DS1 2021 2022
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Page 1 : Préing 1Devoir Surveillé 1Algèbre IDate : Lundi 25 Octobre 2021L’usage de tout appareil électronique est interditDurée : 1h30Nombre de pages : 2Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la précision desjustifications.Le sujet comporte 6 exercices. L’ordre dans lequel ceux-ci sont traités n’est pas imposé.Exercice 1Dans l’ensemble E = 0;1;2;3;4;5;6;7, on considère les trois sous-ensemblesA = 1;3;5B = 1;2;3;4;5;6etC = 5;6;7.1. Déterminer les ensembles suivants :B\A;Ac B C;PA.2. Donner une partition de E contenant exactement 3 sous-ensembles notés A1, A2, A3.Solution :1.B \ A=2;4;6Ac B C=0;2;4;6;75,6 = 0;2;4;5;6;7PA=;,1,3,5,1,3,1,5,3,5, A.2. Nous pouvons par exemple choisir0;1;2;3;4;5;6;7.Exercice 2Soient P, Q et R des propositions. Montrer l’équivalence suivante :¡P =⇒Q =⇒R¢⇐⇒¡P et Q =⇒R¢1
Page 2 : Solution : Nous avonsP =⇒Q =⇒R⇐⇒nonP ou Q =⇒R⇐⇒nonP ou nonQ ou R⇐⇒nonP ou nonQ ou R⇐⇒nonP et Q ou R⇐⇒P et Q =⇒R.Exercice 3Soit f : R →R une fonction.1. Donner la négation de : x R, f x 0 =⇒x = 0 ou x 5.2. On considère la proposition P : "f est périodique".a Traduire mathématiquement P.b Donner la négation de P.Solution :1.x R, f x 0 et x ̸= 0 et x 5.2. aT R, x R, f x +T = f x.bT R, x R, f x +T ̸= f x.Exercice 41. Montrer que pour tous a,b,c Za +b +c = 0=⇒a 0 ou b 0 ou c 0.2. Soit un entier n 0. Démontrer que si n est le carré d’un entier, alors 2n n’est pas le carréd’un entier.Solution :1. On raisonne par contraposition. Nous devons montrera 0 et b 0 et c 0=⇒a +b +c ̸= 0.2
Page 3 : Supposonsa 0;b 0;c 0.En additionant les trois inéquations on obtienta +b +c 0=⇒a +b +c ̸= 0.2. On raisonne par l’absurde. Supposons que n et 2n sont le carré d’un entier, c’est-à-dire,supposons qu’il existe p Net q Ntel quen = p2et2n = q2.Alors2 = 2nn = p2q2=⇒p2 = pq Q.Absurde. Par conséquent, 2n n’est pas le carré d’un entier.Exercice 51. Enoncer le principe de récurrence double.2. Soit unnN la suite définie par u0 = 2, u1 = 1 et pour tout entier n Nun+2 un+1 6un = 0.Montrer par récurrence que, pour tout n N, nous avonsun = 2n +3n.Solution :1. Récurrence Double : On considère une propriété Pn dépendant de l’entier n N, et onsuppose que :— P0 et P1 sont vrais,— pour tout n N, si Pn et Pn +1 sont vrais, alors Pn +2 est vraie.Alors la propriété Pn est vraie pour tout n N.2. — Initialization : Nous avonsu0 = 2 = 20 +30;u1 = 1 = 21 +31.La propositon et ainsi vraie pour n = 0 et n = 1.3
Page 4 : — Heredite : Soit n N et supposonsun = 2n +3netun+1 = 2n+1 +3n+1.Montronsun+2 = 2n+2 +3n+2.Nous avonsun+2=un+1 +6un=2n+1 +3n+1 +6¡2n +3n¢=2n+1 +3n+1 3·2n+1 +2·3n+1=2n+113+3n+11+2=2n+2 +3n+2.Ainsi, la proposition est vrai pour n +2.Par conséquent, le principe de récurrence double nous permet de conclure que pour tout entiern N nous avonsun+2 un+1 6un = 0.Exercice 6Soit E et F deux ensembles, soit A, C deux parties de E et B, D deux parties de F.Démontrer que1. A C ⇐⇒PA PC.2. AC = AcC c.3. A ×BC ×D = A C×B D.Solution :1. On raisonne par double implication.=⇒Supposons A C. AlorsD PA=⇒D A C=⇒D C=⇒D PC.Ainsi, PA PC.⇐= Supposons PA PC. Nous avonsA PA PC=⇒A PC=⇒A C.4
Page 5 : 2. Nous avonsAC=A C\A C=A CA Cc=A CAc C c=Ac C cA C=Ac C cAc C cc=Ac C c\Ac C c=AcC c.3. Nous avonsx, y A ×BC ×D ⇐⇒x, y A ×Betx, y C ×D⇐⇒x A et y B et x C et y D⇐⇒x A et x C et y B et y D⇐⇒x A C et y B D⇐⇒x, y A C×B D.AinsiA ×BC ×D = A C×B D5
