DS1 2021 2022 V2
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IDate : Jeudi 28 Octobre 2021L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision desjustifications.Le sujet comporte 6 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1Dans l’ensemble E = 0;8, on considère les trois sous-ensemblesA = 0;3B = 1;6etC =5;71. Déterminer les ensembles suivants :B\A;Ac B C;AB.2. Donner une partition de E contenant exactement 3 sous-ensembles notés A1, A2, A3.Exercice 2Soient P, Q et R des propositions. Montrer l’équivalence suivante :P ou Q=⇒R⇐⇒P =⇒R et Q =⇒RExercice 31. Donner la négation de : x R, f x 0 =⇒3 x 7.2. a Exprimer à l’aide de quantificateurs la propriété suivante :« Deux fonctions f et g de R dans R, sont toutes deux non nulles et leur produit est nul. »b Cette propriété est-elle vraie?1
Page 2 : Exercice 4Montrer quea est irrationnel=⇒£pa est irrationnel¤.Exercice 51. Enoncer le principe de récurrence double.2. On note annN la suite définie par a0 = a1 = 1 et pour tout n N :an+2 = an+1 + ann +1.Montrer que pour tout n N:1 an n2.Exercice 61. Montrer que A B = A B ⇐⇒A = B2. Montrer que A \B \C = A \BA C.2
