieb Soit n entier plus grand ou égale à 1 , Supposons que P n et P n + 1 sont vraies. Montrons queP n + 2 est vraie. On aan+1 ⩽n + 12 = n2 + 2n + 1ann+1 ⩽n2n+1 ⩽n+12n+1 = n + 1Doncan+2 = an+1 +ann + 1 ⩽n2 + 2n + 1 + n + 1 ⩽n2 + 4n + 4 = n + 22De plusan+2 = an+1 +ann + 1 ⩾1 +1n + 1 ⩾1D’ou P n + 2c Conclusion : pour tout n entier naturel, on a 1 ⩽an ⩽n2Exercice 6. 2.5 points1. 2 pointsa Montrons =⇒Montrons que A B.Si x A, alors x A B = A B. Donc x B.Cela implique que A B.La deuxiéme inclusion est obtenue en permutant A et B. Conclusion A = B.b Montrons ⇐=Évident : si A = B, alors A B = A = A B.2. 1.5 A \ B \ C = A B \ C c = A B c C = A B c A C = A \ B A C .- 2 / 2 -
